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课时跟踪检测（一） 集合、常用逻辑用语
1．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( )
A．{1，－3} B．{1,0}
C．{1,3} D．{1,5}
解析：选C 因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}．
2．(2017·山东高考)设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝( )
A．(1,2) B．(1,2]
C．(－2,1) D．[－2,1)
解析：选D 由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x<1}，故A∩B＝{x|－2≤x<1}．
3．(2017·合肥模拟)已知命题q：∀x∈R，x2＞0，则( )
A．命题綈q：∀x∈R，x2≤0为假命题
B．命题綈q：∀x∈R，x2≤0为真命题
C．命题綈q：∃x0∈R，x≤0为假命题
D．命题綈q：∃x0∈R，x≤0为真命题
解析：选D 全称命题的否定是将“∀”改为“∃”，然后再否定结论．又当x＝0时，x2≤0成立，所以綈q为真命题．
4．(2018届高三·郑州四校联考)命题“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题是( )
A．若a≤b，则a＋c≤b＋c B．若a＋c≤b＋c，则a≤b
C．若a＋c＞b＋c，则a＞b D．若a＞b，则a＋c≤b＋c
解析：选A 命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A.
5．(2017·石家庄模拟)“x＞1”是“x2＋2x＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由x2＋2x＞0，得x＞0或x＜－2，所以“x＞1”是“x2＋2x＞0”的充分不必要条件．
6．已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．[2，＋∞)
C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析：选D 因为A∪B＝A，所以B⊆A，即m∈A，得m2≥4，所以m≥2或m≤－2.
7.(2017·唐山模拟)已知集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是( )
A．{x|2<x<3} B．{x|－1<x≤0}
C．{x|0≤x<6} D．{x|x<－1}
解析：选C 由x2－5x－6<0，解得－1<x<6，所以A＝{x|－1<x<6}．由2x<1，解得x<0，所以B＝{x|x<0}．又图中阴影部分表示的集合为(∁UB)∩A，因为∁UB＝{x|x≥0}，所以(∁UB)∩A＝{x|0≤x<6}．
8．(2018届高三·河北五校联考)已知命题p：∃x0∈(－∞，0)，2x0<3x0；命题q：∀x∈，tan x>sin x，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)
解析：选C 根据指数函数的图象与性质知命题p是假命题，綈p是真命题；∵x∈，且tan x＝，
∴0<cos x<1，tan x>sin x，
∴q为真命题，选C.
9．(2017·合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 根据祖暅原理，“A，B在等高处的截面积恒相等”是“A，B的体积相等”的充分不必要条件，即綈q是綈p的充分不必要条件，即命题“若綈q，则綈p”为真，逆命题为假，故逆否命题“若p，则q”为真，否命题“若q，则p”为假，即p是q的充分不必要条件，选A.
10．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，若P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，则P－Q＝( )
A．{x|0<x<1} B．{x|0<x≤1}
C．{x|1≤x<2} D．{x|2≤x<3}
解析：选B 由log2x<1，得0<x<2，
所以P＝{x|0<x<2}．
由|x－2|<1，得1<x<3，
所以Q＝{x|1<x<3}．
由题意，得P－Q＝{x|0<x≤1}．
11．(2018届高三·广西五校联考)命题p：“∃x0∈R，使得x＋mx0＋2m＋5＜0”，命题q：“关于x的方程2x－m＝0有正实数解”，若“p或q”为真，“p且q”为假，则实数m的取值范围是( )
A．[1,10] B．(－∞，－2)∪(1,10]
C．[－2,10] D．(－∞，－2]∪(0,10]
解析：选B 若命题p：“∃x0∈R，使得x＋mx0＋2m＋5＜0”为真命题，则Δ＝m2－8m－20＞0，∴m＜－2或m＞10；若命题q为真命题，则关于x的方程m＝2x有正实数解，因为当x＞0时，2x＞1，所以m＞1.
