“复变函数”课程教学改革与探究.pdf

78 萍乡学院学报 2023 年 第 40 卷第 3 期 萍乡学院学报 2023 年 6 月 Vol.40 NO.3 Journal of Pingxiang University Jun.2023 “复变函数”课程教学改革与探究 吴延敏1，刘 娟1，李 娜1，宁洪伟2（1.蚌埠学院 数理学院，安徽 蚌埠 233030；2.安徽科技学院 信息与网络工程学院，安徽 凤阳 233100）摘 要：新工科建设背景下，为充分发挥“复变函数”课程在理工科专业人才培养方案中的重要作用，对其开展课程教学改革研究，将有助于提升对创新型和复合型人才的培养质量。文章在分析课程教学现状的基础上，从教学内容、教学考核、教学方式等方面探究教学改革途径，力争实现知识教育和知识应用双向提升的教学目标。关键词：复变函数；教学改革；专业认证；课程达成度；OBE 中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2095-9249（2023）03-0078-06 0 引言“复变函数”作为高等院校数学类课程之一，是数学与应用数学专业的必修课，也是部分工学专业(电信、自动化等)的公共基础课。复变函数又称复分析，其主要研究对象是解析函数，它是数学分析的教学内容在复数域上的推广，拓宽了学生的数学知识结构；也是实变函数、泛函分析等课程的先修课，拓宽了学生的数学知识深度。目前，复变函数相关理论不仅在概率论、数学物理方程和拓扑学等数学学科分支存在重要应用，还在空气动力学、流体力学、信号处理等其他学科领域存在广泛应用，其课程教学对高等院校应用型人才的培养越发重要1-2。但是由于该课程知识体系丰富严谨，内容抽象，理论性强，给学生学习和教师讲授都带来极大挑战。因此，开展课程教学改革创新探究，帮助学生更好地掌握专业课程知识体系，提升专业竞争力，进而满足新工科建设对创新型和复合型人才的需求，是任课教师完成课程教学的重点3-4。1“复变函数”教学现状分析 随着高等院校课程教学改革的持续推进，课程思政教学的全面落实，“四新”建设的全面深化，培养创新型和复合型人才已逐渐成为高等院校教育教学改革的新要求。“复变函数”作为高等院校数学与应用数学专业的一门必修课，其对学生逻辑思维能力的培养和理论与实践相结合能力的塑造都起着重要作用。因此，如何有效提高本课程教学效果，为信息化社会输送更多创新型和复合型人才，成为课程教学亟须解决的难题。目前，该课程在教学过程中主要存在以下不足。1.1 教学理念与人才需求适应不足 随着信息化社会的快速发展，各高校都在积极适应互联网时代对传统教学模式的冲击，依托“互联网+教育”的教育教学改革创新产生多种新型教学理念和教学模型。尽管这些新理念新模型可以有效提升学生的学习积极性和主动性，也可以提高创新型和应用型人才的培养质量，但是传统“教师教，学生学”的教学模式依然被广泛应用于课程教学过程5。各种新理念新模型未能充分融入课堂教学，使得学生对本课程知识点仍停留在表面认知上，限制了学科知识深度扩展，容易造成人才培养与社会需求间的矛盾。1.2 课程考核与专业认证支撑不足 目前，“复变函数”教学考核由形成性考核和期末考核两模块组成，其中形成性考核包括课堂考勤、课堂笔记、课后作业、章节测验、期中考试五个子模块，期末考核采用闭卷考试方式。这种多样化的考核体系能有效帮助任课教师分析教学质量，也是高等院校常使用的考核方式之一。但是随着高等院校全面推进专业认证相关工作，各专业都在积极整理材料，申报专业认证。考虑到工程教育认证标准中强调课程教学目标需要与人才培养方案中具体的毕业要求指标点对应，使得作为支撑教学目标评价的课程考核数据极其重要。本课程采用的多样化考核体系虽然已实现专业认证要求的学生学习情况综合分析，但是课程考核数据与教学目标的对应关系还未实现全面对应，造成课程考核数据与专业认证 投稿日期：2023-03-19 作者简介：吴延敏（1990），女，安徽蚌埠人，助教，硕士，研究方向：高等数学、复变函数。第 3 期 吴延敏，刘娟，李娜，等：“复变函数”课程教学改革与探究 79 支撑存在不足。1.3 教学内容与思政元素渗透不足“复变函数”作为高等院校数学学科的一个重要分支，其课程知识体系在形成和完善过程中，出现很多优秀的数学家，比如 Cauchy、Riemann、Euler、华罗庚、陆启铿等，正是这些数学家对复变函数科学真理的不断追求，才使该课程知识体系越来越准确充实。