资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（ ）
A．56° B．62° C．68° D．78°
2．如图，在△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，错误的结论是（ ）．
A． B． C． D．
3．下列是一元二次方程有（ ）
①；②；③；④.
A． B． C． D．
4．下列事件中，是随机事件的是( )
A．任意画两个直角三角形，这两个三角形相似 B．相似三角形的对应角相等
C．⊙O的半径为5，OP＝3，点P在⊙O外 D．直径所对的圆周角为直角
5．某班同学要测量学校升国旗的旗杆的高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.6m，影长为1m，旗杆的影长为7.5m，则旗杆的高度是（ ）
A．9m B．10m C．11m D．12m
6．中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年年收入300美元，预计2018年年收入将达到1500美元，设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（ ）
A．300（1+x）2＝1500 B．300（1+2x）＝1500
C．300（1+x2）＝1500 D．300+2x＝1500
7．已知反比例函数 y＝的图象如图所示，则二次函数 y =ax 2－2x和一次函数 y＝bx+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．° B．° C．° D．
8．如图，在平行四边形中，为延长线上一点，且，连接 交于，则△与△的周长之比为（ ）
A．9：4 B．4：9
C．3：2 D．2：3
9．在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，位似比为：，将缩小，若点坐标，，则点对应点坐标为（ ）
A．， B． C．或， D．，或，
10．已知反比例函数的图象经过点，小良说了四句话，其中正确的是（ ）
A．当时， B．函数的图象只在第一象限
C．随的增大而增大 D．点不在此函数的图象上
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．共享单车进入昆明市已两年，为市民的低碳出行带来了方便，据报道，昆明市共享单车投放量已达到240000辆，数字240000用科学记数法表示为_____．
12．已知△ABC 与△DEF 相似，相似比为 2：3，如果△ABC 的面积为 4，则△DEF 的面积为_____．
13．小莉身高，在阳光下的影子长为，在同一时刻站在阳光下，小林的影长比小莉长，则小林的身高为_________．
14．某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯长为，坡角为；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角为，则改造后的斜坡式自动扶梯的长度约为________．
(结果精确到，温馨提示：，，)
15．从实数中，任取两个数，正好都是无理数的概率为________．
16．已知反比例函数的图象的一支位于第一象限，则常数m的取值范围是___．
17．如图，矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点，且，则________．
18．已知圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积为_____cm1．（结果保留π）
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知关于的方程.
（1）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为，求该方程的另一个根.
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为﹣1．动点P在抛物线上运动（不与点A、B重合），过点P作y轴的平行线，交直线AB于点Q，当PQ不与y轴重合时，以PQ为边作正方形PQMN，使MN与y轴在PQ的同侧，连结PM．设点P的横坐标为m．
（1）求b、c的值．
（2）当点N落在直线AB上时，直接写出m的取值范围．
（3）当点P在A、B两点之间的抛物线上运动时，设正方形PQMN周长为c，求c与m之间的函数关系式，并写出c随m增大而增大时m的取值范围．
（4）当△PQM与y轴只有1个公共点时，直接写出m的值．
21．（6分）某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸边点A处，测得河的南岸边点B处在其南偏东45°方向，然后向北走20米到达点C处，测得点B在点C的南偏东33°方向，求出这段河的宽度．（结果精确到1米，参考数据：sin33°＝0.54，cos33°≈0.84，tan33°＝0.65，≈1.41）
22．（8分）（1）计算：4sin260°+tan45°-8cos230°
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°．若∠A=30°，b=5，求a、c．
23．（8分）已知为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为(3，m)（m>0），线段AB与y轴相交于点D，以P(1，0)为顶点的抛物线过点B、D．
（1）求点A的坐标（用m表示）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ并延长交AC于点F，试证明：FC(AC+EC)为定值．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，3），C（﹣4，1）．以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A'B'C'，其中点A，B，C旋转后的对应点分别为点A'，B'，C'．
（1）画出△A'B'C'，并写出点A'，B'，C'的坐标；
（2）求经过点B'，B，A三点的抛物线对应的函数解析式．
25．（10分）如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m．
①计算小亮在路灯D下的影长；
②计算建筑物AD的高．
26．（10分）关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣3x﹣3k﹣2＝0有一个根为﹣1，求k的值及方程的另一个根．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【解析】分析：由点I是△ABC的内心知∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，从而求得∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．
详解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，
∵∠AIC=124°，
∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）
=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
=180°﹣2（180°﹣∠AIC）
=68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE=∠B=68°，
故选C．
点睛：本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．
2、D
【分析】根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质进行分析可得出结论.
