《2.6-正态分布》同步练习1.doc

2.6《 概率 》同步练习
§2.6　正态分布
一、基础过关
1．设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为P(x)＝e－，则μ＝__________，σ＝__________.
2．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ<0)＝________.
3．设随机变量ξ～N(2，2)，则V的值为________．
4．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝________.
5．如果ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ>3)＝P(ξ<1)成立，则μ＝________.
二、能力提升
6． 对于标准正态分布N(0，1)的概率密度函数P(x)＝·e－，下列说法正确的有______．(填序号)
①P(x)为偶函数；
②P(x)的最大值是；
③P(x)在x>0时是单调递减函数，在x≤0时是单调递增函数；
④P(x)关于x＝1对称．
7．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58. 5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为________．

8．设ξ～N(0，1)，查标准正态分布表求下列各式的值：
(1)P(ξ≥1.8)；(2)P(ξ＜－1.67)；(3)P(|ξ|＜2.15)．
9．已知某种零件的尺寸X(单位：mm)服从正态分布，其正态分布曲线在(0，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且P(80)＝.
(1)求正态分布的概率密度函数的解析式；
(2)估计尺寸在72～88 mm间的零件大约占总数的百分比．
10．一台机床生产一种尺寸为10 mm的零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下(单位：mm)：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1.如果机床生产零件的尺寸η服从正态分布，求η的正态分布密度函数．
11．某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70，102)，如果规定低于60分为不及格，求：
(1)成绩不及格的人数占总人数的比例；
(2)成绩在80～90内的学生占总人数的比例．
三、探究与拓展
12．某厂生产的“T”形零件的外直径(单位：cm)ξ～N(10，0.22)，某天从该厂生产的“T”形零件中随机取出两个，测得它们的外直径分别为9.52 cm和9.98 cm，试分析该厂这一天的生产状况是否正常．

答案
1．2　　2.0.16　3.　4.0.954　5. 2 6．①②③　7.683
8．解　(1)P(ξ≥1.8)＝1－P(ξ＜1.8)＝1－0.964 1＝0.035 9.
(2)P(ξ＜－1.67)＝P(ξ＞1.67)＝1－P(ξ≤1.67)＝1－0.952 5＝0.047 5.
(3)P(|ξ|＜2.15)＝P(－2.15＜ξ＜2.15)＝P(ξ＜2.15)－P(ξ≤－2.15)＝2P(ξ＜2.15)－1＝2×0.984 2－1＝0.968 4.
9．解　(1)∵正态分布曲线在(0，80)上是增函数，
在(80，＋∞)上是减函数．
∴正态分布关于直线x＝80对称，
且在x＝80处达到峰值，
∴μ＝80.又＝，∴σ＝8，
故正态分布的概率密度函数的解析式为
P(x)＝e－.
(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，
μ＋σ＝80＋8＝88.
∴零件的尺寸X位于区间(72，88)内的概率为0.683.
故尺寸在72～88 mm间的零件大约占总数的68.3%.
10．解　依题意得
μ＝(10.2＋10.1＋10＋9.8＋9.9＋10.3＋9.7＋10＋9.9＋10.1)＝10.
σ2＝[(10.2－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.3－10)2＋(9.7－10)2＋(10－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2]＝0.03.
即μ＝10，σ2＝0.03.
所以η的正态分布密度函数为P(x)＝·e－.
11．解　(1)设学生的得分为随机变量X，X～N(70，102)，
则μ＝70，σ＝10.
分数在60～80之间的学生的比例为
P(70－10<X<70＋10)＝0.683，
所以不及格的学生的比例为×(1－0.683)＝0.158 5，
即成绩不及格的学生占总人数的15.85%.
(2)成绩在80～90内的学生的比例为
[P(70－2×10<X<70＋2×10)]－[P(70－10<X<70＋10)]
＝(0. 954－0.683)＝0.135 5.
即成绩在80～90内的学生占总人数的比例为13.55%.
12．解　因为ξ～N(10，0.22)，正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)内，所以可通过判定抽得的产品是否落在这一区间来分析生产状况是否正常．又μ＋3σ＝10＋3×0.2＝10.6，μ－3σ＝10－3×0.2＝9.4，且9.52在(9.4，10.6)内，9.98在(9.4，10.6)内，所以该厂这一天的生产状况是正常的．