线性代数 秩和逆.doc

一、 矩阵的秩
定义1 在一个矩阵中，任意选定行和列（），位于这些选定的行和列的交点上的个元素按原来的次序所组成的矩阵的行列式，称为的一个阶子式。
例1 在矩阵

中，选第行和第列，它们交点上的元素所成的阶行列式

就是一个阶子式。又如选第行和第列，相应的阶子式就是

定义2 非零矩阵的不为零的子式的最高阶数称为该矩阵的秩，零矩阵的秩规定为。矩阵的秩记为。
例2 证明：矩阵与其转置矩阵有相同的秩。
例3 证明：阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数。
证 设是一个阶梯形矩阵，不为零的行数是。选取这个非零行以及各非零行第一个非零元素所在的列，由这些行和列交点上的元素所成的阶子式是一个上三角行列式，并且主对角线上的元素都不为零，因此它不等于零。而的所有阶数大于的子式都至少有一行的元素全为零，因而子式为零。所以。
由于矩阵的子式的阶数不超过矩阵的行数及列数，所以矩阵的秩。而如果，就称是行满秩的；如果，就称是列满秩的。此外，如果的所有阶子式全为零，由行列式的定义可知，的阶子式也一定为零，从而的所有阶数大于的子式全都为零。因此秩有下面等价的定义：
定理1 矩阵的秩为充分必要条件是：在中存在一个阶子式不为零，且在时，矩阵的所有子阶式都为零。
定理2 初等变换不改变矩阵的秩。换句话说，等价的矩阵具有相同的秩。
证 设经初等行变换变为，且。当对施以交换两行或以某非零数乘某一行的变换时，矩阵中的任何阶子式等于某非零数与的某个阶子式的乘积，其中或其他非零数。因为的任何阶子式皆为零，故的任何阶子式也都为零。
当对施以第行的倍加到第行的变换时，矩阵的任何一个阶子式，若它不含的第行或既含第行又含第行，则它等于的一个阶子式；若含的第行但不含第行，则，其中是的两个阶子式，由的任何阶子式均为零，知的任何阶子式也全为零。
根据以上分析，若对施以一次初等行变换得到，则，即。由于可经一次适当的行变换变回，同样地就有。所以。
显然，上述结论对列变换也成立。
现在我们来看一下，怎样计算一个矩阵的秩。因为初等变换不改变矩阵的秩，而阶梯形矩阵的秩就等于它的非零行的个数。所以，为了计算一个矩阵的秩，只要用初等变换把它变成阶梯形（根据第一节定理1，仅用行的初等变换就可以做到），这个阶梯形矩阵中非零行的个数就是原来矩阵的秩。
例4 设
，
求矩阵的秩，并求的一个最高阶非零子式。
解 对作初等行变换，使之变成阶梯形：

，
因为上式右端阶梯形矩阵的非零行数是，所以。
再求的一个最高阶非零子式。由知，的最高阶非零子式是阶的，的阶子式共有个，要从中找出一个非零子式是比较麻烦的。
如果是矩阵仅用行的初等变换变成的阶梯形矩阵，用的各非零行第一个非零元素所在的列按在中的次序构成矩阵，把中相应列按在中的次序构成的矩阵记作。那么也是阶梯形的，它的非零行个数与的相同，并且就等于的列数。因此，是一个与有相同秩的列满秩矩阵。同时，用那些将变成的行变换可将变成，这说明是与有相同秩的列满秩矩阵。考虑到是由的某些列按在中的次序构成的矩阵，的子式必是的子式，的最高阶非零子式必是的最高阶非零子式。
在本例中，
，，。
的三阶子式只有个，其中必有不为零的，如子式

就不为零，那么它也是的一个最高阶非零子式。
例5 设
，
已知，求与的值。
解
，
因，故，从而。
例6 证明：矩阵添加一列（或一行），则秩或不变，或增加。
证 设矩阵的秩为。在中任意添加一列，通过一些列的交换，总可以使所得矩阵变成，而秩不变。因此我们只需研究的秩与的秩之间的关系。
用初等行变换将化成阶梯形矩阵，相应地，的子矩阵也化成了的阶子矩阵，并且也是阶梯形的，其非零行都在矩阵的上部。因为，所以恰好有个非零行。这样，的前行也都是非零行。如果只有这个非零行，则。要不然，的第行也是非零行。这时，因为只有个非零行，所以的第行的前个元素必定都是零，只有最后那个元素不为零，由于是阶梯形矩阵，的第行之后的各行（如果还有的话）必定都是零行，因此，。
这就证明了添加一列的情形，类似地可证明添加行的情形。
定理2还说明，在矩阵的标准形

中，。从而，阶方阵非退化的充分必要条件是。

二、 逆方阵
定义3 对于方阵，如果存在同阶方阵，使得

则称可逆，就称为逆矩阵，记为。
若方阵可逆，那么的逆矩阵是唯一的。事实上，如果还有一个逆矩阵，则由定义，所以

下面要解决的问题是：在什么条件下方阵是可逆的？如果可逆，怎样求？
定义4 设是方阵

中元素的代数余子式，矩阵

称为的伴随矩阵。
由行列式的定义和性质立即得出

如果，那么
（11—3—1）
定理 矩阵可逆的充分必要条件是非退化，而

证明 当，由（11—3—1）可知，可逆，且。
反过来，如果可逆，那么有，使，两边取行列式，得，因而，即非退化。
逆方阵适合以下规律：

其中都是可逆方阵，是不为零的常数。
推论 对于同阶方阵，如果，那么都是可逆的并且它们互为逆矩阵。
证
不难看出，初等矩阵都是可逆的，它们的逆矩阵还是初等矩阵。事实上
。
定理 阶方阵可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积：
定理 两个矩阵乘积的秩不超过每个因子的秩。特别地，当有一个因子是可逆矩阵时，乘积的秩等于另一因子的秩。
证 设是一个矩阵，是一个矩阵，并且。由第一节定理2，可以用初等变换将化为
。
换句话说，存在阶初等矩阵和阶初等矩阵，使
，
于是
，
这里。显然，除了前行外，其余各行的元素都是零，所以。另一方面，是由通过初等行变换而得到的，所以它与有相同的秩。这样就证明了。同理可证。
如果中有一个，例如是可逆矩阵，那么一方面；另一方面，，所以。因此，。