资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，活动课小明利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE为9m，AB为1.5m（即小明的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ）
A．3m B．27m C．m D．m
2．三角形的一条中位线将这个三角形分成的一个小三角形与原三角形的面积之比等于（ ）
A．1： B．1：2 C．1：4 D．1：1.6
3．下列说法正确的是（ ）
A．若某种游戏活动的中奖率是，则参加这种活动10次必有3次中奖
B．可能性很大的事件在一次试验中必然会发生
C．相等的圆心角所对的弧相等是随机事件
D．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”和“朝下”的可能性相等
4．下列方程中，满足两个实数根的和等于3的方程是（ ）
A．2x2+6x﹣5=0 B．2x2﹣3x﹣5=0 C．2x2﹣6x+5=0 D．2x2﹣6x﹣5=0
5．正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径是，则正方形的边长是（ ）
A．1 B．2 C． D．2
6．如图，将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，抛物线的对称轴为，且过点，有下列结论：①＞0；②＞0；③；④＞0.其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．①④ C．①② D．②④
8．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
9．斜坡坡角等于，一个人沿着斜坡由到向上走了米，下列结论
①斜坡的坡度是； ②这个人水平位移大约米；
③这个人竖直升高米； ④由看的俯角为．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．上蔡县是古蔡国所在地，有着悠久的历史，拥有很多重点古迹．某中学九年级历史爱好者小组成员小华和小玲两人计划在寒假期间从“蔡国故城、白圭庙、伏羲画卦亭”三个古迹景点随机选择其中一个去 参观，两人恰好选择同一古迹 景点的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．在一个不透明的袋子中，装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同。搅匀后从中随机一次摸出两个球，则摸到的两个球都是白球的概率是____．
12．一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的的点数大于4的概率是______________.
13．定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b．如max{1，﹣3}＝1，则max{x2+2x+3，﹣2x+8}的最小值是_____．
14．当________时，的值最小.
15．方程x2=8x的根是______．
16．已知2是关于x方程x2-2a=0的一个解，则2a-1的值是______________.
17．已知一次函数y1＝x+m的图象如图所示，反比例函数y2＝，当x＞0时，y2随x的增大而_____（填“增大”或“减小”）．
18．如图所示：点A是反比例函数，图像上的点，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，，则k=______.
三、解答题(共66分)
19．（10分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件. 市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件. 已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？这个最大利润是多少？
20．（6分）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置P的铅直高度PB．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）
21．（6分）一个不透明的口袋中装有红、白两种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球3个，白球1个．
（1）求任意摸出一球是白球的概率；
（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用画树状图或列表的方法求两次摸出都是红球的概率．
22．（8分）如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500m高度C
处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°．求隧道AB的长
(≈1.73)．
23．（8分）已知关于x的方程.
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
24．（8分）金牛区某学校开展“数学走进生活”的活动课，本次任务是测量大楼AB的高度.如图，小组成员选择在大楼AB前的空地上的点C处将无人机垂直升至空中D处，在D处测得楼AB的顶部A处的仰角为，测得楼AB的底部B处的俯角为.已知D处距地面高度为12 m，则这个小组测得大楼AB的高度是多少？（结果保留整数.参考数据：，，）
25．（10分）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区的坡度为，顶端离水平地面的高度为，从顶棚的处看处的仰角，竖直的立杆上、两点间的距离为，处到观众区底端处的水平距离为．求:
（1）观众区的水平宽度；
（2）顶棚的处离地面的高度．（，，结果精确到）
26．（10分）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，问阔及长各几步．”其大意是：一矩形田地面积为864平方步，宽比长少12步，问该矩形田地的长和宽各是多少步？请用已学过的知识求出问题的解．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】先根据题意得出AD的长，在中利用锐角三角函数的定义求出CD的长，由CE=CD+DE即可得出结论．
【详解】∵AB⊥BE，DE⊥BE，AD∥BE，
∴四边形ABED是矩形，
∵BE=9m，AB=1.5m，
∴AD=BE=9m，DE=AB=1.5m，
在Rt中，
∵∠CAD=30°，AD=9m，
∴
∴(m) ．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
2、C
【分析】中位线将这个三角形分成的一个小三角形与原三角形相似，根据中位线定理，可得两三角形的相似比，进而求得面积比．
【详解】根据三角形中位线性质可得，小三角形与原三角形相似比为1：2，则其面积比为：1：4，
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形中位线的性质，比较简单，关键是知道面积比等于相似比的平方．
3、C
【分析】根据概率的意义对A进行判断，根据必然事件、随机事件的定义对B、C进行判断，根据可能性的大小对D进行判断．
【详解】A、某种游戏活动的中奖率是30%，若参加这种活动10次不一定有3次中奖，所以该选项错误．
B、可能性很大的事件在一次实验中不一定必然发生，所以该选项错误；
C、相等的圆心角所对的弧相等是随机事件，所以该选项正确；
D、图钉上下不一样，所以钉尖朝上的概率和钉尖着地的概率不相同，所以该选项错误；
故选：C．
【点睛】
此题考查了概率的意义、比较可能性大小、必然事件以及随机事件，正确理解含义是解决本题的关键．
4、D
【分析】利用根与系数的关系判断即可．
【详解】满足两个实数根的和等于3的方程是2x2-6x-5=0，
故选D．
【点睛】
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
5、B
【分析】作OE⊥AD于E,连接OD,在Rt△ODE中,根据垂径定理和勾股定理即可求解.
