实数-无理数概念.doc

<实数>教学设计
小作中学 张丽琴
教学目标：
（1）了解无理数和实数的概念,能对实数按要求进行分类．
（2）知道实数与数轴上的点具有一一对应关系，初步体会“数形结合”的数学思想.
教学重点：
了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点的一一对应关系.
教学难点：无理数意义的理解．
三、教学方法
讲练结合
四、教学手段
多媒体
五、教学过程
(一)复习提问
什么叫有理数?有理数如何分类?由学生回答，教师帮助纠正。
1．整数和分数统称为有理数．
2．有理数的分类有两种方法：
第一种：按定义分类： 第二种：按符号分类：

(二)引入新课
问题1 用什么方法求？其结果如何？
用计算器可求得＝1.414 213 562．
问题2 你能利用平方关系验算所得的结果吗？
用计算器计算1.412 135 62的平方，结果是1.999 999 99．
问题3 验证的结果并不是2，而是接近于2，这说明了什么问题？
说明所求得的的值只是一个近似值．
问题4 那么到底是怎样的数呢？
（二）合作交流，解读探究
探究 使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
3，，，，，．
我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即
3＝3.0，＝－0.6，＝5.875，＝，＝，＝．
归纳 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．
观察 通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫无理数，π＝3.141 592 65…也是无理数．
结论 有理数和无理数统称为实数．
试一试 把实数试着来分类．

像有理数一样，无理数也有正负之分．例如，，π是正无理数，，，－π是负无理数．由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类：

我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示．无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？
探究 如图10—3—1所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′的坐标是多少？

观察思考 从图中可以看出，OO′的长是这个圆的周长π，所以O′的坐标是π．
这样，无理数π可以用数轴上的点表示出来．
又如，以单位长度为边长画一个正方形（如图10—3—2所示），以原点为圆心，正方形对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点表示－．（为什么？）

总结 1．事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来．这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数．
当数从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．
2．与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大．
（三）应用迁移，巩固提高
例1 把下列各数分别填入相应的集合里：
，，－3，141，，，，，0.101 001 000 1…，1.414，－0.020 202…，
{正有理数： }
{负有理数： }
{正无理数： }
{负无理数： }
【评析】 本题考查无理数的定义，解题思路是按无理数的定义判断，本题的易错点是将，1.414当成无理数，解题关键是透彻理解无理数的定义．
解：{正有理数：，，1.414}
{负有理数：－3.141，，－0.202 020…}
{正无理数：，，0.101 001 000 1…}
{负无理数：，}
（四）总结反思，拓展升华
小结 1．什么叫做无理数？
2．什么叫做有理数？
3．有理数和数轴上的点一一对应吗？
4．无理数和数轴上的点一一对应吗？
5．实数与数轴上的点一一对应吗？