高三数学高考知识模块复习指导学案——平面向量.doc

高考数学知识模块复习指导系列学案
——平面向量
【考点梳理】
一、考试内容
1.向量、向量的概念，向量的加法与减法，实数与向量的积。
2.平面向量的坐标表示，线段的定比分点。
3.平面向量的数量积，平面两点间的距离公式。
4.平移及平移公式。
二、考试要求
1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2.掌握向量的加法与减法。
3.掌握实数与向量积，理解两个向量共线的充要条件。
4.了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6.掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。
三、考点简析
1.平面向量知识结构表

2.向量的概念
（1）向量的基本概念
①定义
既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也即是向量的长度，叫做向量的模。
②特定大小或特定关系的向量
零向量，单位向量，共线向量（平行向量），相等向量，相反向量。
③表示法
几何法：画有向线段表示，记为或α。
坐标法：=xi+yj=(x,y)。
=(x2－x1,y2－y1)，其中A(x1,y1),B(x2,y2)
（2）向量的运算
①向量的加法与减法
定义与法则（如图5－1）：

a+b=(x1+x2,y1+y2),a－b=(x1－x2,y1－y2)。
其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)。
运算律：
a+b=b+a,(a+b)+C=a+(b+c),a+O=O+a=a。
②向量的数乘（实数与向量的积）
定义与法则（如图5－2）：

λa=λ(x,y)=(λx, λy)
运算律
λ（μa）=(λμ)a,( λ+μ)a=λa+μa, λ(a+b)= λa+λb。
③平面向量的数量积定义与法则（如图5－3）：

a·b=|a||b|cosθ(a≠0,b≠0,0≤θ≤π)
0·a=0,a·b=x1x2+y1y2[a=(x1,y1),b=(x2,y2)]。
运算律：
a·b=b·a,(λa)·b=a·(λb)=λ（a·b），（a+b）·c=a·c+b·c。
（3）定理与公式
①共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λ a
②平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的。任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2使
a=λ1e1+λ2e2
③两向量垂直的充要条件
(i)a⊥ba·b=0
(ii)a⊥bx1·x2+y1·y2=0（a=(x1,y1),b=(x2,y2)）
④三点共线定理：平面上三点A、B、C共线的充要条件是：存在实数α、β,使=α+β，其中α+β=1，O为平面内的任一点。
⑤数值计算公式
两点间的距离公式：
||=[P1(),P2(x2,y2)]
线段的定比分点坐标公式：
[P1 (x1,y1),P2 (x2,y2),P(x,y), =λ]
中点坐标公式：
两向量的夹角公式：
cosθ==
[0°≤θ≤180°,a=(x1,y1),b=(x2,y2)]
⑥图形变换公式
平移公式：
若点P0(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x′,y′)，
则
⑦有关结论
(i)平面内有任意三个点O，A，B。
若M是线段AB的中点，则(+);
一般地，若P是分线段AB成定比λ的分点（即=λ，λ≠－1）则=+，此即线段定比分点的向量式（注意与例7（1）表述方法的不同，例7（1）用时很方便）。
(ii)有限个向量a1,a2,…,an相加，可以从点O出发，逐一作向量=a1, =a2,…, =an,则向量即这些向量的和，即
a1+a2+…+an=++…+=（向量加法的多边形法则）。
当An和O重合时（即上述折线OA1A2…An成封闭折线时），则和向量为零向量。
注意：反用以上向量的和式，即把一个向量表示为若干个向量和的形式，是解决向量问题的重要手段。
3.向量的应用
（1）向量在几何中的应用
（2）向量在物理中的应用
四、思想方法
向量法：用向量证明或解题的方向称为向量法。向量法在处理物理学、几何学中有很大的用处。

【例题解析】
例1 设a0为单位向量，（1）若a为平面内的某个向量，则a=|a|·a0;(2)若a与a0平行，则a=|a|·a0；（3）若a与a0平行且|a|=1，则a=a0。上述命题中，假命题个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命题；若a与a0平行，则a与a0方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时a=－|a|a0，故（2）、（3）也是假命题。综上所述，答案选D。
注 向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。
例2 已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ），a与b之间有关系|ka+b|=|a－kb|，其中k>0，
（1）用k表示a·b;
（2）求a·b的最小值，并求此时a·b的夹角的大小。
解 （1）要求用k表示a·b,而已知|ka+b|=|a－kb|，故采用两边平方，得
|ka+b|2=(|a－kb|)2
k2a2+b2+2ka·b=3(a2+k2b2－2ka·b)
∴8k·a·b=(3－k2)a2+(3k2－1)b2
a·b =
∵a=(cosα，sinα),b=(cosβ,sinβ)，
∴a2=1, b2=1,
∴a·b ==
（2）∵k2+1≥2k，即≥=
∴a·b的最小值为，
又∵a·b =| a|·|b |·cos，|a|=|b|=1
∴=1×1×cos。
∴=60°,此时a与b的夹角为60°。
注 与代数运算相同，有时可以在含有向量的式子左右两边平方，且有|a+b|2=|(a+b)2|=a2+b2+2a·b或|a|2+|b|2+2a·b
例3 已知|a|=1,|b|=1，a与b的夹角为60°, x=2a－b,y=3b－a,则x与y的夹角是多少？
解 由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角为60°,
得a·b=|a|·|b|·cosα=。
要计算x与y的夹角，需求出|x|,|y|,x·y的值。
∵|x|2=x2=(2a－b)2=4a2－4a·b+b2=4－4×+1=3，
|y|2=y2=(3b－a)2=9b2－6b·a+a2=9－6×+1=7.
x·y=(2a－b)·(3b－a)=6a·b－2a2－3b2+a·b
=7a·b－2a2－3b2
=7×－2－3=－，
又∵x·y=|x|·|y|·cosα，即－=·cosα
∴cosα=－，α=π－arccos。
注 在计算x,y的模长时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得，如图所示，设=b, =a, =2a,∠BAC=60°。由向量减法的几何意义，得