因为“p或q”为真，“p且q”为假，故p真q假或p假q真，所以或
所以m＜－2或1＜m≤10.
12．(2017·石家庄模拟)下列选项中，说法正确的是( )
A．若a＞b＞0，则ln a＜ln b
B．向量a＝(1，m)与b＝(m,2m－1)(m∈R)垂直的充要条件是m＝1
C．命题“∀n∈N*,3n＞(n＋2)·2n－1”的否定是“∀n∈N*,3n≥(n＋2)·2n－1”
D．已知函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f(a)·f(b)＜0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题
解析：选D A中，因为函数y＝ln x(x＞0)是增函数，所以若a＞b＞0，则ln a＞ln b，故A错；
B中，若a⊥b，则m＋m(2m－1)＝0，
解得m＝0，故B错；
C中，命题“∀n∈N*,3n＞(n＋2)·2n－1”的否定是“∃n0∈N*，3n0≤(n0＋2)·2n0－1”，故C错；
D中，原命题的逆命题是“若f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，则f(a)·f(b)＜0”，是假命题，
如函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2,4]上的图象是连续不断的，且在区间(－2,4)内有两个零点，但f(－2)·f(4)＞0，故D正确．
13．(2018届高三·辽宁师大附中调研)若集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}有且仅有两个子集，则实数a的值为________．
解析：由题意知，集合A有且仅有两个子集，则集合A中只有一个元素．当a－1＝0，即a＝1时，A＝，满足题意；当a－1≠0，即a≠1时，要使集合A中只有一个元素，需Δ＝9＋8(a－1)＝0，解得a＝－.综上可知，实数a的值为1或－.
答案：1或－
14．已知集合A＝，B＝{x|－1<x<m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．
解析：A＝＝{x|－1<x<3}，
∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，
∴AB，∴m＋1>3，即m>2.
答案：(2，＋∞)
15．(2017·广东中山一中模拟)已知非空集合A，B满足下列四个条件：
①A∪B＝{1,2,3,4,5,6,7}；
②A∩B＝∅；
③A中的元素个数不是A中的元素；
④B中的元素个数不是B中的元素．
(1)如果集合A中只有1个元素，那么A＝________；
(2)有序集合对(A，B)的个数是________．
解析：(1)若集合A中只有1个元素，则集合B中有6个元素，6∉B，故A＝{6}．
(2)当集合A中有1个元素时，A＝{6}，B＝{1,2,3,4,5,7}，此时有序集合对(A，B)有1个；
当集合A中有2个元素时，5∉B,2∉A，此时有序集合对(A，B)有5个；
当集合A中有3个元素时，4∉B,3∉A，此时有序集合对(A，B)有10个；
当集合A中有4个元素时，3∉B,4∉A，此时有序集合对(A，B)有10个；
当集合A中有5个元素时，2∉B,5∉A，此时有序集合对(A，B)有5个；
当集合A中有6个元素时，A＝{1,2,3,4,5,7}，B＝{6}，此时有序集合对(A，B)有1个．
综上可知，有序集合对(A，B)的个数是1＋5＋10＋10＋5＋1＝32.
答案：(1){6} (2)32
16．(2017·张掖模拟)下列说法中不正确的是________．(填序号)
①若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件；
②“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件；
③若命题p：“∀x∈R，sin x＋cos x≤”，则p是真命题；
④命题“∃x0∈R，x＋2x0＋3＜0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋3＞0”．
解析：由＜1，得a＜0或a＞1，反之，由a＞1，得＜1，∴“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件，故①正确；
由p∧q为真命题，知p，q均为真命题，所以p∨q为真命题，反之，由p∨q为真命题，得p，q至少有一个为真命题，所以p∧q不一定为真命题，所以“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故②不正确；
∵sin x＋cos x＝sin≤，
∴命题p为真命题，③正确；
命题“∃x0∈R，x＋2x0＋3＜0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋3≥0”，故④不正确．
答案：②④
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