【详解】由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，并可得：
，，，故A，B，C正确；D错误；
故选D．
【点睛】
考点：1.平行线分线段成比例；2.相似三角形的判定与性质．
3、A
【解析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式是一元二次方程．然后对每个方程作出准确的判断．
【详解】解：①符合一元二次方程的定义，故正确；
②方程二次项系数可能为0，故错误；
③整理后不含二次项，故错误；
④不是整式，故错误，
故选：A.
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的定义，根据定义对每个方程进行分析，然后作出准确的判断．
4、A
【分析】根据相似三角形的判定定理、相似三角形的性质定理、点与圆的位置关系、圆周角定理判断即可.
【详解】解：A、任意画两个直角三角形，这两个三角形相似是随机事件，符合题意；
B、相似三角形的对应角相等是必然事件，故不符合题意；
C、⊙O的半径为5，OP＝3，点P在⊙O外是不可能事件，故不符合题意；
D、直径所对的圆周角为直角是必然事件，故不符合题意；
故选：A.
【点睛】
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．也考查了相似三角形的判定与性质，点与圆的位置关系，圆周角定理等知识.
5、D
【分析】因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，所以同学的身高与其影子长的比值等于旗杆的高与其影子长的比值．
【详解】设旗杆的高度为x，
根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，得：＝，
解得：x＝1.6×7.5＝12（m），
∴旗杆的高度是12m．
故选：D．
【点睛】
本题考查相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解题的关键.
6、A
【详解】解：设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，
那么根据题意得2018年年收入为：300（1+x）2，
列出方程为：300（1+x）2=1．
故选A．
7、C
【分析】先根据抛物线y=ax2-2x过原点排除A，再由反比例函数图象确定ab的符号，再由a、b的符号和抛物线对称轴确定抛物线与直线y=bx+a的位置关系，进而得解．
【详解】∵当x=0时，y=ax2-2x=0，即抛物线y=ax2-2x经过原点，故A错误；
∵反比例函数y=的图象在第一、三象限，
∴ab＞0，即a、b同号，
当a＜0时，抛物线y=ax2-2x的对称轴x=＜0，对称轴在y轴左边，故D错误；
当a＞0时，b＞0，直线y=bx+a经过第一、二、三象限，故B错误；
C正确．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．
8、C
【分析】由题意可证△ADF∽△BEF可得△ADF与△BEF的周长之比=，由可得，即可求出△ADF与△BEF的周长之比．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AD=BC，
∵
∴即
∵，
∴△ADF∽△BEF
∴△ADF与△BEF的周长之比=．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质，利用相似三角形周长的比等于相似比求解是解本题的关键．
9、C
【分析】若位似比是k，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或．
【详解】∵以原点O为位似中心，位似比为1:2，将缩小，
∴点对应点的坐标为：或．
故选：C．
【点睛】
本题考查了位似图形与坐标的关系．此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标比等于．
10、D
【分析】利用待定系数法求出k，即可根据反比例函数的性质进行判断．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点（3，2），
∴k=2×3=6，
∴，
∴图象在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，故A，B，C错误，
∴点不在此函数的图象上，选项D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上的点的特征，教育的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、2.4×1
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】将240000用科学记数法表示为：2.4×1．
故答案为2.4×1．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12、1
【解析】由△ABC与△DEF的相似，它们的相似比是2：3，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得它们的面积比是4：1，又由△ABC的面积为4，即可求得△DEF的面积．
【详解】∵△ABC与△DEF的相似，它们的相似比是2：3，
