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轴对称
知识网络图示

基本知识提炼整理
一、基本概念
1.轴对称图形
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.
2.线段的垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线
3.轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.
4.等腰三角形 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
5.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
二、主要性质
1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
2.线段垂直平分钱的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
3.（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y）.
（2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（-x，y）.
4.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.
5.等边三角形的性质（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.
三、有关判定1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.3.三个角都相等的三角形是等边三角形.4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
专题总结及应用 一、用轴对称的观点证明有关几何命题
例1 试说明在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，如图所示.求证：BC=AB.

证明：如图所示.作出△ABC关于AC对称的△AB′C.∴AB′=AB.
又∵∠CAB=30°，∴∠B′=∠B=∠B′AB=60°.∴AB=BB′=AB′
又∵AC⊥B′B，∴B′C=BC=BB′=AB.即BC=AB.
例2 如图所示，已知∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°.求证BD=AB.

证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴BC=AB，∠B=60°.
又∵CD⊥BA，∴∠BDC=90°，∠BCD=30°.∴BD=BC.
∴BD=·AB=AB.即BD=AB.
二、有关等腰三角形的内角度数的计算
例3 如图所示，AB=AC，BC=BD=ED=EA，求∠A的度数.

（分析）图形中有多个等腰三角形，因而有许多对相等的角，设定其中的某个角，再用这个角把另外的角表示出来，即可解决.
解：∵AB=AC，BC=BD=ED=EA，∴∠ABC=∠C=∠BDC，
∠ABD=∠BED，∠A=∠EDA.
设∠A=α，则∠EDA=α，∠ABD=∠BED=2α，
∠ABC=∠C=∠BDC=3α（根据三角形的外角性质）.
在△ABC中，∠A=α，∠ABC=∠ACB=3α，由三角形内角和可得α+3α+3α=180°，∴α=，∴∠A=.∴∠A的度数为.

练习：当等腰三角形被一条直线分割成两个较小的三角形也是等腰三角形时，原等腰三角形的顶角度数是多少？这条直线怎样画？（讨论所有可能的解，并逐一画图表示）

例4 如图所示，在△ABC中，D在BC上，若AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC的度数.

解：∵AD=BD，AB=AC=CD，∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA.
设∠B=∠C=∠BAD=α，则∠CAD=∠CDA=2α，∠BAC=3α.
在△ABC中，∠BAC=3α，∠B=∠C=α，∴3α+α+α=180°，∴α=36”，∴3α=108°，即∠BAC=108°.∴∠BAC的度数是108°.
三、作辅助线解决问题
例5 如图所示，∠B=90°，AD=AB=BC，DE⊥AC.求证BE=DC.

证明：连接AE.∵ED⊥AC，∴∠ADE=90°.
又∵∠B=90°，∴在Rt△ABE和Rt△ADE中，
∴Rt△ABE≌Rt△ADE（HL），∴BE=ED.
∵AB=BC，∴∠BAC=∠C. 又∵∠B=90°，∴∠BAC+∠C=90°.
∴∠C=45°.∴∠DEC=45°.∴∠C=∠DEC=∠45°.∴DE=DC，∴BE=DC.
例6 如图所示，在△ABC中，AB=AC，在AB上取一点E，在AC延长线上取一点F，使BE=CF，EF交BC于G.求证EG=FG.

证明：过E作EM∥AC，交BC于点M，∴∠EMB=∠ACB，∠MEG=∠F.
又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB.∴∠B=∠EMB，∴EB=EM.
又∵BE=CF，∴EM=FC.
在△MEG和△CFG中，∴△MEG≌△CFG（AAS）.∴EG=FG.
例7 如图所示，在△ABC中，∠B=60°，AB=4，BC=2.求证△ABC是直角三角形.（分析）欲证△ABC是直角三角形，只需证明∠BCA=90°即可.
证明：取AB的中点D，连接CD.∵BC=2，AB=4，∴BC=BD=AD=2.
∴∠BCD=∠BDC.又∵∠B=60°，∴∠BCD=∠BDC=60°.
∴DC=BD=DA.∴∠A=∠DCA.又∵∠BDC是△DCA的一个外角，
∴∠BDC=∠A+∠DCA=60°.∴∠A=30°，
∴∠BCA=180°-∠B-∠A=180°-60°-30°=90°.∴△ABC是直角三角形.