【详解】解：
作OE⊥AD于E,连接OD,则OD=.
在Rt△ODE中,易得∠EDO为45，△ODE为等腰直角三角形，ED=OE,
OD=== .
可得：ED=1，
AD=2ED=2，
所以B选项是正确的.
【点睛】
此题主要考查了正多边形和圆,本题需仔细分析图形,利用垂径定理与勾股定理即可解决问题.
6、B
【分析】由题意可知，点C为线段A的中点，故可根据中点坐标公式求解．对本题而言，旋转后的纵坐标与旋转前的纵坐标互为相反数，（旋转后的横坐标+旋转前的横坐标）÷2=－1，据此求解即可.
【详解】解：∵绕点旋转得到，点的坐标为，
∴旋转后点A的对应点的横坐标为：，纵坐标为－b，所以旋转后点的坐标为：．
故选：B．
【点睛】
本题考查了旋转变换后点的坐标规律探求，属于常见题型，掌握求解的方法是解题的关键.
7、C
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．
【详解】由抛物线的开口向下可得：a＜0，
根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0，
根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
直线x=-1是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以-=-1，可得b=2a，
a-2b+4c=a-4a+4c=-3a+4c，
∵a＜0，
∴-3a＞0，
∴-3a+4c＞0，
即a-2b+4c＞0，故②正确；
∵b=2a，a+b+c＜0，
∴2a+b≠0，故③错误；
∵b=2a，a+b+c＜0，
∴b+b+c＜0，
即3b+2c＜0，故④错误；
故选：C．
【点睛】
此题考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．
8、C
【分析】根据一元二次方程的定义依次判断后即可解答.
【详解】选项A，是一元一次方程，不是一元二次方程；
选项B，是二元二次方程，不是一元二次方程；
选项C，是一元二次方程；
选项D， 是分式方程，不是一元二次方程.
故选C.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程是解决问题的关键.
9、C
【解析】由题意对每个结论一一分析即可得出其中正确的个数．
【详解】解：如图，
斜坡的坡度为tan30°= =1： ，正确．
②AB=20米，这个人水平位移是AC，
AC=AB•cos30°=20× ≈17.3（米），正确．
③这个人竖直升高的距离是BC，
BC=AB•sin30°=20×=10（米），正确．
④由平行线的性质可得由B看A的俯角为30°．所以由B看A的俯角为60°不正确．
所以①②③正确．
故选：C．
【点睛】
此题考查的知识点是解直角三角形的应用-坡度坡角-仰角俯角问题，关键是熟练掌握相关概念．
10、A
【分析】直接利用树状图法列举出所有的可能，进而利用概率公式求出答案．；
【详解】解：(1)设蔡国故城为“A”, 白圭庙为“B”, 伏羲画卦亭为“C”,
画树状图如下：
由树形图可知所以可能的结果为AA，AB，AC，BA，BB，BC，CA，CB，CC；选择同一古迹景点的结果为AA，BB，CC．
∴两人恰好选择同一古迹 景点的概率是: ．
故选A．
【点睛】
本题涉及列表法和树状图法以及相关概率知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、.
【分析】用列表法或画树状图法分析所有等可能的结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【详解】解：画树状图如下：
∵一共有6种情况，两个球都是白球有2种，
∴P（两个球都是白球），
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12、
【解析】先求出点数大于4的数，再根据概率公式求解即可.
【详解】在这6种情况中，掷的点数大于4的有2种结果，
掷的点数大于4的概率为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查的是概率公式，熟记随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键.
13、1
【分析】根据题意，利用分类讨论的方法、二次函数的性质和一次函数的性质可以求得各段对应的最小值，从而可以解答本题．
【详解】∵(x2+2x+3)﹣(﹣2x+8)=x2+4x﹣5=(x+5)(x﹣1)，
∴当x=﹣5或x=1时，(x2+2x+3)﹣(﹣2x+8)=0，
∴当x≥1时，max{x2+2x+3，﹣2x+8}=x2+2x+3=(x+1)2+2≥1，
当x≤﹣5时，max{x2+2x+3，﹣2x+8}=x2+2x+3=(x+1)2+2≥18，
当﹣5＜x＜1时，max{x2+2x+3，﹣2x+8}=﹣2x+8＞1，
由上可得：max{x2+2x+3，﹣2x+8}的最小值是1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．
14、
【分析】根据二次根式的意义和性质可得答案.
【详解】解：由二次根式的性质可知，当时，取得最小值0
故答案为2
【点睛】
本题考查二次根式的“双重非负性”即“根式内的数或式大于等于零”和“根式的计算结果大于等于零”
15、x1=0，x2=1
【解析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：x2=1x，
x2-1x=0，
x（x-1）=0，
x=0，x-1=0，
x1=0，x2=1，
故答案为x1=0，x2=1．
【点睛】
考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
16、5.
