1、绝密启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，其中第卷第2224题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。2选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区
2、域书写的答案无效。4保持卡面清洁，不折叠，不破损。5做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则满足的集合N的个数是（ ）A2B3C4D82若复数（aR，i为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ） （A）2 （B）4 （C）6 （D）63.若函数的表达式是（ ）A B CD4等差数列中，若数列的前项和为，则的值为（ ）A、14 B、15 C、16 D、185. 若，则的取值范围是 （ ）A4，7 B3，7 C3，5 D5，66.二项式展开式中
3、常数项是( ) A.第10项 B.第9项 C.第8项 D.第7项7下列有关命题的说法正确的是（ ）A命题“若”的否命题为：“若”B“x=-1”是“”的必要不充分条件C命题“”的否定是：“”D命题“若”的逆否命题为真命题a1a3a29某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A=a4a5，其中A的各位数中，出现0的概率为，出现1的概率为记，当程序运行一次时，的数学期望 ( )A B C D 10设x，y满足约束条件若目标函数的最大值1，则的最小值为（ ）ABCD411点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（ ） A B. C. D. 12.定义在R上函数f（x）满足f（0）= 0，f
4、（x）+ f（1-x）=1，且 当时，则( )A.B. C.D.第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。第14题图13.一盒中装有分别标记着1，2，3，4的4个小球，每次从袋中取出一只球，设每只小球被取出的可能性相同.若每次取出的球不放回盒中，现连续取三次球，求恰好第三次取出的球的标号为最大数字的球的概率是 14某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是 。15、定义运算为:例如，,则函数f(x)=的值域为16已知的三个顶点均在球O的球面上，且AB=AC=1，直线OA与平面ABC所成的角的正弦值为，则球面上B、C两点间的球面距离为 。三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说
5、明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分12分）在锐角三角形ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 （I）若，求A、B、C的大小； （II）已知向量的取值范围.18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥中，底面为菱形，为的中点。 （1）点在线段上，试确定的值，使平面； （2）在（1）的条件下，若平面平面ABCD，求二面角的大小。19. （本小题满分12分）在中国西部博览会期间，成都吸引了众多中外额商和游人，各展馆都需要大量的志愿者参加服务。现将5名大学生志愿者（3男2女）随机分配到A、B、C、D四个不同的展馆服务，要求每个展馆至少一名志愿者。 （）求两名女志愿者不在同一展馆服务
6、的概率； （）求在A展馆服务的男志援者的人数的分布列和数学期望。20. （本小题满分12分）过轴上动点引抛物线的两条切线、，、为切点（1）若切线，的斜率分别为和，求证： 为定值，并求出定值；（2）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； AOPQ（3）当最小时，求的值21.（本小题满分12分）已知函数()若无极值点，但其导函数有零点，求的值；()若有两个极值点，求的取值范围，并证明的极小值小于请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑22（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲已知为半圆的直径，为半圆上一点，过点
7、作半圆的切线，过点作于，交圆于点，（）求证：平分；（）求的长23（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同直线的极坐标方程为：,点，参数（）求点轨迹的直角坐标方程；（）求点到直线距离的最大值24（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数（）若不等式的解集为，求实数a的值；（）在（）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围 （II）|3m2n|2=9 m 2+4n212 mn =1312（sinAcos B +cosAsin B） =1312sin(A+B)=1312sin（2 B +）.9分ABC为锐角
8、三角形，AB=，C=AB，A=+B.|3m2n|2（1，7）. 12分8解： （1）当时，平面下面证明：若平面，连交于由可得，分平面，平面，平面平面，分 即： 分（2）由PA=PD=AD=2， Q为AD的中点，则PQAD。分 又平面PAD平面ABCD，所以PQ平面ABCD，连BD，四边形ABCD为菱形， AD=AB， BAD=60ABD为正三角形， Q为AD中点， ADBQ分 以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A（1，0，0），B（），Q（0，0，0），P（0，0，） 设平面MQB的法向量为，可得 ，取z=1，解得分 取平面ABCD的法向量
9、设所求二面角为，则 故二面角的大小为60分. 20.（1），即，即，同理，所以。联立PQ的直线方程和抛物线方程可得：，所以，所以6分（2）因为，所以直线恒过定点8分（3），所以，设，所以，当且仅当取等号，即。因为因为所以12分由韦达定理，令其中设 ，利用导数容易证明当时单调递减，而，因此，即的极小值 -12分（）另证：实际上，我们可以用反代的方式证明的极值均小于.由于两个极值点是方程的两个正根，所以反过来，（用表示的关系式与此相同），这样即，再证明该式小于是容易的（注意，下略）.22解：（）连结，因为，所以，2分 因为为半圆的切线，所以，又因为，所以，所以，所以平分4分（）由（）知，6分连结，因为四点共圆，所以，8分所以，所以10分23解：() 且参数，所以点的轨迹方程为3分()因为，所以，所以，所以直线的直角坐标方程为6分法一：由() 点的轨迹方程为，圆心为，半径为2.，所以点到直线距离的最大值.10分 法二：，当，即点到直线距离的最大值.10分24解：（）由得，即，5分- 11 -
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