线性代数全真模拟试卷.doc

线性代数全真模拟试卷
第一题 选择题
1、 已知行列式=4，则=（ ）
A、2
B、4
C、-4
D、-2
2、 若方程组有非零解，则=（ ）
A、0
B、1
C、-1
D、2
3、 设A是n阶非零方阵，下列矩阵不是对称矩阵的是（ ）
A、 A+A
B、 AA
C、 A-A
D、 （A+A）
4、设ABC均为n阶可逆方阵，且ABC=E,则下列结论成立的是（ ）
A、ABC=E
B、BAC=E
C、BCA=E
D、CBA=E
5、 设a1，a2，a3线性无关，而a2，a3，a4线性相关，则（ ）
A、 a1必可由a2，a3线性表示
B、 a2必可由a3，a4线性表示
C、 a3必可由a2，a4线性表示
D、 a4必可由a2，a3线性表示
6、 向量组a,a…，a的秩为s的充要条件为（ ）
A、 此向量组中不含零向量
B、 此向量组中没有两个向量的对应分量成比例
C、 此向量组中有一个向量不能由其余向量线性表示
D、 此向量组线性无关
7、 设A为m*n矩阵，且任何n维列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则（ ）
A、 A=0
B、 r（A）=m
C、 r（A）=n
D、 0<r（A）<n
8、 设三元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为=（2,0,3），=（1，-1，2）,r（A）=2，则此线性方程组的通解为（ ）
A、 k1（2,0,3）+k2（1，-1,2）
B、 （2,0,3）+k（1,1,1）
C、 （2,0,3）+k（1，-1,2）
D、 （2,0,3）+k（3，-1,5）
9、 下列命题正确的是（ ）
A、 两个同阶的正交矩阵的行列式都等于1
B、 两个同阶的正交矩阵的和必是正交矩阵
C、 两个同阶的正交矩阵的乘积必是正交矩阵
D、 特征值为1的矩阵就是正交矩阵
10、 设A为n阶矩阵，则在（ ）情况下，它的特征值可以是零。
A、 A=A
B、 A=E
C、 A正交
D、 A可逆
11、 若A正定，则A与A（ ）
A、 必相似
B、 必合同于同一对角阵
C、 必正相交相似于同一对角阵
D、 必相似于同一对角阵
12、 若A是二阶实对称矩阵，则（ ）
A、 A有两个不同的特征值
B、 A的特征多项式无重根
C、 A必相似于二阶对角阵
D、 A合同于单位矩阵
13、 若则此方程组有解的条件是=（ ）
A、 -
B、
C、 -1
D、 1
14、 设向量组a，a，a线性无关，则以向量组中线性无关的是（ ）
A、 a+a，a+a，a+a，
B、 a+a，a-a，a+a，
C、 a+a，a+a，a+2a+a，
D、 a+a，a-a，a-a
15、 若四阶实对称矩形A是正定矩阵，则A的正惯性指数为（ ）
A、1
B、2
C、3
D、4
16、 已知A=，B=，P=，Q=，则B=（ ）
A、 APQ
B、 AQP
C、 PQA
D、 QPA
17、 设A施三阶可逆方阵，则与A等价的矩阵为（ ）
A、
B、
C、
D、
18、 设向量组a=（1,2,3），a=（2,3,2），a=（4,2，a）线性相关，则数a=（ ）
A、 -12
B、 12
C、 -24
D、 24
19、 设A与B时两个相似的n阶矩阵，则下列说法错误的是（ ）
A、 r（A）=r（B）
B、
C、 =
D、 存在可逆矩阵P，使PAP=B
20、 设矩阵A=，则二次型xAx的规范形为（ ）
A、 Z+Z+Z
B、
C、
D、
第二题 填空题
21、 行列式的值为（ ）
22、 设矩阵A=，矩阵B=A+E，则矩阵B的秩r（B）=（ ）
23、 已知矩阵方程AX=B，其中AX=B，其中A=，B=，则X=（ ）
24、 若为正定二次型，则a的取值应该满足（ ）
25、 设二次型，则此二次型的正惯性指数是（ ）
26、 已知四阶行列式D的第二行元素为1,0，-2,3，第四行元素对应的代数余子式依次为6，-2，k，1，则k=（ ）
27、 设三维向量，若向量满足，则（ ）
28、 设向量组则该向量组的极大无关组是（ ）
29、 向量空间为任意实数的维数为（ ）
30、 设向量，则a的长度为（ ）
31、 二次型的矩阵为（ ）
32、 当t取值满足（ ）时，二次型正定。
33、 二次型的标准形为（ ）
34、 二次型的正惯性指数为（ ），符号差为（ ）
35、 若二次型所对应的矩阵A的特征值为1，-，，则二次型的规范形为（ ）
36、 设A是三阶方阵，A的特征值为2,4,6，则A的特征值为（ ）
37、 若四阶矩阵A与B相似，A的特征值为，，，，则（ ）
38、 设三阶方阵A的特征值为2,4,6，则A-3E的相似对角矩阵为（ ）
39、 设和是三阶实对称矩阵A的两个不同特征值，和一次是属于和的特征向量，则x=（ ）
40、 其次线性方程，有非零解的冲要条件是t=（ ）
41、 齐次线性方程组的基础解系中所含向量个数为（ ）