数学家对科学真理的探索精神是优秀的数学文化，如果将这些数学文化融入到课堂教学过程，一方面可以让学生在掌握知识过程中感受知识演变的历程，增强学习兴趣；另一方面我国数学家对待科学真理精益求精的科研精神，以及在单复变函数及多复变函数方面取得的研究成果，也能培养学生求真务实的学风和深厚的爱国情操。但是，目前课程教学过程中，低学时和传统教学模式的局限性使得任课教师忙于课程教学，未能充分运用课程蕴含的思政元素，未能最大化实现本课程的育人教学目标。2“复变函数”教学内容改革 目前，高等院校数学与应用数学专业“复变函数”课程的教材选用主要是钟玉泉编著的复变函数论，它包括复数域的六大理论知识模块：复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、复变函数的级数、留数理论和共形映射6-7。这六大知识模块有些教学内容与先修课程存在紧密联系，有些教学内容又是本课程特有，且应用领域较广。因此，为了在有限的课程学时下高效完成课程知识讲授与知识框架构建，满足后续其他课程教学的知识体系需求，拟采用“齐心协力析教材、知识梳理清脉络、学科关联重应用”的教学理念探究教学内容改革方向。2.1 优化教学内容，搭建知识框架 复变函数论首先给出复数在乘幂、方根和辐角等方面的应用，进而引出如何对自变量为复数的函数展开研究，并将其称为复变函数，然后结合数学分析的微分、积分和级数等先修教学内容，开展实数域函数特性在复数域的研究，最后借助解析函数的函数特性重点探讨留数和共形映射等知识模块的应用方向。所以课程教学内容存在两点特性：第一是知识体系存在明显层次性，第二是不同学科间知识结构存在交叉与共性。因此，在教学内容改革上，采用“基本技能(点，单知识点)+进阶技能(线，知识模块)+创新技能(面，学科关联)”的“点线面”延展思路开展教学。对学生已学或已掌握的知识体系略讲，使用线上平台教学资源进 行知识的复习与巩固，缩减课程学时分配；对学生掌握较难、知识应用较广的知识体系，一方面鼓励学生使用线上平台教学资源开展尝试性、探究性学习，变被动学为主动学，另一方面课堂教学过程采用类比教学法和案例教学法对知识模块的层次性和学科异同性进行详细讲授。改革后的教学内容规划可以帮助学生理解课程知识模块的关联性与逻辑性，培养学生的数学逻辑思维能力，还可以让学生根据个人学习情况自主搭建课程模块化知识框架(如图 1 所示)，提升学生的数学知识水平和专业技能竞争力。2.2 注重学科应用，渗透学科文化 二十世纪以来，复变函数作为一种强有力的工具，已经被广泛应用到许多的自然科学领域，比如理论物理、流体力学、弹性理论及信号系统等。因此，在教学内容改革上，除了完成书本理论知识梳理外，还应该适当引入课程教学内容在实际生活中的应用场景，特别是相关理论知识在其他学科的应用场景，激发学生的学习兴趣。比如，讲授留数教学知识点时，既可以介绍留数理论在复积分计算方面的应用，还可以引入留数理论在拉普拉斯变换求解微分方程、电磁学中安培环路定理证明、物理学中阻尼振动和热传导研究等方面的应用；讲授共形映射教学知识点时，可以告诉学生共形映射除了通过解析函数将 Z 平面内曲线或区域映射到 W 平面进行研究外，还在地质工程领域的数据拟合效果评价、机翼理论中茹科夫斯基变换推导等方面存在重要应用。此外，课程知识体系完善过程中出现的数学家及数学典故，既是数学文化，又是思政教育的育人元素。因此，在教学内容改革上，还可以适当向学生讲授我国数学家在复变函数领域取得的研究成果，比如，数学家华罗庚在多复变函数论方面的著作 多复变函数论中的典型域的调和分析，该研究成果领先世界十多年，提出后就受到了国际数学界的高度关注，并被翻译成俄文和英文，成为众多复变函数研究领域的必引书籍；数学家张广厚、杨乐在整函数和亚纯函数值分布理论方向取得大量研究成果，首次揭示了函数值分布论中两个主要概念“亏值”和“奇异方向”的有机联系，有效解决了困扰国际数学界达半个多世纪的数学难题。当这些研究成果融入课堂教学过程后，不仅可以丰富课堂教学内容，增强学生学习兴趣，还可以让学生在掌握课程教学内容的基础上，了解到我国数学家对该门课程的发展做出的巨大贡献，提升学生的民族自豪感和文化自信，进而激发学生的爱国情怀。80 萍乡学院学报 2023 年 图 1“复变函数”模块化知识框架图 3“复变函数”教学考核改革“复变函数”作为高等院校理工科专业的一门必修课，通过期末考试来考核学生对相关定义、定理及性质等方面的掌握情况，不能满足课程改革的需求，不符合专业认证的需求，也不满足新工科建设对复合型人才的需求。