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武汉市部分高中2013届12月月考
数学（文史类）
本试题卷共8页，六大题22小题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。
3．非选择题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
（学数学能提高能力，能使人变得更加聪明）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．的值为（ ）
A．1 B．i C．-1 D．-i
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3． 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
4
3
俯视图
正 视 图
侧视图
1
4．已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如下图所示，则这个几何体的体积是（ ）
A. B. C. `D.
5．已知幂函数是定义在区间上的奇函数，则（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
6．已知A、B两点分别在两条互相垂直的直线和上，且线段的中点为P，则线段AB的长为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
7．已知数列{}满足，且，则的值是（ ）
A. B. C.5 D.
8．中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心
9．中，三边长，，满足，那么的形状为（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.以上均有可能
10．设函数，若，，则函数的零点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．
11．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1—50号，并分组，第一组1—5号，第二组6—10号，……，第十组46—50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为___ 的学生.
1
2
0.5
1
a
b
c
12．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使得每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则的值为________________．
13．已知，，则________________．
A
B
C
D
E
H
F
G
14. 过抛物线=2py(p>0)的焦点F作倾斜角的直线，与抛物线交于A、B两点（点A在y轴左侧），则的值是___________．
15．三棱锥ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD的中点，若AC＋BD=3，AC·BD=1，则EG2＋FH2=___________．
16. 设x, y满足的约束条件, 若目标函数z=abx+y的最大值为8, 则a+b的最小值为 .（a、b均大于0）
17. 如图所示, C是半圆弧x2+y2=1(y≥0)上一点, 连接AC并延长至D,
使|CD|=|CB|, 则当C点在半圆弧上从B点移动至A点时,
D点的轨迹是_______的一部分，D点所经过的
路程为 .
三、解答题：本大题共5小题，共65分，请在答题卡上给出详细的解答过程．
18．（本小题满分12分）已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（2）若，求的值．
19．（本小题满12分）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
X
1
2
3
4
5
频率
a
0．2
0．45
b
c
（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；
（2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．
B
A
D
C
E
F
20．（本小题满分13分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
且AC=AD=CD=DE=2，AB=1．
（1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线 BF∥平面ACD，并证明这一事实；
（2）求多面体ABCDE的体积；
（3）求直线EC与平面ABED所成角的正弦值．
21．（本小题满分14分）已知等差数列的首项=1，公差d>0,且第2项、第5项、第14项分别为等比数列的第2项、第3项、第4项。
（1）求数列与的通项公式；
（2）设数列｛｝对n均有++…+=成立，求++…+。
22. （本题满分14分）
已知函数，在点处的切线方程为．
（1）求函数的解析式；
（2）若对于区间上任意两个自变量的值，都有，求实数的最小值；
（3）若过点，可作曲线的三条切线，求实数 的取值范围。
武汉市部分高中2013届12月月考数学（文）参考答案
一．选择题
B D B D A B B C A C
二．填空题
11.37 12.1 13. 14.
15. 16.4 17.圆 .
三．解答题
18. 解答：（1）已知函数，∴， ………………3分
令，则，
即函数的单调递减区间是； ………………6分
（2）由已知， ………………9分
∴当时，． ………………12分
19．解答：（1）由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1, a+b+c=0.35 ……………1分
因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b==0.15………3分
等级系数为5的恰有2件，所以c==0.1 ……………4分
从而a=0.35-b-c=0.1
所以a=0.1 b=0.15 c=0.1 ……………6分
（2）从日用品,,,,中任取两件，所有可能结果(,),(,),(,),(,),（,）,( ,),(,),(,),(,),(,)共10种， ……………9分
设事件A表示“从日用品,,,,中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为(,),(,),(,),(,)共4个， ……………11分
故所求的概率P(A)= =0.4 ……………12分
20．解答：如图，（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB//ED，
设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，
连接FH，则，∴， ……………2分
∴四边形ABFH是平行四边形，∴，
由平面ACD内，平面ACD，平面ACD；……………4分
B
A
D
C
G
F
E
H
（2）取AD中点G，连接CG.. ……………5分
AB平面ACD, ∴CGAB
又CGAD ∴CG平面ABED, 即CG为四棱锥的高， CG= ……………7分
∴=2=. ……………8分
(3)连接EG，由（2）有CG平面ABED，
∴即为直线CE与平面ABED所成的角，………10分
设为，则在中，
有． ……………13分
21 .解答：(1)由已知得=1+d, =1+4d, =1+13d, ………1分
=(1+d)(1+13d), d=2, =2n-1 …………3分
又==3，= =9 数列{}的公比为3，
=3=. ……………6分
(2)由++…+= （1）
当n=1时，==3， =3 ……………8分
当n>1时，++…+= （2） ……………9分
（1）-（2）得 =-=2 ……………10分
=2=2 对不适用
= ……………12分
…=3+23+2+…+2
=1+21+23+2+…+2=1+2=. ……………14分
22．解答：（1） …………1分
根据题意，得 即
解得 …………3分
（2）令，解得
f(-1)=2, f(1)=-2，
时， …………5分
则对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值，都有
所以所以的最小值为4。 …………7分
（3）设切点为
， 切线的斜率为 …………8分
则
即， …………9分
因为过点，可作曲线的三条切线
所以方程有三个不同的实数解
即函数有三个不同的零点， …………10分
则
令
0
（0，2）
2
（2，+∞）
+
0
—
0
+
极大值
极小值
…………12分
即，∴ …………14分
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