【分析】把x=2代入已知方程可以求得2a=6，然后将其整体代入所求的代数式进行解答.
【详解】解：∵x=2是关于x的方程x2-2a=0的一个解，
∴×22-2a=0，即6-2a=0，则2a=6，
∴2a-1=6-1=5.
故答案为5..
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义.一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立.
17、减小．
【分析】根据一次函数图象与y轴交点可得m＜2，进而可得2-m＞0，再根据反比例函数图象的性质可得答案．
【详解】根据一次函数y1＝x+m的图象可得m＜2，
∴2﹣m＞0，
∴反比例函数y2＝的图象在一，三象限，当x＞0时，y2随x的增大而减小，
故答案为：减小．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的性质，以及一次函数的性质，关键是正确判断出m的取值范围．
18、
【分析】根据题意可以先设出点A的坐标，然后根据矩形的面积公式即可求解.
【详解】解：设点A的坐标为()
∵AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，
∴AB=，AC=
∴
解得
又反比例函数经过第二象限，∴.
故答案为：.
【点睛】
本题考查反比例函数系数k的几何意义，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质和数形结合的思想解答．
三、解答题(共66分)
19、定价为57.5元时，所获利润最大，最大利润为6125元.
【分析】设所获利润为元，每件降价元，先求出降价后的每件利润和销量，再根据“利润=每件利润销量”列出等式，然后根据二次函数的性质求解即可.
【详解】设所获利润为元，每件降价元
则降价后的每件利润为元，每星期销量为件
由利润公式得：
整理得：
由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
故当时，y取得最大值，最大值为6125元
即定价为：元时，所获利润最大，最大利润为6125元.
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，依据题意正确得出函数的关系式是解题关键.
20、OC＝100米；PB＝米．
【分析】在图中共有三个直角三角形，即Rt△AOC、Rt△PCF、Rt△PAB，利用60°的三角函数值以及坡度，求出OC，再分别表示出CF和PF，然后根据两者之间的关系，列方程求解即可．
【详解】解：过点P作PF⊥OC，垂足为F．
在Rt△OAC中，由∠OAC＝60°，OA＝100，得OC＝OA•tan∠OAC＝100（米），
由坡度＝1：2，设PB＝x，则AB＝2x．
∴PF＝OB＝100+2x，CF＝100﹣x．
在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，
∴PF＝CF，即100+2x＝100﹣x，
∴x＝，即PB＝米．
【点睛】
本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
21、（1）；（2）
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出都是红球的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1）任意摸出一球是白球的概率＝；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出都是红球的结果数为6，
∴两次摸出都是红球的概率＝＝．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
22、隧道AB的长约为635m.
【分析】首先过点C作CO⊥AB，根据Rt△AOC求出OA的长度，根据Rt△CBO求出OB的长度，然后进行计算.
【详解】如图，过点C作CO⊥直线AB，垂足为O，则CO=1500m
∵BC∥OB
∴∠DCA=∠CAO=60°，∠DCB=∠CBO=45°
∴在Rt△CAO 中，OA==1500×=500m
在Rt△CBO 中，OB=1500×tan45°=1500m
∴AB=1500－500≈1500－865=635(m)
答：隧道AB的长约为635m．
考点：锐角三角函数的应用.
23、（1），；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可.
（2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可.
试题解析：（1）设方程的另一根为x1，
∵该方程的一个根为1，∴.解得.
∴a的值为，该方程的另一根为.
（2）∵，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2. 一元二次方程根根的判别式；3.配方法的应用.
24、这个小组测得大楼AB的高度是31 m.
【分析】过点D作于点E，本题涉及到两个直角三角形△BDE、△ADE，通过解这两个直角三角形求得DE、AE的长度，进而可解即可求出答案．
【详解】过点D作于点E，
则，
在中，，
∵，∴，∴.
在中，，
∵，，
∴，
∴.
答：这个小组测得大楼AB的高度是31 m.
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题．解直角梯形可以通过作高线转化为解直角三角形和矩形的问题．
25、（1）观众区的水平宽度为；（2）顶棚的处离地面的高度约为．
【分析】（1）利用坡度的性质进一步得出，然后据此求解即可；
（2）作于，于，则四边形、为矩形，再利用三角函数进一步求出EN长度，然后进一步求出答案即可.
【详解】（1）观众区的坡度为，顶端离水平地面的高度为，
∴,
，
答：观众区的水平宽度为；
（2）如图，作于，于，则四边形、为矩形，
m，m，m，
在中，，
则m，
，
答：顶棚的处离地面的高度约为．
【点睛】
本题主要考查了三角函数的实际应用，熟练掌握相关方法是解题关键.
26、矩形的阔为24步，长为36步．
【解析】设阔为x步，则长为(x+12)步，根据面积为864，即可得出方程求解即可．
【详解】设阔为x步，则长为(x+12)步，
由题意可得：x(x+12)＝864，
解得：x1＝24，x2＝﹣36(舍)，
24+12=36，
答：矩形的阔为24步，长为36步．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，为面积问题，掌握好面积公式即可进行正确解答；矩形面积=矩形的长×矩形的宽．
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