随着高等院校专业认证和新工科建设的深入推进，开展课程教学考核改革十分必要8，本课程将从两方面完善现有的课程考核体系。3.1 课程考核对标课程目标，为专业认证提供支撑 工程教育认证指出课程的人才培养目标需要对应到具体的毕业要求指标点，各课程在最新版教学大纲修订过程中，凝练课程教学目标，并明确教学目标与毕业要求指标点的对应关系。目前，我校“复变函数”教学大纲已对教学目标以及教学目标与毕业要求指标点的对应关系做出论证，如何让课程考核对标课程目标，以便更好服务于专业认证，进而实现学生个人能力的全面发展，是本课程教学考核改革需要解决的重难点问题。对此，本课程参考专业认证标准对现有课程考核体系进行改革：第一是保持课程考核环节多样化，即保持现有的形成性考核和期末考核两个环节，并明确形成性考核与期末考核在课程考核中占比分别为 30%和 70%，第解析函数 基本概念 阿贝尔定理 幂级数 收敛半径计算 和函数解析 泰勒定理 泰勒展式 泰勒级数 泰勒展式求解 双边幂级数 洛朗级数 洛朗级数 洛朗展式 柯西积分定理 闭路环形定理 柯西积分定理 柯西积分公式 高阶导数公式 柯西积分公式 莫雷拉定理 刘维尔定理 基本概念 解析与调和 调和函数 解析函数构造 周线与积分 基本性质 复积分 复积分计算 留数概念 留数定理 留数计算 留数与实积分 留数 分类与判定 零点与极点 孤立奇点 无穷远点 复变 函数论 复变函数 复变函数的级数 复变函数的积分 导数与微分 基本性质 柯西黎曼方程 解析函数理论 单值解析函数 多值解析函数 初等解析函数 辐角与支点 定义 运算规则 表示法 乘幂与方根 复平面与复球面 复数 共形映射 第 3 期 吴延敏，刘娟，李娜，等：“复变函数”课程教学改革与探究 81 二是明确课程目标与课程考核各环节的对应关系，即明确每个课程目标在每个课程考核环节中占比情况。下面以课程教学大纲涉及四个课程目标(如表 1 所示)，给出每个课程目标在各考核环节的占比样例，如表 2 所示。表 1“复变函数”课程目标 课程目标 主要内容 1 理解复数与复变函数、解析函数、复变函数积分、复变函数级数、留数、共形映射的基本概念和基本原理；正确应用柯西-黎曼条件判断解析函数的解析性；学会运用柯西积分定理、柯西积分公式计算复积分；掌握解析函数的泰勒展式和洛朗展式；掌握留数和留数定理，学会运用留数定理计算积分；了解解析变换和分式线性变换的特性。2 理解复变函数的基本理论和研究方法，以及与数学分析知识体系的异同点；具备运用复变函数知识体系结合其他学科相关知识解决复杂工程问题的能力；了解复变函数学科的发展历史和前沿动态。3 能够运用文献调研、互联网技术获取学科资料，具有一定的学术研究能力；能够不断获取新知识、了解发展趋势，具有自主学习和适应社会发展的能力。4 通过课堂互动、小组作业、考勤等形式，提高学生的学习主动性和合作交流能力，培养学生具备良好的社会责任感和职业素养。表 2 课程目标在各考核环节中的占比样例 课程目标 形成性考核 期末考核 课程目标分值 课程目标权重 课堂考勤 课堂笔记 课后作业 章节测验 期中成绩 1 0%40%60%50%75%40%43 0.5 2 0%40%20%50%25%30%29 0.3 3 0%20%20%0%0%20%16 0.1 4 100%0%0%0%0%10%12 0.1 考核分值 5 5 5 5 10 70 100 1 表 2 各个课程目标的权重比例在制定教学大纲时已确定，其他数值比例可以根据实际教学情况进行动态变化。此外，表 2 中 0%代表某个考核环节与课程目标不关联，反之代表关联。改革后，依托课程目标在课程考核各环节的考核数据，一方面可以帮助任课教学明确课程目标对学生的培养情况，另一方面可以有力支撑后续的专业认证工作。3.2 课程达成度对标教学质量，为教学模式提供论证 随着课程考核数据在专业认证和人才培养两方面得到充分利用，如何借助课程考核数据衡量教学质量，完善教学模式，是本课程教学考核改革需要解决的又一重难点问题。