2013年全国高考数学第二轮复习-坐标系与参数方程-文.doc

选修4—4　坐标系与参数方程

真题试做
1．(2012·上海高考，理10)如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角α＝.若将l的极坐标方程写成ρ＝f(θ)的形式，则f(θ)＝__________.

2．(2012·北京高考，理9)直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为__________．
3．(2012·江西高考，理15)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为__________．
4．(2012·课标全国高考，理23)已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.
(1)求点A，B，C，D的直角坐标；
(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．
5．(2012·辽宁高考，文23)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.
(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．
考向分析
从近几年的高考情况看，该部分主要有三个考点：一是平面坐标系的伸缩变换；二是极坐标方程与直角坐标方程的互化；三是极坐标方程与参数方程的综合应用．对于平面坐标系的伸缩变换，主要是以平面直角坐标系和极坐标系为平台，考查伸缩变换公式的应用，试题设计大都是运用坐标法研究点的位置或研究几何图形的形状．对于极坐标方程与直角坐标方程的互化，是高考的重点和热点，涉及到直线与圆的极坐标方程，从点与直线、直线与圆的位置关系等不同角度考查，研究求距离、最值、轨迹等常规问题．极坐标方程与参数方程的综合应用，主要是以直线、圆和圆锥曲线的参数方程为背景，转化为普通方程，从而进一步判断位置关系或进行有关距离、最值的运算．
预计2013年高考中，本部分内容主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，考查简单曲线的极坐标方程和参数方程，试题多以填空题、解答题的形式呈现，属于中档题．

热点例析
热点一　平面坐标系的伸缩变换
【例1】在同一平面直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．
规律方法 1．平面坐标系的伸缩变换对图形的变化起到了一个压缩或拉伸的作用，如三角函数图象周期的变化．
2．设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
变式训练1 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线2x′2＋8y′2＝1，则曲线C的方程为(　　)．
A．50x2＋72y2＝1 B．9x2＋100y2＝1
C．25x2＋36y2＝1 D．x2＋y2＝1
热点二　极坐标方程与直角坐标方程的互化
【例2】在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求实数a的值．
规律方法 1．直角坐标和极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则
x＝ρcos θ，y＝ρsin θ且ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)．
这就是直角坐标和极坐标的互化公式．
2．曲线的极坐标方程的概念：在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0就叫做曲线C的极坐标方程．
变式训练2 圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－sin θ.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过圆O1，圆O2两个交点的直线的直角坐标方程．
热点三　参数方程与普通方程的互化
【例3】把下列参数方程化为普通方程：
(1)
(2)
规律方法 1．参数方程部分，重点还是参数方程与普通方程的互化，主要是将参数方程消去参数化为普通方程．
2．参数方程与普通方程的互化：参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种：
①代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；
②三角法：利用三角恒等式消去参数；
③整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去参数．
化参数方程为普通方程F(x，y)＝0：在消参过程中注意变量x，y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)的值域即x，y的取值范围．
变式训练3 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：
(1)(t为参数)；
(2)(θ为参数)．
热点四　极坐标方程与参数方程的综合应用
【例4】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为(α为参数)．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝2.点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．
规律方法 如果直接由曲线的极坐标方程看不出曲线是什么图形，往往先将曲线的极坐标方程化为相应的直角坐标方程，再通过直角坐标方程判断出曲线是什么图形．
变式训练4在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；
(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

1．(2012·安徽安庆二模，4)以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线(φ为参数，φ∈R)上的点到曲线ρcos θ＋ρsin θ＝4(ρ，θ∈R) 的最短距离是(　　)．
A．0　　　　B．2－　　　　C．1　　　　D．2
2．设直线的参数方程为(t为参数)，则其斜截式方程为__________．
3．(2012·广东梅州中学三模，15)在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A，B两点，则|AB|＝__________.
4．(2012·北京丰台区三月模拟，11)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t为参数)．以O为极点，x轴正方向为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程是ρ2－4ρcos θ＋3＝0.则圆心到直线的距离是__________．
5．在平面直角坐标系xOy中，判断曲线C：(θ为参数)与直线l：(t为参数)是否有公共点，并证明你的结论．
6．(2012·江苏镇江5月模拟，21)已知椭圆C的极坐标方程为ρ2＝，点F1，F2为其左、右焦点，直线l的参数方程为(t为参数，t∈R)．求点F1，F2到直线l的距离之和．
7．(2012·吉林长春实验中学模拟，23)已知圆C的方程为x2＋y2－2x＝0，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)设y＝sin θ，求圆C的参数方程；
(2)直线l与圆C交于A，B两点，求线段AB的长．
参考答案
命题调研·明晰考向
真题试做
1．　解析：如图所示，根据正弦定理，有＝，∴ρ＝.

