第十章第三单元 圆与圆的位置关系交稿.doc

第三单元 圆与圆的位置关系
【考点解读】
1、 圆和圆的五种位置关系

（1）图（a）中，两个圆没有公共点，那么就说这两个圆外离；
（2）图（b）中，两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆外切．
（3）图（c）中，两个圆有两个公共点，那么就说两个圆相交．
（4）图（d）中，两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆内切．
（5）图（e）中，两个圆没有公共点，那么就说这两个圆内含，
图（f）是（e）的一种特殊情况──圆心相同，我们把它称为同心圆．
2．设两圆的半径为r1，r2，圆心距为d（r1<r2）
则有：外离d>r1+r2
外切d=r1+r2
相交r2-r1<d<r1+r2
内切d=r2-r1
内含0≤d<r2-r1（当d=0时，两圆同心）
3、两圆的连心线的性质：两圆相交，连心线垂直平分公共弦.
【典例解剖】
例1 (2007泸州)已知⊙O1的半径为2cm，⊙O2的半径为4cm，圆心距O1O2为3cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是
A．外离 B.外切 C.相交 D.内切
【答案】C
【解析】因为⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和4cm，两圆的圆心距O1O2＝3cm，而4－2＜3＜2+4，即圆心距介于两圆的半径之和与半径之差之间，所以这两圆的位置关系是相交．故应选C.
【方法透视】已知两圆的半径和圆心距，要确定两圆的位置关系，只要通过两圆的半径的和或差与圆心距比较即可．设⊙O1半径为R，⊙O2半径为r，O1O2＝d，则d＞R+r→两圆外离；d＝R+r→两圆外切；R－r＜d＜R+r（R≥r）→两圆相交；d＝R－r（R＞r）→两圆内切；d＜R－r（R＞r）→两圆内含.
例2 （2007福建漳州）如图，已知⊙O1的半径为 ，⊙O2的半径为 ，圆心距．现把⊙O1沿直线平移，使⊙O1与⊙O2外切，则⊙O1平移的距离为（ ）

例2图
A．1 B．7 C．1或7 D．3或5
【答案】 C
【解析】由两圆外切可知圆心距等于两圆的半径之和，当⊙O1　位于⊙O2左侧要使=3向右移动1即可，继续向右移动当⊙O1位于⊙O2右侧 再次相切时， =3　所以移动的距离是4+3=7.
【方法透视】圆心距等于两圆的半径之和时, 两圆的位置关系是外切，值得注意的是本题应有两种情况，注意分类思想的运用.
例3图
例3.（2007天津） 如图，已知两圆外切于点P，直线AD依次与两圆相交于点A、B、C、D.若∠BPC=，则∠APD= （度）
【答案】138°
【解析】作出两圆的内公切线，根据弦切角定理即可求出∠A+∠D=∠BPC=，
所以∠APD=180-=138°
【方法透视】涉及相切两圆问题主要可从以下几个方面考虑；①过切点作两圆的公切线，
利用弦切角定理或切线长定理；②作出连心线，利用连心线过切点的性质；③利用两圆的圆心距等于两圆半径之和或之差．
例4（2007南充）如图是某城市一个主题雕塑的平面示意图，它由置放于地面l上两个半径均为2米的半圆与半径为4米的⊙A构成．点B、C分别是两个半圆的圆心，⊙A分别与两个半圆相切于点E、F，BC长为8米．求EF的长．
【答案】∵⊙A分别与两个半圆相切于点E、F，点A、B、C分别是三个圆的圆心，
例4图
A
E
F
l
B
C
∴　AE＝AF＝4，BE＝CF＝2，AB＝AC＝6．
则在△AEF和△ABC中，
∠EAF＝∠BAC，．
∴　△AEF∽△ABC ．
故　．则　EF＝＝．
【解析】由已知条件可以证明△AEF∽△ABC，然后利用相似三角形的性质即可求出EF的长.
【方法透视】在解决有关两圆相切的问题时，两圆心的连线是有利的工具，它可以巧妙地将两圆的半径及圆心间的距离放到一个三角形中去研究，用特殊三角形、相似三角形、三角函数都可以解决此类问题.
例5（2007天津）如图，⊙O和⊙都经过点A、B，点P在BA延长线上，过P作⊙O的割线PCD交⊙O于C、D两点，作⊙的切线PE切⊙于点E。若PC=4，CD=8，⊙O的半径为5.
（1）求PE的长；
例5图
（2）求的面积.
【答案】（1）∵ PD、PB分别交⊙O于C、D和A、B
根据割线定理得
又∵ PE为⊙的切线，PAB为⊙的割线
根据切割线定理得

即
∴
（2）在⊙O中过O点作OF⊥CD，垂足为F
根据垂径定理知OF平分弦CD，即
在中，
∴ OF=3
∴ 个面积单位

【解析】要求PE的长的关键必须将已知条件加以转化，从而利用切割线定理或是相似三角形的相关知识来求解．求面积的关键是求出高，由垂径定理和勾股定理即可求解.
【方法透视】本题是与圆有关的综合题，这类问题主要与相似三角形、一元二次方程等知识的结合在一起，试题有一定的难度；应注意解题方法的综合运用.
【能力训练】
A组

1、（2008长春）如图，是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是（ ）
A．内含 　 B．相交 C．相切 D．外离
1题图
3题图