对此，本课程参考专业认证提出的课程目标达成度，并从课程分目标达成度和课程总目标达成度两方面给出教学考核数据的评价方式，具体计算如下：3.2.1 课程分目标达成度计算 课程分目标达成度是衡量每个课程目标对教学质量的评价效果，其计算方法是给定课程目标 i，对该课程目标关联的各考核环节分别求取学生平均得分，再进行加权求和，具体计算公式如公式(1)所示：ijiijijjsDAaC=(1)其中：Di代表课程目标 i 达成度计算结果(i=1,2,3,4)；j代表不同的考核环节(j=1,2,6)，分别对应表 2 的课堂考勤、课堂笔记、课后作业、章节测验、期中考试和期末考核；sij代表课程目标 i 第 j 个考核环节的所有学生平均分数；aij代表课程目标 i 第 j 个考核环节的考核占比；Cj代表第 j 个考核环节的考核分值；Aij代表课程目标 i 第 j 个考核环节对该课程目标达成度的贡献率，其计算公式如公式(2)所示：jijiCASum=(2)其中 Sumi代表课程目标 i 关联所有不同考核环节的考核分值总和，要求课程目标 i 关联的所有考核环节对该课程目标达成度的贡献率总和为 1。下面以课程目标 1达成度计算为例来说明：由表 2 看出，课程目标 1 关联的考核环节有课堂笔记、课堂作业、章节测验、期中成绩和期末考核等五个环节，可以使用公式(2)计算出每个考核环节对课程目标 1 达成度的贡献率。比如期末考核环节(j=6)对课程目标 1 达成度的贡献率为：16700.745551070A=+，如果该考核环节学生的平均得分是 26 分，则期末考核环节用于课程目标 1 达成度计算结果为：82 萍乡学院学报 2023 年 260.740.6940%70=。按照这种计算方法分别计算出每个考核环节用于课程目标 1 达成度计算结果后，再对每个考核环节的达成度计算结果求和，得到课程目标 1 达成度计算结果。3.2.2 课程总目标达成度计算 课程总目标达成度是衡量所有课程目标对教学质量的综合评价效果，其计算原理是计算出各个课程分目标达成度后，对所有课程分目标达成度计算结果进行加权求和，计算公式如公式(3)所示：41iiiPDw=(3)其中 P 代表课程总目标达成度计算结果；wi代表教学大纲中规定的课程目标 i 权重比例。采用这种课程目标达成度来量化教学质量后，任课教师一方面可以根据课程目标达成度计算结果，分析教学环节存在问题，完善课程教学方式，从而提高人才培养质量，另一方面可以根据每个学生在每个考核环节的得分情况，综合计算出学生的课程考核总成绩，实现学生个人能力的全面衡量。4“复变函数”教学方式改革 目前，“复变函数”教学组织主要采用板书和 PPT相结合来开展，教学活动以教师教为中心、学生被动学来设计，这种传统教学方式容易造成学生学习积极性和主动性不足，特别是数学分析基础不牢固的同学，更容易出现厌学畏难情绪，造成教学效果不好9-10。随着 教育信息化 2.0 行动计划和加快推进教育现代化实施方案(20182022 年)等相关教育文件的出台，“互联网+教育”成为我国当前课程教学模式改革的突破点。因此，在课程教学方式改革上，教学活动设计采用 OBE(Outcomes-Based Education)教育理念，即基于学习成果导向的教育模式，教学组织开展采用线上线下混合式教学，具体教学方式改革如图 2 所示：图 2 基于 OBE 的线上线下混合式教学设计 教学模式改革后，课程教学将从课前准备、课中实施、课后巩固三个阶段开展：课前准备是保障课堂顺利进行的有力前提，教师通过对教学内容进行模块化建设，完成线上平台优质教学资源遴选和数学文化分享，改进教学模式 反馈教学效果 学生 教师 预留 教学任务 完成 教学任务 答疑 知识难点 巩固 知识掌握 及时 批改作业 巩固 教学内容 及时 教学反思 明确 学习计划 课后巩固 教师 学生 明确 教学目标 攻克 知识难点 优化 教学设计 紧跟 教学进度 注重 学科关联 打通 学科脉络 分析 课堂成果 提升 数学能力 课中实施 学生 教师 遴选 教学资源 观看 教学资源 上传教学 配套资料 查阅资料 探究学习 搭建线上 知识题库 明确知识 学习难点 分享复变 数学文化 复变文化 思政渗透 课前准备 基于 OBE 的线上线下混合式教学 课程考核=形成性考核+期末考核 课程目标达成度分析 成果导向 第 3 期 吴延敏，刘娟，李娜，等：“复变函数”课程教学改革与探究 83 做到教学方式多样化和思政元素渗透；学生依托线上平台的教学资源进行尝试探索性学习，并通过在线视频、查阅资料等方式，一方面带着问题走进课堂，变被动学习为主动学习，另一方面了解课程的数学文化，提升品德素养；课中实施是保障教学高质量的重要环节，教师根据学生线上平台自学情况，采用知识分层次的课堂设计开展探究性、研讨性教学，并从学习要求和教学思想两个角度巩固课堂教学成果，即“理论学习与应用学习协同、线上自学与课堂听学协同”的学习要求，以数学能力培养与思政元素渗透为核心、以打通专业课程间关联性为连续、以实际问题解决能力为拓展的教学思想。