【试题解析】福建省仙游私立一中高三数学2月月考试题-理.doc

【试题解析】福建省仙游私立一中2012届高三数学2月月考试题 理
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分, 共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

2.若为等差数列，是其前n项和，且，则的值为 ( )B
A． B． C． D．
3．设 是两个实数，则“ 中至少有一个数大于1”是“ ”成立的( )D
(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件

5. 已知平面向量，，，则||的最小值是（ ）D
A.2 B. C. D.
6.如图，共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为，其大小关系为 ( ) A
A. B.
C. D.
7.一个三棱锥P－ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且长度分别为1、、3，则这个三棱锥的外接球的表面积为 ( ) A
A. B. C. D.
8．已知实数满足，则的最小值是 ( )D
A.10 B.3 C. D.
9．已知指数函数图像上任意一点处导数值均小于0，则函数的大致图像为( )A

10.已知都是定义在R上的函数，，，且
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将正确答案填写在横线上）
11.已知集合，若,则实数的值为 。1
12．一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱侧视图的面积是 cm2。
第14题图

13.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的值为 。
14.如上图，需在一张纸上印上两幅大小完全相同，面积都是32cm2的照片. 排版设计为纸上左右留空各3cm，上下留空各2.5cm，图间留空为1cm .照此设计，则这张纸的最小面积是 cm2.
15.设，已知函数，若曲线在处的切线恒过定点P，则点P的坐标为 。
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
所以，…………………………………………………3分

17.(本小题满分13分)
式.
（Ⅱ）∵,∴.∴.

18．（13分）证明下面两个命题：
（1）在所有周长相等的矩形中，只有正方形的面积最大；
（2）余弦定理：如下图，在中，、、
所对的边分别为、、，则．

证明二：（1）设长方形的周长为，长为，则宽为 ……………1分
于是，长方形的面积， …………………………4分
所以，当且仅当时，面积最大为，此时，长方形的为，即为正方形……2分
（2）证法一： …………………………3分

．
故，．……………………4分
证法二 已知中所对边分别为
以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，
则，……………………3分

．
故，．……………………4分

证法三 过边上的高，则

……………………3分
．
故，．…………………4分
19．（本题满分14分） 如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上，∠BAC＝30°，BM⊥AC交 AC 于点 M，EA⊥平面ABC，FC//EA，AC＝4，EA＝3，FC＝1．
（I）证明：EM⊥BF；
（II）求平面 BEF 与平面ABC 所成的二面角的余弦值．

19．（本题满分14分）（1）同法一，得．

，
由已知平面，所以取面的法向量为，
设平面与平面所成的锐二面角为，

平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． ………………14分
20．（ 14分）如图，椭圆的方程为，其右焦点为F，把椭圆的长轴分成6等分，过每个等分点作x轴的垂线交椭圆上半部于点P1，P2，P3，P4，P5五个点，且|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|=5.
（1）求椭圆的方程；

（2）设直线l过F点（l不垂直坐标轴），且与椭圆交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M（m,0），试求m的取值范围.

20．解：（1）由题意，知
设椭圆的左焦点为F1，则|P1F|+|P5F|=|P1F|+|P1F1|=2a，同时|P2F|+|P3F|=2a而|P3F|=a
∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|=5a=5

则

令
由于

21．（本小题满分12分）
已知函数．

21. 解：（I），
，得，或，列表：

2

+
0
-
0
+

极大

极小

函数在处取得极大值，
函数在处取得极小值； …………4分
（（iii）当，即时，
时，先取负，再取，最后取正，函数在先递减，再递增，
而，∴，不能恒成立； ……11分
综上，的取值范围是. …………12分
方法2：∵，∴ ……6分
（i）当时，，而不恒为0，
∴函数是单调递增函数，，恒成立；………8分
（ii）当时，令，
设两根是，
∵，，∴

8
用心 爱心 专心