《定积分的概念及其应用》同步测试(新人教选修2-2).doc

新课标高二数学同步测试（7）—（2－2第一章1.5—1.7）

说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．
1．将和式的极限表示成定积分 （ ）
A． B． C． D．
2．下列等于1的积分是 （ ）
A． B． C． D．
3．= （ ）
A． B． C． D．
4．已知自由落体运动的速率，则落体运动从到所走的路程为 （ ）
A． B． C． D．
5．曲线与坐标周围成的面积 （ ）
A．4 B．2 C． D．3
6．= （ ）
A． B．2e C． D．
7．求由围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（　）
A．［0，］ B．［0，2］　 C．［1，2］　 D．［0，1］
8．由直线，及ｘ轴围成平面图形的面积为 （　 ）
A．　 B．　
C．　 D．
9．如果1N力能拉长弹簧1cm，为将弹簧拉长6cm，所耗费的功是 （ ）
A．0.18 B．0.26 C．0.12 D．0.28
10．将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为的液体中，使其上距液面距离为2米，则该正方形薄片所受液压力为 （ ）
A．　 B． C．　 D．
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．
11．将和式表示为定积分 ．
12．曲线，所围成的图形的面积可用定积分表示为　　　　　．
13．由及轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为　　．
14．按万有引力定律，两质点间的吸引力，ｋ为常数，为两质点的质量，ｒ为两点间距离，若两质点起始距离为ａ，质点沿直线移动至离的距离为ｂ处，试求所作之功（ｂ＞a） ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．
15．（12分）计算下列定积分的值
（1）；（2）；
（3）；（4）；

16．（12分）求曲线与轴所围成的图形的面积．

17．（12分）求由抛物线与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值.

18．（12分）一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功．

19．（14分）设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且
f′（x）=2x+2.
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.
（2）若直线x=－t（0＜t＜1＝把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.

20．（14分）抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求Smax．

参考答案
一、
1．B；2．C；3．C；4．C；5．D；6．D；7．B；8．C；9．A；10．A；
二、11．；12．；13．；14．；
三、
15．（1）

（2）

（3）

（4）

16．解：首先求出函数的零点：，，.又易判断出在内，图形在轴下方，在内，图形在轴上方，
所以所求面积为
图
17．解：焦点坐标为，设弦AB、CD过焦点F，且．
由图得知：，故．
所求面积为：．
18．解：物体的速度．媒质阻力，其中k为比例常数，k>0．
当x=0时，t=0；当x=a时，，又ds=vdt，故阻力所作的功为

19．解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b，
又已知f′（x）=2x+2
∴a=1，b=2.
∴f（x）=x2+2x+c
又方程f（x）=0有两个相等实根，
∴判别式Δ=4－4c=0，即c=1.
故f（x）=x2+2x+1.
（2）依题意，有所求面积=.
（3）依题意，有，
∴，－t3+t2－t+=t3－t2+t，2t3－6t2+6t－1=0，
∴2（t－1）3=－1，于是t=1－.
评述：本题考查导数和积分的基本概念.
20．解 依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=－b/a，所以(1)
又直线x＋y=4与抛物线y=ax2＋bx相切，即它们有唯一的公共点，
由方程组
得ax2＋(b＋1)x－4=0，其判别式必须为0，即(b＋1)2＋16a=0．
于是代入（1）式得：
，；　
令S'(b)=0；在b＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b＜3时，S'(b)＞0；当b＞3时，S'(b)＜0．故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S取得最大值，且．

共6页　第6页