2．2　解析：由题意知直线与曲线的参数方程可分别化为x＋y－1＝0，x2＋y2＝9，进而求出圆心(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝＜3，∴交点个数为2.
3．ρ＝2cos θ
4．解：(1)由已知可得A，
B，
C，
D，
即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)．
(2)设P(2cos φ，3sin φ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，
则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.
因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]．
5．解：(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，
圆C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
解得ρ＝2，θ＝±，
故圆C1与圆C2交点的坐标为，.
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)方法一：由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，)，(1，－)．
故圆C1与C2的公共弦的参数方程为－≤t≤.
(或参数方程写成－≤y≤)
方法二：将x＝1代入得ρcos θ＝1，
从而ρ＝.
于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为－≤θ≤.
精要例析·聚焦热点
热点例析
【例1】解：设变换为代入第二个方程，得2λx－μy＝4与x－2y＝2比较，将其变成2x－4y＝4，比较系数得λ＝1，μ＝4.
∴伸缩变换公式为
即直线x－2y＝2上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x′－y′＝4.
【变式训练1】A　解析：将代入曲线方程2x′2＋8y′2＝1，得：2·(5x)2＋8·(3y)2＝1，即50x2＋72y2＝1.
【例2】解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，
直线的方程为3x＋4y＋a＝0.
由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，
即有＝1，
解得a＝－8或a＝2.即a的值为－8或2.
【变式训练2】解：(1)因为圆O1和圆O2的极坐标方程分别为
ρ＝4cos θ，ρ＝－sin θ，
又因为ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，
所以由ρ＝4cos θ，ρ＝－sin θ得，
ρ2＝4ρcos θ，ρ2＝－ρsin θ.
即x2＋y2－4x＝0，x2＋y2＋y＝0.
所以圆O1和圆O2的直角坐标方程分别为
x2＋y2－4x＝0，x2＋y2＋y＝0.
(2)由(1)易得，经过圆O1和圆O2两个交点的直线的直角坐标方程为4x＋y＝0.
【例3】解：(1)由已知
由三角恒等式cos2θ＋sin2θ＝1，
可知(x－3)2＋(y－2)2＝1，这就是它的普通方程．
(2)由已知，得t＝2x－2，代入y＝5＋t中，
得y＝5＋(2x－2)，
即x－y＋5－＝0就是它的普通方程．
【变式训练3】解：(1)由x＝1＋t，得t＝2x－2.
∴y＝2＋(2x－2)．
∴x－y＋2－＝0，此方程表示直线．
(2)由得两式平方相加得＋＝1，此方程表示椭圆．
【例4】解：ρcos＝2化简为ρcos θ＋ρsin θ＝4，则直线l的直角坐标方程为x＋y＝4.
设点P的坐标为(2cos α，sin α)，得P到直线l的距离d＝，
即d＝，其中cos φ＝，sin φ＝.
当sin(α＋φ)＝－1时，dmax＝2＋.
【变式训练4】解：(1)把极坐标系中的点P化为直角坐标，得P(0,4)．
因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．
(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cos α，sin α)，
从而点Q到直线l的距离是
d＝＝
＝cos＋2，
由此得，当cos＝－1时，d取得最小值，且最小值为.
创新模拟·预测演练
1．B
2．y＝x＋3－2
3．2
4．
5．解：没有公共点．证明如下：直线l的普通方程为x＋2y－3＝0.
把曲线C的参数方程代入l的方程x＋2y－3＝0，
得2cos θ＋2sin θ－3＝0，即sin＝.
因为sin∈[－，]，而[－，]．
所以方程sin＝无解．
即曲线C与直线l没有公共点．
6．解：直线l的普通方程为y＝x－2；
曲线C的普通方程为＋＝1.
∵F1(－1,0)，F2(1,0)，
∴点F1到直线l的距离d1＝＝，点F2到直线l的距离d2＝＝，
∴d1＋d2＝2.
7．解：(1)将y＝sin θ代入(x－1)2＋y2＝1中，得x＝cos θ＋1.因此，圆C的参数方程为(θ为参数)．
(2)将直线化为代入x2＋y2－2x＝0中，得t′2－7t′＋12＝0，解得t1′＝3，t2′＝4.|AB|＝|t1′－t2′|＝1.

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