∴它们的面积比是4：1，
∵△ABC的面积为4，
∴△DEF的面积为：4×=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的性质，解题关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理．
13、
【分析】由同一时刻物高与影长成比例，设出小林的身高为米，列方程求解即可．
【详解】解：由同一时刻物高与影长成比例，
设小林的身高为米，则
即小林的身高为米．
故答案为：
【点睛】
本题考查的是利用相似三角形的原理：“同一时刻物高与影长成比例”，测量物体的高度，掌握原理是解题的关键．
14、19.1
【分析】先在Rt△ABD中，用三角函数求出AD，最后在Rt△ACD中用三角函数即可得出结论．
【详解】解：在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AB=10m，
∴AD=ABsin∠ABD=10×sin30°=5（m），
在Rt△ACD中，∠ACD=15°，sin∠ACD=，
∴AC=≈≈19.1（m），
即：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19.1m．
故答案为：19.1．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
15、
【分析】画树状图展示所有等可能的结果数，再找出两次选到的数都是无理数的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】画树状图为：
则共有6种等可能的结果，
其中两次选到的数都是无理数有()和()2种，
所以两次选到的数都是无理数的概率．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
16、m＞1
【解析】试题分析：∵反比例函数的图象关于原点对称，图象一支位于第一象限，
∴图象的另一分支位于第三象限．
∴m﹣1＞0，解得m＞1．
17、12
【解析】试题分析：
由题意，设点D的坐标为（x，y），
则点B的坐标为（，），
所以矩形OABC的面积，解得
∵图象在第一象限，
∴.
考点：反比例系数k的几何意义
点评：反比例系数k的几何意义是初中数学的重点，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握.
18、15π
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷1．
【详解】解：底面圆的半径为3cm，则底面周长＝6πcm，侧面面积＝×6π×5＝15πcm1．
故答案为：15π．
【点睛】
本题考查的知识点圆锥的侧面积公式，牢记公式是解此题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）证明见解析；（2）另一根为-2.
【分析】（1）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答；
（2）将代入方程得到的值，再根据根与系数的关系求出另一根．
【详解】（1）∵，，，
∴
∴不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）将代入方程得，
，
解得：；
∴原方程为：，
设另一根为，则有，
解得：，
所以方程的另一个根为.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程（a≠0）的根与有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
20、（1）b=1，c=6；（2）0＜m＜2或m＜-1；（2）-1＜m≤1且m≠0，
（3）m的值为：或或或.
【分析】（1）求出A、点B的坐标代入二次函数表达式即可求解；
（2）当0＜m＜2时，以PQ为边作正方形PQMN，使MN与y轴在PQ的同侧，此时，N点在直线AB上，同样，当m＜-1，此时，N点也在直线AB上即可求解；
（2）当-1＜m＜2且m≠0时，PQ=-m2+m+6-（-m+2）=-m2+2m+2，c=3PQ=-3m2+8m+12即可求解；
（3）分-1＜m≤2、m≤-1，两种情况求解即可．
【详解】（1）把y=0代入y=-x+2，得x=2．
∴点A的坐标为（0，2），
把x=-1代入y=-x+2，得y=3．
∴点B的坐标为（-1，3），
把（0，2）、（-1，3）代入y=-x2+bx+c，
解得：b=1，c=6；
（2）当0＜m＜2时，
以PQ为边作正方形PQMN，使MN与y轴在PQ的同侧，此时，N点在直线AB上，
同样，当m＜-1，此时，N点也在直线AB上，
故：m的取值范围为：0＜m＜2或m＜-1；
（2）当-1＜m＜2且m≠0时，
PQ=-m2+m+6-（-m+2）=-m2+2m+2，
∴c=3PQ=-3m2+8m+12；
c随m增大而增大时m的取值范围为-1＜m≤1且m≠0，
（3）点P（m，-m2+m+6），则Q（m，-m+2），
①当-1＜m≤2时，
当△PQM与y轴只有1个公共点时，PQ=xP，
即：-m2+m+6+m-2=m，
解得：（舍去负值）；
②当m≤-1时，
△PQM与y轴只有1个公共点时，PQ=-xQ，
即-m+2+m2-m-6=-m，整理得：m2-m-2=0，
解得：（舍去正值），
③m＞2时，
同理可得：（舍去负值）；
④当-1＜m＜0时，
PQ=-m，
解得：
故m的值为：或或或.