42、 设非齐次线性方程组有唯一解，则的取值范围是（ ）
43、 三元齐次线性方程组Ax=b的r（R）=2，且是Ax=b的两个解，则此方程组的通解为（ ）
44、 若向量组线性无关，则t的取值范围是（ ）
45、 向量组的秩=（ ）
46、 若向量组（I）与向量组（1,2,3,4），（2,3,4,5），（0,0,1,2）的等价，则（I）的秩=（ ）
47、 若r（）=3，则r（）=（ ）
48、 中向量=（2,0,0）在基下坐标为（ ）
49、 设矩阵A=，B=，A为A的转置，则AB=（ ）
50、 设A=，则=（ ）
51、 设A=，则（ ）
52、 设A=，则=（ ）
53、 行列式=（ ）
54、 已知四阶行列式D的第一行元素依次为1,3,0，-2，第三行元素对应的代数余子式依次为8，k，-7,10,则k=（ ）
55、 如果的代数余子式A=0，则代数余子式A=（ ）
三、 计算题
56、 计算D=。
57、 计算D=。
58、 计算D=。
59、 已知行列式中元素a的代数余子式A=8，求元素a的代数余子式A的值。
60、 设A=，求A
61、 设矩阵A=，求A
62、 设矩阵A=，B=，问A、B及AB是否可逆，若可逆，求出他们
63、 设a=（1,1,2），a=（1,0,1），a=（3,4,0）,求。
64、 设.问k取何值时，能由线性表示？
65、 求向量组的秩和它的一个极大无关组，并用此极大无关组线性表示其余向量。
66、 求R中由向量组a生成的子空间的一个基和维数
67、 判断向量组是否为R的基？若是，求出向量在该基下的坐标。
68、 取何值时，齐次线性方程组有非零解？并求出其通解。
69、 求a、b的值，使齐次线性方程组有非零解，并求其通解。
70、 设A=有一个特征向量a=，求a，b的值，并求出对应于a的特征值。
71、 求三阶矩阵A=的特征值及各特征值对应的线性无关的特征向量；并对可对角化的矩阵A，求一个可逆矩阵P及对角矩阵，使PAP=。
72、 设三阶实对称矩阵A的特征值A对应于的特征向量为a=，求A。
73、 设三阶矩阵A的特征值为-1,2,5，矩阵B=3A-A，
（1） 求B得特征值；
（2） 判断B能否对角化，若可以求出与B相似的对角阵；
（3） 求，的值。
74、 已知矩阵A=与B=相似。
（1） 求y的值；
（2） 求一个满足PAP=B的可逆矩阵P。
75、 求正交矩阵P，使PAP为对角矩阵，其中A=。
76、 已知二次型=x+x+x+2axx+2xx的秩为2.
（1） 求a的值；
（2） 求二次型f经正交变换化成的标准型。
77、 已知实二次型，经过正交换x=Cy化成标准形，求a，b的值。
78、 若二次型正定，求t的范围。
79、 设实二次型。
（1） 二次型正定吗？
（2） A的特征值是多少？
（3） 求正交矩阵P，使得PAP=。
80、 计算D=的值。
81、 设三阶方阵A、B满足A-AB=E，且AB-2E=，求A，B。
82、 求向量组的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组表示出来。
83、 设三元非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为2，且它的三个解向量满足求Ax=b的通解。
84、 设A=，
（1） 求矩阵A的特征值与对应的全部特征向量。
（2） 判定A是否可以与对角矩阵相似，若可以，求可逆矩阵P和对角矩阵，使得PAP=。
85、 设矩阵A与B相似，其中A=，B=，
（1） 求参数x和y的值。
（2） 求可逆矩阵P，使PAP=B。
86、 确定a，b的值，使二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12.
87、 设A=，求及A。
88、 设矩阵A=求满足方程AX=B的矩阵X。
89、 设向量组线性无关，令，试确定向量组的线性相关性。
90、 已知线性方程组，与有同解，求a，b的值。
91、 设矩阵A=
（1） 判定A是否可对角化，说明理由；
（2） 若A可与对角矩阵相似，求可逆矩阵P和对角矩阵，使PAP=。
92、 设二次型，其中二次型的矩阵A的特征值之和为3，特征值之积-3.
第四题 证明题
93、 设A为n阶对阵矩阵，B为n阶反对称矩阵。证明：
（1） AB-BA为对称矩阵；
（2） AB+BA为反对称矩阵。
94、 设n阶矩阵A满足证明：A可逆，并求A。
95、 若n阶实对称矩阵A、B正定，证明：也正定。
96、 设是n阶矩阵A的分别属于特征值的特征向量，且，证明不是A的特征向量。
97、 设A、B、E为n阶矩阵，证明：
（1） 若AB=0，则
（2） 若A=E，则
98、 已知向量组（）：向量组（）：，向量组（）：，如果r（）=r（）=2，r（）=3，证明：r（-）=3.
99、 设n阶矩阵A满足证明：A可逆，并求A。
100、 设A、B为方阵，E+AB可逆，求证：E+BA可逆，且