2、（2008湖州）已知两圆的半径分别为3cm和2cm，圆心距为5cm，则两圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
3、（2007陕西）如图，圆与圆之间不同的位置关系有（ ）
A．2种 B．3种
C．4种 D．5种
4、（2008温州）已知⊙O1和⊙O2外切，它们的半径分别为2cm和5cm，则O1O2的长是（　　）
（A）2cm （B）3cm （C）5cm （D）7cm
5、（2007浙江舟山）两圆的半径分别为3和5，当这两圆相交时，圆心距d的取值范围是 ．
6、（2007芜湖）如图，，以为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q．则 ．
7、(2007陇南)如图，在△ABC中，∠A=90，分别以B、C为圆心的两个等圆外切，两圆的半径都为1cm，则图中阴影部分的面积为 cm2．

6题图

7题图

8、（2008长春）⊙O的半径为3cm，点M是⊙O外一点，OM=4 cm，则以M为圆心且与⊙O相切的圆的半径是　　　　　　　ｃｍ．

(1)
O1
O2
O3

（2）
9题图
9．（2008白银）如图是一盒刚打开的“兰州”牌香烟，图 ⑴是它的横截面（矩形ABCD），已知每支香烟底面圆的直径是8mm．
(1) 矩形ABCD的长AB= mm；
（2）利用图⑵求矩形ABCD的宽AD．
（≈1.73，结果精确到0.1mm）

10．（2008威海）如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）．
（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；
（2）问点A出发后多少秒两圆相切？

A
B
N
M
10题图

B组
1、（2008武汉市）如图是一个五环图案，它由五个圆组成，下排的两个圆的位置关系是 （　　）．
Ａ.内含　　　　Ｂ．外切　　　Ｃ．相交　　　　　Ｄ．外离

5题图
A
B
C

1题图

2、（2008北京市）若两圆的半径分别是1cm和5cm，圆心距为6cm，则这两圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
3.、 (2007广东肇庆)若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是（ ）
A. 外离 B. 外切 C. 内含 D. 外离或内含
4.、（2007兰州）已知相切两圆的半径是一元二次方程的两个根，则这两个圆的圆心距是（　　）．
Ａ．7 Ｂ．1或7 Ｃ．1 Ｄ．6

5、（2008孝感市）中，，，，两等圆⊙A ，⊙B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
6、 (2007兰州)右图是一个小熊的头像，图中反映出圆与圆的四种位置关系，但是其中有一种位置关系没有反映出来，请你写出这种位置关系，它是________．
7、（2007江西南昌）相交两圆的半径分别为5和3，请你写出一个符合条件的圆心距为 ．
8、（2007广西河池）若⊙O和⊙相切，它们的半径分别为5和3，则圆心距O为　　　　．
9．（2008贵阳）如图，在的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位），⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，要使⊙A与静止的⊙B相切，那么⊙A由图示位置需向右平移 个单位．
10、(2008桂林市) 两同心圆，大圆半径为３，小圆半径为１，则阴影部分面积为　　　　　
10题图

A
B

9题图

6题图

11、（2007株洲市）已知Rt△ABC，∠ACB＝90o，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB于点D，以D为坐标原点，CD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）若⊙O1，⊙O2分别为△ACD，△BCD的内切圆，求直线的解析式；
C
D
M
A
B
x
y

Ｎ
11题图
（3）若直线分别交AC，BC于点M，N，判断CM与CN的大小关系，并证明你的结论．

12、（2007黄冈）张宇同学是一名天文爱好者，他通过查阅资料得知：地球、火星的运行轨道可以近似地看成是以太阳为圆心的两个同心圆，且这个同心圆在同一平面上（如图所示）．由于地球和火星的运行速度不同，所以二者的位置不断发生变化．当地球、太阳和火星三者处在一条直线上，且太阳位于地球、火星中间时，称为“合”；当地球、太阳和火星三者处于一条直线上，且地球位于太阳与火星中间时，称为“冲”．另外，从地球上看火星与太阳，当两条视线互相垂直时，分别称为“东方照”和“西方照”．已知地球距太阳15（千万千米），火星距太阳20.5（千万千米）
（1）分别求“合”、“冲”、“东方照”、“西方照”时，地球与火星的距离（结果保留准确值）．
（2）如果从地球上发射宇宙飞船登上火星，为了节省燃料，应选择在什么位置时发射较好，说明你的理由．
（注：从地球上看火星，火星在地球左、右两侧时分别叫做“东方照”、“西方照”．）

太阳
地球运行轨道
火星运行轨道
12题图

【答案】
Ａ组
１、D ２、B ３、C ４、D ５、 ６、6 ７、 ８、1或７　
9．解：(1)56；
（2）如图，△O1 O2 O3是边长为8mm的正三角形，
O1
O2
O3
D
作底边O2O3上的高O1 D．
则 O1D=O1O3·sin60°=4≈6.92．
∴ AD=2(O1D+4)=2×10.92≈21.8（mm）．

10．解：（1）当0≤t≤5.5时，函数表达式为d＝11-2t； 　
当t＞5.5时，函数表达式为d＝2t -11．　　
（2）两圆相切可分为如下四种情况：
①当两圆第一次外切，由题意，可得11－2t＝1＋1＋t，t＝3；
②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t＝1＋t－1，t＝；
③当两圆第二次内切，由题意，可得2t－11＝1＋t－1，t＝11；
④当两圆第二次外切，由题意，可得2t－11＝1＋t＋1，t＝13．
所以，点A出发后3秒、秒、11秒、13秒两圆相切．

Ｂ组
１、D ２、C ３、D ４、B ５、A ６、相交 ７、答案不惟一，如5 ８、8和2
９、2，4，6，8 ； １０、
１１、解：（1）在中，

同理

M
A
D
B
N
E
C
y
x

（2）设的半径为的半径为，
则有
同理

由此可求得直线的解析式为：
（3）与的大小关系是相等．
由（1）易得直线的解析式为：，
联立直线的解析式，求得点的纵坐标为，
过点作轴于点，
，由，得，
解得： 同理，
12、略