课后巩固是保障教学效果优良的核心要素，通过开展知识答疑和教学反思，帮助学生明确知识间连贯性与异同性，一方面让学生深化知识结构，掌握理论与实际的应用场景，另一方面让教师分析学生知识掌握情况，制定针对性教学计划。5 总结“复变函数”作为高等院校数学与应用数学专业的一门专业必修课，探究课程教学改革途径，能够有效实现知识教育和知识应用的教学目标。因此，本文在总结课程教学现状基础上，从教学内容、教学考核和教学方式等角度分析教学改革创新点，帮助学生掌握课程理论知识体系，构建知识模块框架图，同时尽可能挖掘课程思政案例，推进课程思政建设，实现课程育人的教学任务。参 考 文 献 1 华杰,董贺,汪玉海,等.复变函数与积分变换课程教学方法J.高师理科学刊,2022,42(9):6769+74.2 姜阿尼,周启元,邹庆云.地方院校转型背景下复变函数研究性教学的探讨J.教育教学论坛,2017(49):183184.3 王胜军.基于复数与复变函数的探究式教学模式探讨J.青海师范大学学报(自然科学版),2020,36(4):6769.4 阮世华,林建伟.工科复变函数课程的教学改革与实践探讨J.吉林农业科技学院学报,2020,29(2):106108.5 孙桂荣,李晓南,黄志刚.数学专业复变函数课程教学改革J.高师理科学刊,2020,40(1):6163.6 秦宝侠.基于能力培养的复变函数教学改革研究J.齐鲁师范学院学报,2018,33(6):2024.7 龚小兵.地方师范院校复变函数课程教学内容设置J.白城师范学院学报,2020,34(5):110113.8 马瑞杰,李喜军.复变函数与积分变换课程改革之探讨J.吉林医药学院学报,2020,41(2):159160.9 崔晓梅,茹静.新工科背景下复变函数与积分变换课程教学改革探索J.吉林化工学院学报,2022,39(2):912.10 胡洪萍,王琳琳,马明远.复变函数课程教学改革探索与思考J.西安文理学院学报(社会科学版),2019,22(3):9092.责任编校：陈楠楠 Teaching Reform and Exploration of“Complex Function”Course Wu Yan-min1,LIU Juan1,Li Na1,NING Hong-wei2(1.School of Mathematics and Physics,Bengbu University,Beng bu Anhui 233030,China;2.School of Information and Network Engineering,Anhui Science and Technology University,Feng yang Anhui 233100,China)Abstract:Under the background of the construction of new engineering courses,in order to fully play the important role of the Complex Function curriculum in the training program for science and engineering professionals,the teaching reform is conducted on the course which will improve the training quality of innovative and comprehensive talents.Based on the analysis of the current situation of course teaching,this paper explores teaching reform approaches from the aspects of teaching content,teaching assessment,and teaching methods,and strives to achieve the teaching goal of improvement of knowledge education and knowledge application.Key words:Complex Function;teaching reform;professional accreditation;course achievement scale;OBE