上海市奉贤区2012年高中数学二模试卷及答案.doc

2012届上海市奉贤区高三数学二模调研卷
一、填空题（本大题满分56分）
1.若，其中是虚数单位，则=
2.函数的反函数
3.若集合则
4.阅读如图1，所示的程序框图，若输出的值为0，则输入的值为___________
5.二项式展开式中的常数项是 （用数字回答）

开始
输入

y=x

否
是
否
是
图1
结束
输出
y=1
y=2x-3
6.无穷等比数列满足，，则数列的各项和为
7.已知数列是等差数列，公差，在行列式中，元素是实数，则所有元素的代数余子式大于零的个数有__　个
8.不等式的在内有实数解，则实数的取值范围是
9.(理)圆的圆心到直线的距离是
（文）在中，，
则=________
10.（理）盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5cm，两个直径为5cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降________cm
（文）如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为
全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，
那么这个几何体的体积为 ___________

正视图 侧视图 俯视图
11.（理）已知，则___________
（文）双曲线的实轴长，则双曲线上的一点到两渐近线的距离的乘积等于
12. （理）关于的方程没有实数解，则实数的取值范围是
(文)从中随机抽取一个数记为，从中随机抽取一个数记为,则函数的图象经过第三象限的概率是

1
2
3

13.（理）已知某随机变量的概率分布列如右表，其中，
随机变量的方差，则=
（文）过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，当最小时，此时点坐标为____________
14.（理）若点集，，则点集
所表示的区域的面积为___________
(文)操作变换记为，其规则为：，且规定：，是大于1的整数，如：，，则

二、选择题（本大题满分16分）
15.已知，是平面内的两条直线，则“直线”是“直线且直线”的 [答］（　　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

16.若有不同的三点满足
则这三点 [答］（　　）
A．组成锐角三角形 B．组成直角三角形
C．组成钝角三角形 D．在同一条直线上

17.（理）已知等比数列的前10项的积为32，则以下命题为真命题的是 [答］（　　）
A．数列的各项均为正数 B．数列中必有小于的项
C．数列的公比必是正数 D．数列中的首项和公比中必有一个大于1
（文）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中
为预测人口数，为初期人口数，为预测年内增长率，为预测期间隔年数．如果在某一时期满足，那么这期间人口数 [答］（　　）
A.呈上升趋势 B.呈下降趋势 C.摆动变化 D.不变

E
D
C
A
B
O
P
y
x
N
M
18.（理）已知：P为椭圆上的任意一点，过椭圆的右顶点A和上顶点B分别作与x轴和y 轴的平行线交于C，过P引BC、AC的平行线交AC于N，交BC于M，交AB于D、E，矩形PMCN是，三角形PDE的面积是，则 [答］ （　 ）
A．1 B．2
C． D．与点P的坐标有关
（文）平行于轴的直线与椭圆：交于左右、两点，平行于轴的直线与椭圆：交于上下、两点，则四边形面积的最大值为 [答］ （　　）
A．15 B．60
C．30 D．不是一个定值

三、解答题（本大题满分78分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
19. (本题满分10分)
本题共有两个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分.
设关于的不等式的解集为，不等式的解集为.
（1）当时,求集合； （2）若,求实数的取值范围.

20.(本题满分11分)
本题共有两个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分.
已知函数，.
（1）求的零点； （2）求的最大值和最小值.

21.(本题满分11分)
本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分.
函数，其中
（1）若是奇函数，求的值；
（2）在（1）的条件下，判别函数的图像是否存在两点A,B，使得直线AB平行于轴，说明理由；

22.(本题满分12分)
本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
（理）如图，直三棱柱中，⊥AC，M是的中点，N是BC的中点，点P在直线上，且满足.
（1）当取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大；
(2) 在（1）的条件下，求三棱锥的体积．

P
N
M
A
B
C

（理） (文)
（文）如图，直三棱柱中， ，，，，、分别是和的中点．
（1）求异面直线与所成的角；（2）求三棱锥的体积．

23.(本题满分17分)
（理）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分9分，第3小题4分
平面内一动点到两定点的距离之积等于，
（1） 求动点的轨迹方程，用形式表示（4分）
（2） 类似高二第二学期教材（12.4椭圆的性质、12.6双曲线的性质、12.8抛物线的性质）中研究曲线的方法请你研究轨迹的性质，请直接写出答案（9分）
（3） 求周长的取值范围（4分）

（文）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题9分
平面内一动点到两定点的距离之积等于，
（1） 求周长的最小值（4分）
（2） 求动点的轨迹方程，用形式表示（4分）
（3） 类似高二第二学期教材（12.4椭圆的性质、12.6双曲线的性质、12.8抛物线的性质）中研究曲线的方法请你研究轨迹的性质，请直接写出答案（9分）

24. (本题满分17分)
（理）本题有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.
数列的各项均为正数，，，

（1）当时，若数列是成等比数列，求的值；
（2）当，时，设，参照高二教材书上推导等比数列前项求和公式的推导方法，求证：数列是一个常数；
（3）设数列是一个等比数列，求（用的代数式表示）；

