单元背景下高中数学公式教学的研究——以“两角差的余弦公式”的教学为例.pdf

投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 7 月（下旬）作者简介院王宗艳（1984），中小学一级教师，海门市学科带头人，从事高中数学教学工作.单元背景下高中数学公式教学的研究以“两角差的余弦公式”的教学为例王宗艳江苏省海门中学226100咱摘要暂 虽然数学公式蕴藏着丰富的教学资源袁但有些教师只注重公式的结构与应用袁淡化了公式的推导过程袁导致学生思维缺失.为了打破这一现象袁研究者对单元背景下的高中数学公式教学进行了研究袁并以野两角差的余弦公式冶的教学为例袁从以下五方面展开分析院创设情境袁引入研究主题曰联想启思袁探寻解决办法曰问题驱动袁严谨论证猜想曰实际应用袁深化理解程度曰总结反思袁实现内化迁移.关键词数学公式曰单元整体曰公式教学问题探索数学公式反映了数学对象属性间的联系袁公式教学的影响不仅体现在学生野四基冶与野四能冶的发展上袁还体现在学生对知识的理解尧迁移尧 探究上以及学生创新意识的培养上.在实际公式教学中袁 有些教师存在野重应用袁轻过程冶的行为袁导致学生无法真正领悟公式的本质袁应用时难免漏洞百出.基于单元背景的公式教学研究袁 能让学生掌握基本知识结构袁 了解公式的来龙去脉袁感悟其蕴含的数学思想方法袁为深度学习奠定基础.本文以野两角差的余弦公式冶的教学为例袁谈单元背景下的公式教学研究.创设情境，引入研究主题希尔伯特认为院对数学概念尧公式或方法的彻底理解是指学习者将现有的知识结构与更多尧更强的知识连接融合的过程.单元背景下的公式教学袁关键在于让学生明确公式的源头尧生长点尧通路与网络袁明晰为什么要研究这个公式袁该公式具备哪些性质等.教师可创设一些情境作为公式研究的背景袁激发学生兴趣的同时袁引导学生站到一定的高度审视将要学习的内容.例如本节课教学袁是在三角函数已研究的基础上进行的袁教师可在课前简略地与学生一起回顾相关知识袁提出三角恒等变化除了用于推导平方和关系式和诱导公式外袁还可用于推导哪些公式的问题袁以启发学生思考袁为引入研究主题奠定基础.同时袁还可创设学生感兴趣的情境袁为课堂探究提供实质性的帮助.情境院如图1所示袁电视信号发射塔位于一座小山上袁已知BC为这座小山的高袁若地平面上存在一点A袁测得AC为60米袁蚁CAD=45毅袁蚁CAB=15毅袁求信号发射塔CD的高度.45毅60毅ABCD图1这是一个现实的生活情境袁容易激发学生的探究兴趣.从知识回顾开始袁学生就产生了有必要探究其他公式的念头袁情境创设可强化学生对新公式的探索欲望袁推动学生的探索行为.生1院AB=60cos15毅袁BC=60sin15毅袁BD=60cos15毅窑 tan60毅袁CD=DB原BC.师院很好袁cos15毅与sin15毅该怎么72投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 7 月（下旬）问题探索计算呢钥生2院先计算cos15毅与sin15毅之一袁然后利用平方和关系式可以获得另一个的值.知道cos15毅=cos渊45毅原30毅冤袁cos15毅=cos渊60毅原45毅冤噎噎师院在一般情况下求cos渊琢原茁冤的值袁cos渊琢原茁冤=cos琢原cos茁成立吗钥cos渊琢原茁冤和cos琢袁cos茁之间存在怎样的关系呢钥在师生良好的互动下袁教师顺势提出本节课研究的主题要要要两角差的余弦公式.创设该情境的意图是为了带领学生获得两角差的余弦公式袁教师若开门见山地提出问题并带领学生分析与探索问题袁难免让学生感到枯燥与乏味.而基于单元背景创设情境袁成功地激发了学生的研究兴趣袁为接下来的联想尧猜想尧验证尧应用奠定了基础.联想启思，探寻解决办法直觉与联想是研究数学公式的首要因素.联想作为一个心理学的概念袁是指学习者回忆某个知识时袁通过一件事物想起另一件事物的心理变化过程.联想针对的不仅是新旧知识袁还包括不同形式渊符号尧图形尧文字冤的数学语言以及各种数学思想.适当联想能为学生探寻出公式的研究方法.