2013年四川初中数学联赛(初二组)决赛试卷及其解析.doc

2013年四川初中数学联赛（初二组）决赛试卷及其解析
（考试时间：2013年3月24日上午8:45—11:15）
题号
一
二
三
四
五
合计
得分

评卷人

复核人

一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）
1、设，则的最大值与最小值的和 （ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
2、设，是不超过的最大整数，求= （ ）
（A） （B） （C） （D）
D
C
B
A
3、如图，已知在四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°，则∠CAD=（ ）
（A）65° （B）70° （C）75° （D）80°
4、由1、2、4分别各用一次，组成一个三位数，这样的三位数中是4的倍数的三位数共有 （ ）
（A） 1个 （B） 2个 （C） 3个 （D） 4个
5、已知：为三个非负实数，且满足，设，则的最大值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
6、如图，∠DAP=∠PBC=∠CDP=90°，AP=PB=4，AD=3，则BC的长是（ ）
E
P
B
C
D
A
D
P
C
B
A
（A） （B）16 （C） （D）
填空题第4题图
选择题第6题图

二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）
1、关于的不等式组的解是，则的值是
2、如果都是质数，则
3、设为两个不同的非负整数，且，则的最小值是
4、如图，已知ABCD为正方形，△AEP为等腰直角三角形，∠EAP=90°，且D、P、E三点共线，若EA=AP=1，PB=，则DP=
三、（本大题满分20分）
设实数满足，解关于的分式方程

四、（本大题满分25分）
O
P
A
F
E
y
x
已知一次函数的图像与轴的正半轴交于E点，与轴的正半轴交于F点，与一次函数的图像相交于A (m,2)，且A点为EF的中点.
（1）求一次函数的表达式；
（2）若一次函数的图像与轴相交于P点，求三角形APE的面积。

五、（本大题满分25分）
B
如图，已知AB=AC,∠BAC=∠CDE=90°，DC=DE，
F是BE的中点，求证：FA=FD且FA⊥FD

一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）

1、设，则的最大值与最小值的和 （ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
解析：由条件，可得，当，得最小值-2，当，得最大值2，故选A
2、设，是不超过的最大整数，求= （ ）
（A） （B） （C） （D）
解析：易得，代入代数式经分母有理化得，故选B.
D
C
B
A
3、如图，已知在四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°，则∠CAD=（ ）
（A）65° （B）70° （C）75° （D）80°
解析：此题由三角形内角和及角的构成容易得，答案为C.
4、由1、2、4分别各用一次，组成一个三位数，这样的三位数中是4的倍数的三位数共有 （ ）
（A） 1个 （B） 2个 （C） 3个 （D） 4个
解析：是4的倍数必然个位数不能是1，再将124、142、214、412试除以4，便可得答案为B.
5、已知：为三个非负实数，且满足，设，则的最大值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
解析：由方程组解出，由非负实数，可解得，
∵，取代入即可求得，答案为A
6、如图，∠DAP=∠PBC=∠CDP=90°，AP=PB=4，AD=3，则BC的长是（ ）
（A） （B）16 （C） （D）
E
D
P
C
B
A
D
P
C
B
A
解析：延长DP交CB延长线于点E，如图，由三角形全等可证PE=DP,AD=BE，由勾股定理可求DP=5，故DE=10，再由△EBP∽△EDC，可得,求得EC=，BC=EC-EB=-3=，答案C
二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）
1、关于的不等式组的解是，则的值是
解析：解不等式组得，故
2、如果都是质数，则
解析：考虑到是初二竞赛，试值可求得P=3
3、设为两个不同的非负整数，且，则的最小值是
解析：∵为两个不同的非负整数，∴，故取0~6的整数，代入再求符合条件的，
符合条件的整数解只有三组，故的最小值为5.
4、如图，已知ABCD为正方形，△AEP为等腰直角三角形，∠EAP=90°，且D、P、E三点共线，若EA=AP=1，PB=，则DP=
E
P
B
C
D
A
解析：连结BE，易证△AEB≌△APD，故PD=EB，∠APD=∠AEB。
∵△AEP为等腰直角三角形，∠EAP=90°
∴∠AEP=∠APE=45° ∴∠APD=135° 故∠AEB=135°
∴∠PEB=∠AEB-∠AEP=135°-45°=90°
可求PE=,再由勾股定理可求得BE=, 所以PD=
三、（本大题满分20分）
设实数满足，解关于的分式方程
解 ∵ ∴
∴…………………………………………………………5分
∴ ，又∵
∴ …………………………………………………………10分
当时，为增根，原方程无解………………………………………15分
当且时，原方程的解是…………………………………20分

四、（本大题满分25分）
已知一次函数的图像与轴的正半轴交于E点，与轴的正半轴交于F点，与一次函数的图像相交于A (m,2)，且A点为EF的中点.
（1）求一次函数的表达式；
（2）若一次函数的图像与轴相交于P点，求三角形APE的面积。
解析：∵函数过点A (m,2) ∴ A点坐标……………………5分
∵ A点为EF的中点. ∴E（3,0） F（0,4） ………………………………10分
∴ 一次函数解析式为 ……………………………………………15分
O
P
A
F
E
y
x
∵一次函数的图像与轴相交于P点，
∴ P ………………………………20分
如图：所以PE=， PE边上的高为2，
∴…………………………………25分

五、（本大题满分25分）
B
如图，已知AB=AC,∠BAC=∠CDE=90°，DC=DE，F是BE的中点，求证：FA=FD且FA⊥FD

解析：连结AF、DF，并延长AF至G，使FG=AF,
连结DG、EG
∵
∴△AFB≌△GFE
∴AB=GE ,∠B=∠FEG……………………5分
∵ABED为四边形，且∠BAC=∠CDE=90°，
∴∠B+∠FED+∠CAD+∠CDA=180°，
又∵∠C+∠CAD+∠CDA=180°
∴ ∠C=∠B+∠FED=∠FEG+∠FED=∠GED………………10分
又因为GE=AB=AC,CD=ED
∴ △ACD≌△GED…………………………………15分
∴AD=GD，∠ADC=∠GDE
而AF=GF
∴AF⊥DF…………………………………20分
又∵∠GDE+∠GDC=∠CDE=90°
∴ ∠ADC+∠GDC=90° 即∠ADG=90°
∴DF=AF…………………………………25分

5