（文）本题有3小题，第1小题满分6分，第2小题满分4分，第3小题满分7分.
数列的各项均为正数，，,，
（1）当，时，求；
（2）若数列成等比数列，请写出满足的一个条件，并写出相应的通项公式（不必证明）
（3）当时，设，求

2012调研测试高三数学参考答案
一、填空题
1、5 2、 3、
4、或 5、20 6、
7、4 8、 9、理：
文：
10、理 ： 11、理： 12、理：
文： 文： 文：
13、理： 14、理：
文： 文；

14理：⑵点集实际上可以写成：，其中看成是按照向量的平移得到的点集．而得到的是以为圆心半径为的圆，所以就是所有圆心在正方形里半径为的圆的并；如图所示：当半径为的圆在边界上滑动时，分别得到个长为宽为的矩形；在顶点滚动时，得到个扇形；所以最终就是图示阴影部分．不难求得面积．
二、选择题
15、 A 16、C
17、（理）C 18、（理）A
（文）B （文）C
三、解答题（10+11+11+12+17+17）
19．解：(Ⅰ)当时, 由已知得.
所以. …………………3分
(Ⅱ)方法一： 由已知得. …………………5分
①当时, 因为，所以.
因为，所以，解得 …7分
②若时, ，显然有，所以成立 …8分
③若时, 因为，所以.
又，因为，所以,解得 …9分
综上所述,的取值范围是. ……………10分
说明②可以并入①，也可并入③，每一种2分，一共4分，最后结论1分
方法二：(Ⅱ)方法一： 由已知得. …………………5分
由题得 …………………6分 解得…………………7分
…… ……………8分 解得…………………9分
所以…………………10分
20．（1）解法一：解：令，得 ，
所以，或. ……2分
由 ，，得； ……3分
由 ，，得. ……4分
综上，函数的零点为或. ……5分
解法二：. ………3分
令，得 . ……5分
因为，所以.
所以，当，或时，. …7分
即 或时，. ……8分
综上，函数的零点为或. ……9分
（2）解：. …8分
因为，所以. ……9分
当，即时，的最大值为； …10分
当，即时，的最小值为. ……11分

21．解：（1）恒成立，
所以函数的定义域是一切实数，关于原点对称 ……2分
方法一： 是奇函数， ……3分

……5分
方法二：因为是奇函数，所以 ……3分

……5分
（2）方法一：
假设存在两点，使得平行轴， ……6分
……7分

两边平方化简得到： ……10分
得到矛盾
的图像上不存在两点，使得所连的直线与轴平行 ……11分
方法二：
不存在

在单调递增； ……7分
是奇函数，所以在单调递增； ……8分
在单调递增； ……9分
……10分
的图像上不存在两点，使得所连的直线与轴平行 ……11分
说明：证明在整个上单调递增的要4分，不证明单调性，直接说函数是单调递增的，扣3分

22．（理）（1）方法一：则， ……1分
平面的一个法向量为 ……2分
则 ……4分
所以当时，， ……5分
（ ） ……6分
方法二：过作交于点，
可得,就是所成的线面角 ……1分
计算：, ……2分
……4分
所以当时，， ……5分
（ ） ……6分

(2)方法一：过作面,可证得在上 ……8分
点到平面的距离 ……9分
……10分
……12分
方法二：用向量
平面的法向量 ……8分
点到平面的距离 ……9分
面积 ……10分
……12分

22．（文）解：（1）过A作AQ∥C1N交A1C1于Q，连结，
为异面直线与所成的角（或其补角）． ……2分
根据四边形，N是中点，为矩形，可证Q为中点
计算 ……3分
∥BC，=BC，BC∥AD，，四边形为矩形，且∥，
由已知条件和余弦定理可得 ……5分
异面直线与所成的角为 ……6分
（2）方法一：过作于H，面面于
面 平面ABC， ……8分
……10分
……12分
方法二：（2）取BC的中点P，连结MP、NP，则MP∥，
平面ABC， ……8分
又，．
,，
……10分
……12分

23．（理）解:（1）,列式： 3分
化简 1分
（2）性质：
对称性：关于原点对称
关于轴对称
关于轴对称 3分
顶点：， 3分
的范围： 1分
的范围： 2分
（3） 1分
，
1分
1+1分
23．（文）解:（1） 2分
当且仅当时等式成立 1分
周长的最小值 1分
（2）,列式： 3分
化简 1分
（3）性质：
对称性：关于原点对称
关于轴对称
关于轴对称 3分
顶点：， 2分
的范围： 2分
的范围： 2分
(23题的图)

（23（2）理科）的取值范围推导过程
解1：推导过程：设
时递增， 所以
解2：设时递增，

令，
（文科23（3））单调性：单调递减
推导过程：， 设
时递减，所以
另解：设

单调递减，即在单调递减

24．（理）解（1）， ……2分
设等比数列的公比是，则可计算出， ……4分
时，， ……5分
（2）证明：

……7分 ……8分
……9分
……10分
（3）
……11分
数列是一个等比数列，所以求出公比为 ……13分
……15分
当时，， ……16分
当时，， ……17分

（文）解（1） ……2分
， ……6分
（2）当时， ……10分
（3）由（2）知， ……12分

……13分
……15分
时， ……16分
当时，， ……17分
方法二：
由（2）知， ……12分

……15分
时， ……16分
当时， ……17分