师院通过之前的学习袁大家都知道诱导公式是对特殊角仔依琢袁仔2依琢袁2k仔依琢和角琢的三角函数式的恒等变换袁若将特殊角转化为一般角袁诱导公式则会发生变化.现在请大家说说诱导公式的推导过程.诱导公式的研究与两角差的余弦公式的研究有异曲同工之妙袁均需应用从特殊到一般的数学思想袁教师要求学生回顾诱导公式的推导过程袁其目的在于为联想奠定基础.学生通过诱导公式的推导过程来探寻两角差的余弦公式的探究方法袁如诱导公式的推导需经历两次运算过程袁一次为点的坐标用三角函数表示袁另一次为用圆的对称性获得对称点的坐标关系袁那么两角差的余弦公式的推导会经历怎样的过程呢钥问题驱动，严谨论证猜想问题是数学的心脏袁也是公式教学的核心.问题驱动不仅能将学生的思维推向一定的高度袁还能有效激发学生猜想.围绕问题设计的教学过程主题明确尧 生动且富有生命力.猜想是基于数形结合尧定性与定量结合尧已知与未知结合而获得的一种感受.此处可用问题串的方式引发学生猜想袁让学生的思维顺着问题抵达目的地.问题设计需要注意些什么呢钥先要明确知识间的关系是什么袁然后针对关系设计问题袁让学生猜想诱导公式与谁相关袁特殊角存在什么特点袁等等.当然袁最终计算要回归到三角函数的定义上袁这也是基于单元背景研究公式的重要原因.问题1 若角琢袁茁是确定的袁能确定cos渊琢原茁冤的值吗钥 渊因为琢原茁可确定袁所以cos渊琢原茁冤的值也是可确定的冤问题2 猜想cos渊琢原茁冤和角琢袁茁的哪些三角函数值相关袁说明理由.渊因为cos仔2原茁=sin茁袁cos渊仔原茁冤=原cos茁袁所以可确定琢原茁的三角函数值和琢袁茁的正弦函数值或余弦函数值相关冤问题3 计算cos15毅的值袁并通过cos渊45毅原30毅冤的一般化猜想cos渊琢原茁冤与琢袁茁的三角函数值的关系.渊先画出单位圆表示15毅袁有15毅=45毅原30毅或15毅=60毅原45毅袁虽然同为15毅袁但两者位于单位圆中的位置不一样袁可转化到始边确定的位置进行计算袁即cos渊45毅原30毅冤=cos45毅cos30毅+sin45毅sin30毅袁猜想cos渊琢原茁冤=cos琢cos茁+sin琢sin茁冤问题4 cos渊琢原茁冤与琢袁茁的三角函数值之间究竟存在什么关系钥方法1 利用两点间的距离公式求解.如图2所示袁假设x轴的正半轴与单位圆相交于点Q渊1袁0冤袁以x轴非负半轴为始边袁分别作角琢袁茁袁琢原茁袁各个角的终边分别与单位圆相交于点P1渊cos琢袁sin琢冤袁Q1渊cos茁袁sin茁冤袁P渊cos渊琢原茁冤袁sin渊琢原茁冤冤.借助几何画板的演示功能袁让角琢原茁的始边为x轴非负半轴袁旋转角琢原茁袁从圆的旋转对称性可知院圆弧Q1P1与QP重合袁因此圆弧QP与圆弧Q1P1相等袁所以QP=Q1P1.利用两点间的距离公式易得咱cos渊琢原茁冤原1暂2+sin2渊琢原茁冤=渊cos琢原cos茁冤2+渊sin琢原sin茁冤2袁化简后得cos渊琢原茁冤=cos琢cos茁+sin琢sin茁.方法2 利用向量法求解.如图2所示袁以x轴非负半轴为始边作角琢袁茁袁两角终边与单位圆分别相交于点P1渊cos琢袁sin琢冤袁Q1渊cos茁袁sin茁冤.根据OP与OQ的数量积等于OP1与OQ1的数量积袁可得cos渊琢原茁冤=cos琢cos茁+sin琢sin茁.琢终边琢-茁终边P1Q1PQxOy茁终边图2问题5 两角差的余弦公式与sin2琢+cos2琢=1渊平方和关系式冤存在怎样的联系钥 渊设琢=茁袁则cos渊琢-茁冤=cos0=sin琢sin琢+cos琢cos琢袁也就是sin2琢+cos2琢=1冤此时袁因学生已经明白了两角差的余弦公式与这两角的余弦尧正弦都73投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 7 月（下旬）存在一定的关系袁故可将研究思路回归到原始定义上进行分析.此处的关键在于让学生明确问题本质是两个圆周运动的叠加袁这与学生之前接触过的单位圆上质点做圆周运动获得公式一脉相承.