【点睛】
此题考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形和正方形相关知识，本题解题的关键是通过画图确定正方形或三角形所在的位置，此题难度较大．
21、这段河的宽约为37米．
【分析】延长CA交BE于点D，得，设，得米，米，根据列方程求出x的值即可得．
【详解】解：如图，延长CA交BE于点D，
则，
由题意知，，，
设米，
则米，米，
在中，，
，
解得，
答：这段河的宽约为37米．
22、（1）2 ；（2）a=5，c=1
【分析】（1）分别把各特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可；
（2）由直角三角形的性质可得c=2a，由勾股定理可求解．
【详解】（1）原式=4×()2+1﹣8×()2
=3+1﹣6
=﹣2；
（2）∵∠C=90°，∠A=30°，
∴c=2a．
∵a2+b2=c2，
∴，
∴3a2=75，
∴a=5(负数舍去)，
∴c=1．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答本题的关键．
23、（1）(3﹣m，0)；（2）；（3）见解析
【分析】（1）AO=AC−OC=m−3，用线段的长度表示点A的坐标；
（2）是等腰直角三角形，因此也是等腰直角三角形，即可得到OD=OA，则D(0，m−3)，又由P(1，0)为抛物线顶点，用待定系数法设顶点式，计算求解即可；
（3）过点Q作QM⊥AC与点M，过点Q作QN⊥BC与点N，设点Q的坐标为，运用相似比求出FC，EC长的表达式，而AC=m，代入即可．
【详解】解：（1）由B (3，m)可知OC=3，BC=m，
∴AC=BC=m，OA=m﹣3，
∴点A的坐标为(3﹣m，0)
（2）∵∠ODA=∠OAD=45°
∴OD=OA= m﹣3，则点D的坐标是(0，m﹣3)
又抛物线的顶点为P(1，0)，且过B、D两点，所以可设抛物线的解析式为：
得：
∴抛物线的解析式为：
（3）证明：过点Q作QM⊥AC与点M，过点Q作QN⊥BC与点N，设点Q的坐标为，则
∵QM∥CE
∴△PQM∽△PEC
则
∵QN∥FC
∴△BQN∽△BFC则
又∵AC=m=4
∴
即为定值8
【点睛】
本题主要考查了点的坐标，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，合理做出辅助线，运用相似三角形的性质求出线段的长度是解题的关键．
24、（1）见解析；（2）抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+1．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（2）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣1），把B（0，1）代入求出a即可．
【详解】解：（1）如图△A'B'C'即为所求．A′（0，2），B′（1，0），C′（1，4）
（2）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣1），
把B（0，1）代入得到a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+1．
【点睛】
本题考查的知识点是求抛物线解析式以及图形的旋转变换，根据旋转的性质得出A′，B′，C′的坐标是解此题的关键．
25、①；②．
【分析】解此题的关键是找到相似三角形，利用相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例求解．
【详解】①∵，，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
；
②∵，，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形，解题的关键是找到相似三角形利用相似三角形的对应边成比例进行求解.
26、k＝1，x＝
【分析】将x＝﹣1代入原方程可求出k值的值，然后根据根与系数的关系即可求出另外一根．
【详解】将x＝﹣1代入（k+1）x2﹣3x﹣3k﹣2＝0，
∴k＝1，
∴该方程为2x2﹣3x﹣5＝0，设另外一根为x，
由根与系数的关系可知：﹣x＝，
∴x＝．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解题的关键.
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