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2012年普通高等学校招生全国统一考试
理 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则满足的集合N的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
2．若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ）
（A）－2 （B）4 （C）－6 （D）6
3.若函数的表达式是 （ ）
A． B． C． D．
4．等差数列中，，若数列的前项和为，则的值为（ ）
A、14 B、15 C、16 D、18
5. 若，，则的取值范围是 （ ）
A．[4，7] B．[3，7] C．[3，5] D．[5，6]
6.二项式展开式中常数项是( )
A.第10项 B.第9项 C.第8项 D.第7项
7．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若”的否命题为：“若”
B．“x=-1”是“”的必要不充分条件
C．命题“”的否定是：“”
D．命题“若”的逆否命题为真命题
a1
a3
a2
9．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A=
a4
a5
，其中A的各位数中，出现0的概率为，出现1的概率为．记，当程序运行一次时，的数学期望 ( )
A． B． C． D．
10．设x，y满足约束条件若目标函数的最大值1，则的最小值为 （ ）
A． B． C． D．4
11．点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（ ）
A． B. C. D.
12.定义在R上函数f（x）满足f（0）= 0，f（x）+ f（1-x）=1，且 当时，，则( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
第14题图
13.一盒中装有分别标记着1，2，3，4的4个小球，每次从袋中取出一只球，设每只小球被取出的可能性相同.若每次取出的球不放回盒中，现连续取三次球，求恰好第三次取出的球的标号为最大数字的球的概率是 ．
14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是 。
15、定义运算为:例如，,则函数f(x)=的值域为
16．已知的三个顶点均在球O的球面上，且AB=AC=1，，直线OA与平面ABC所成的角的正弦值为，则球面上B、C两点间的球面距离为 。
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）在锐角三角形ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，
且
（I）若，求A、B、C的大小；
（II）已知向量的取值范围.
18.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点。
（1）点在线段上，，试确定的值，使平面；
（2）在（1）的条件下，若平面平面ABCD，求二面角的大小。
19. （本小题满分12分）
在中国西部博览会期间，成都吸引了众多中外额商和游人，各展馆都需要大量的志愿者参加服务。现将5名大学生志愿者（3男2女）随机分配到A、B、C、D四个不同的展馆服务，要求每个展馆至少一名志愿者。
（Ⅰ）求两名女志愿者不在同一展馆服务的概率；
（Ⅱ）求在A展馆服务的男志援者的人数的分布列和数学期望。
20. （本小题满分12分）
过轴上动点引抛物线的两条切线、，、为切点．
（1）若切线，的斜率分别为和，求证： 为定值，并求出定值；
（2）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；
A
O
P
Q
（3）当最小时，求的值．
21.（本小题满分12分）
已知函数．
(Ⅰ)若无极值点，但其导函数有零点，求的值；
(Ⅱ)若有两个极值点，求的取值范围，并证明的极小值小于．
请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲已知为半圆的直径，，为半圆上一点，过点作半圆的切线，过点作于，交圆于点，．
（Ⅰ）求证：平分；
（Ⅱ）求的长．
23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线的极坐标方程为：,点，参数．
（Ⅰ）求点轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）求点到直线距离的最大值．
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．
（II）|3m－2n|2=9 m 2+4n2－12 m·n =13－12（sinAcos B +cosAsin B）
=13－12sin(A+B)=13－12sin（2 B +）.………………………9分
∵△ABC为锐角三角形，A－B=，
∴C=π－A－B<，A=+B<.
∴|3m－2n|2∈（1，7）. …………………………12分
１8．解： （1）当时，平面
下面证明：若平面，连交于
由可得，，
．．．．．．．．．２分
平面，平面，
平面平面，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分
即： ．．．６分
（2）由PA=PD=AD=2， Q为AD的中点，则PQ⊥AD。．７分
又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，
连BD，四边形ABCD为菱形，
∵AD=AB， ∠BAD=60°△ABD为正三角形，
Q为AD中点， ∴AD⊥BQ．．．．．．．．．．．．８分
以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为
轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为
A（1，0，0），B（），Q（0，0，0），P（0，0，）
设平面MQB的法向量为，可得
，
取z=1，解得．．．．．．．．．．．１０分
取平面ABCD的法向量设所求二面角为，
则 故二面角的大小为60°．．．．．．．．．．．．．．１２分
.
20.（1），，
即，即，
同理，所以。联立PQ的直线方程和抛物线方程可得：
，所以，所以……6分
（2）因为，所以直线恒过定点…………8分
（3），所以，设，所以，当且仅当取等号，即。
因为
因为
所以…………12分
由韦达定理，，
令其中设 ，利用导数容易证明当时单调递减，而，因此，即的极小值 -------12分
（Ⅱ）另证：实际上，我们可以用反代的方式证明的极值均小于.
由于两个极值点是方程的两个正根，所以反过来，
（用表示的关系式与此相同），这样
即，再证明该式小于是容易的（注意，下略）.
22．解：（Ⅰ）连结，因为，所以， 2分
因为为半圆的切线，所以，又因为，所以∥，
所以，，所以平分． 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 6分
连结，因为四点共圆，，所以， 8分
所以，所以． 10分
23．解：(Ⅰ) 且参数，
所以点的轨迹方程为． 3分
(Ⅱ)因为，所以，
所以，所以直线的直角坐标方程为． 6分
法一：由(Ⅰ) 点的轨迹方程为，圆心为，半径为2.
，所以点到直线距离的最大值. 10分
法二：，当，，即点到直线距离的最大值. 10分
24．解：（Ⅰ）由得，∴，
即，∴，∴． 5分
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