实际应用，深化理解程度公式的应用是指学习者在理解并掌握公式的基础上袁应用其解决问题的过程.公式的应用除了检验学生对公式理解的程度外袁更重要的是培养学生分析问题的能力袁为后续解题夯实基础袁 达到触类旁通的目的.公式的直接应用袁难以让学生对公式产生深刻理解袁达到举一反三的目的袁而编题或变式袁往往能激活学生的思维袁让学生对公式的应用得心应手.两角差的余弦公式的应用不仅能强化学生对公式的记忆与理解袁还能让学生进一步体会诱导公式为两角差的余弦公式的特殊情况袁让学生基于单元背景深化对公式的整体理解.因此袁教师可由浅入深地设计例题与学生共同探索袁让学生的思维随着问题逐层深入袁同时增加一些变式或编题活动袁起到激趣尧启思的作用.例1 求证院渊1冤cos渊仔原琢冤=原cos琢曰渊2冤cos32仔原琢=原sin琢.渊解析略冤例2 已知sin琢=45袁且琢沂仔2袁仔 袁cos茁=原513袁茁为第三象限的角袁则cos渊琢原茁冤的值是多少钥在学生顺利解决问题的基础上袁要求学生保留条件野sin琢=45袁且琢沂仔2袁仔 冶袁同时增添条件或问题要要要编题并求解.生3院已知sin琢=45袁且琢沂仔2袁仔 袁cos渊琢原茁冤=1213袁且茁沂0袁仔2袁则cos茁的值是多少钥直接套用公式属于低阶思维层次袁而自主编题则将学生的思维拉伸到高阶层次.值得注意的是编题时需要学生明确公式的代换思想与本质袁这是促进学生思维质变的关键.吸收尧存储尧提取与加工信息是人脑的基本功能袁数学教学能全面地训练学生的大脑功能.学生在编题过程中的积极性和成效与当前所面临的困难有很大关系袁 因此教师须从学生的情感尧思想与最近发展区出发袁准确把握学生的实际状况袁为公式的实际应用与变通做好铺垫.总结反思，实现内化迁移课堂接近尾声时的总结可完善学生对本节课所学公式的认识袁加强单元背景下知识节点间的连接袁让学生对公式的内涵与涉及的数学思想方法形成完整的认识.好的总结起到知识梳理与画龙点睛的作用袁对促进学生的反思起到了直接影响.曾子曰院野吾日三省吾身.冶反思是一种思维形式袁是人脑对某个目标进行执着尧严肃的沉思过程.公式教学的总结反思袁须引导学生将注意力聚焦于公式的研究方法与内涵上袁通过回顾与分析研究过程提高思维能力.借助反思活动袁学生可自觉将课堂所学内容作为认知对象袁优化学习状态袁完善认知结构袁实现探究过程与结论的有效连接袁让学生学会从多角度解决问题.在此环节中袁教师设计了如下几个问题袁以促进学生总结与反思.问题1 通过本节课的学习袁大家掌握了什么公式钥这个公式的研究思路与研究过程是怎样的钥这个问题意在引导学生对两角差的余弦公式形成的前因后果进行回顾袁通过对研究思路与研究过程的梳理袁让学生反思在研究中的心路历程袁为后续研究其他公式提供方法上的指导.问题2 请大家说说应用两角差的余弦公式的体验.问题3 圆对称性的代数形式为诱导公式袁但圆存在无数条对称轴袁如直线y=tan琢窑x为圆对称轴的一般形式袁据此是否可推导出更一般的诱导公式钥问题4 三角恒等变换涵盖了角与名称的变换袁能否将两角差的余弦公式从这两个角度进行思考并变换袁从而推导出新的公式钥几个层次分明的问题袁意在引导学生对本节课所涉及的活动经验与数学思想做一个反思与总结.问题3着重引导学生从形的角度基于单元背景来分析特殊与一般的关系袁问题4的解决显然是建立知识间联系的过程袁也是促进学生迁移知识的过程.新知建构在旧知的基础上袁这对知识迁移提出了较高要求.知识迁移从本质上来说属于一个心理变化过程袁正迁移不仅能促进学生的思维发展袁还能帮助学生形成可持续学习和发展的能力曰而负迁移则严重阻碍学生在学业上的发展.新知学习时袁学生常从感官系统出发通过感知诱发联想袁回忆起相关旧知袁待思维处于活跃状态时袁则成功将新知与旧知融于一体袁建构成新的认知体系.因此袁在课堂结束时袁教师应注重知识的回顾与梳理袁发挥知识的正迁移功能袁避免负迁移的发生.总之袁公式教学不仅是发展野四基冶与野四能冶的关键袁还担负着育人功能袁对学生的成长具有重要影响.单元背景下的公式教学袁能让学生从宏观角度认识公式的本质袁能为学生灵活应用公式夯实基础.问题探索74