=－=2a－b。
由余弦定理易得||=，即|x|=，同理可得|y|=.
例4 讨论|a－b|与a,b的和或差的模的大小关系。
解 如图：

（1）当a与b不平行时，a,b以及a－b可以构成一个三角形，如图，于是|| a |－|b||<|a－b|<|a|+|b|
（2）当a与b平行时，如果a与b的方向相同，则有|a－b|=||a|－|b||，其中当|a|≥|b|时，有
|a－b|=|a|－|b|，
当|a|<|b|时，有|a－b|=|b|－|a|。
如果a与b的方向相反，则有
|a－b|=|a|+|b|
注 利用几何意义（三角形的两边之和大于第三边）解向量中的有关问题是常用方法。
例5 （1）已知a,b是两个非零向量，且a+3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，试求a与b的夹角；
（2）已知：|a|=,|b|=3,a和b的夹角为45°，求使向量a+λb与λa+b的夹角是锐角时λ的取值范围。
解 （1）∵a+3b与7a－5b垂直，∴（a+3b）·(7a－5b)=0,
即7|a|2+16a·b－15|b|2=0， ①
又∵a－4b与7a－2b垂直，∴（a－4b）·(7a－2b)=0。
即7|a|2－30a·b+8|b|2=0。 ②
①－②得46a·b=23|b|2,得a·b=|b|2,
代入①可得|a|=|b|，设所求a与b的夹角为θ，则
cosθ===,∴θ=60°。
（2）由已知
a·b=|a|·|b|·cos45°=3·=3。
∵a+λb与λa+b夹角为锐角，
∴（a+λb）·(λa+b)>0，即a·bλ2+(a2+b2) λ+a·b>0。
把a·b=3，a2+b2=|a|2+|b|2=2+9=11代入得3λ2+11λ+3>0，
解之得λ<或λ>，此即所求λ的取值范围。
例6 如图所示，已知四面体O－ABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，Q为OB的中点，P为OA的中点，若AB=OC，试用向量方法证明，PM⊥QN。

证明 ∵M是BC的中点，连结OM，
∴=（+）。
同理由N是AC的中点，得=（+）。
∵=+=（++）
=（－+）=（+），
=+=（++）=（－+）=（+）= （－）。
∴·=（+）·（－）=（－）。
∵||=||，∴·=0，即PM⊥QN。
例7如图，设G为△OAB的重心，过G的直线与OA，OB分别交于P和Q，已知=h,=k,△OAB与△OPQ的面积分别为S和T。求证：
（1）+=3；
（2）≤T≤S。

证明 （1）连结OG并延长交AB于M，则M为AB的中点，
∴=（+），
==+。 ①
设G分PQ所成比为t：(1－t)，则=(1－t) +t,
而=h,=k,∴=（1－t）h+tk。②
比较①，②得
(1－t)h=,tk=，即=3(1－t), =3t,∴+=3。
（2）∵∠POQ=∠AOB，∴==·=hk。
由题（1）知k=>0，3h－1>0,∴=。
又－=－=，
－=－=，且依题意0<h≤1,0<k≤1,
∴ 1－k=1－=≥0,∴≥，≤。
因此，S≤T≤S成立。
注 解本题的关键是理解向量各种运算的定义，并能熟练应用运算法则。
例8 将函数y=2x2进行平移，使得到的图形与抛物线y=－2x2+4x+2的两个交点关于原点对称，求平移后的函数解析式。
解法一 设平移向量a=(h,k)，则将y=2x2按a平移之后得到的图像的解析式为y=2(x－h)2+k。
设M′(m,n)和M′(－m,－n)是y=－2x2+4x+2与y=2(x－h)2+k的两个交点，则：

解得：或
∴点（1，4）和点（－1，－4）在函数y=2(x－h)2+k的图像上
∴
故所求解析式为：y=2(x+1)2－4，即y=2x2+4x－2
解法二 将y=2x2按向量a=(h,k)平移，设P（x,y）为y=2x2上任一点，按a平移之后的对应点为P′(x′,y′)，则
故
∴y－k=2(x－h)2是平移之后的函数图像解析式。由

消去y得：4x2－4(h+1)x+2h2+k－2=0
又∵两交点关于原点对称
∴x1+x2=0,即=0,h=－1
又y1+y2=0,
∴2x12－4hx1+2+k+2x22－4hx2+2+k=0
∴2(x12+x22)+4(x1+x2)=－4－2k
∴2(x1+x2)2+4(x1+x2)－4x1·x1=－4－2k
∵x1·x2=，
∴－4×=－4－2k,
∴k=－4
∴y=2(x+1)2－4,即y=2x2+4x－2。
例9 如图正方形OABC两边AB，BC的中点分别为D和E，求∠DOE的余弦值。

解析 创造使用求角公式的条件，为此须求·。
=+=+，=+=+，
∴·=（+）·（+）
=·+（·+·）+·
∵⊥，⊥，∴ ·=0，·=0。
又∵=， =，∴·==||2=。
于是·=（||2+||2）=||2，
又||2=||2+||2=||2+||2=||2，
∴cos∠DOE====
注 利用向量解几何题，关键是将有关线段设为向量，不同的设法可出现不同的解法。利用向量解平面几何有时特别方便，但要注意的一点，不宜搞得过难，因为高考在这方面要求不高，只是在数学竞赛中有较高要求。

用心 爱心 专心