解析函数的洛朗展式与孤立奇点市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 解析函数洛朗展式与孤立奇点,第一节 解析函数洛朗展式,第二节 解析函数孤立奇点,第三节 解析函数在无穷远点性质,第1页,第1页,形如,级数称为双边幂级数,第一节,解析函数罗朗展式,1 双边幂级数,第2页,第2页,正则部分是幂级数，故收敛圆,对于主要部分 ，,可作代换,第3页,第3页,成为一幂级数,它收敛区域为,第4页,第4页,因此当 时，两者有公共收敛区域即圆环：。,在此圆环内有,第5页,第5页,定理5.1设双边幂级数,收敛圆环为,第6页,第6页,则（1）（5.1）在内绝对收敛且内闭一致收敛于,（2）在内解析,（,3,）,级数在内可逐项求导任意次。,第7页,第7页,2、解析函数罗朗展式,定理5.2（罗朗定理）在圆环内解析函数必可展开成双边幂函数,其中,且展式唯一,第8页,第8页,定义5.1 （5.2）称为在点罗朗展式，（5.3）称为其罗朗系数，而（5.2）右边级数则称为罗朗级数。,注意 泰勒级数是罗朗级数特殊情形。,第9页,第9页,例5.1 将函数,在下列三个区域内,（1）圆,（2）圆环,（3）圆环,内求罗朗展式。,第10页,第10页,解：首先,第11页,第11页,（）在,圆内,第12页,第12页,（）在圆环 内 有,故,第13页,第13页,第14页,第14页,（）在圆环上,故,第15页,第15页,第16页,第16页,3、孤立奇点邻域内罗朗展式,定义5.2 若在奇点某一去心邻域,内解析，则称为 一个孤立奇点。,第17页,第17页,若为一个孤立奇点，则必存在数，使在去心邻域,内可展成罗朗级数。,第18页,第18页,例5.2 求,在其孤立奇点去心邻域内罗朗展式。,第19页,第19页,解：有两个奇点和。,在（最大）去心邻域,内,第20页,第20页,第21页,第21页,在（最大）去心邻域,内,第22页,第22页,5.2,解析函数,孤立奇点,孤立奇点分类,可去奇点、极点、本性奇点。,第23页,第23页,定义,5.3,设是孤立奇点，,（,1,）,若主要部分为,0,，则称是可去奇点,f(z),。,（,2,）若主要部分为有限多项，则称是 极点，此时主要部分系数必满足,此时称 为 极点阶级点，亦称为级极点。,若主要部分有无限多项，则称是,f(z),本性奇点。,第24页,第24页,2,、可去奇点判断,定理,5.3,设为孤立奇点，则下述等价：,（,1,）,在主要部分为,0,；,（,2,）,（）在点某去心邻域内有界。,第25页,第25页,证：（,1,）（,2,）由（,1,）有,因此,第26页,第26页,（,2,）（,3,）即例,1.27,（,3,）（,1,）考虑主要部分系数,其中可任意小，故,第27页,第27页,极点,定理,5.4,若以点为孤立奇点，则下述等价,（,1,）,是级极点，即主要部分为,第28页,第28页,（）,在点去心邻域内有,且解析且,（）,以为级零点。,第29页,第29页,定理,5.5,孤立奇点为极点充足必要条件是,第30页,第30页,5,、本性奇点,定理,5.6,孤立奇点为本性奇点充足必要条件是,第31页,第31页,定理,5.7,若为之一本性奇点，且在点充足小去心邻域内不为零，则亦必为,本性奇点。,如：,为本性奇点，亦为本性奇点。,第32页,第32页,6,、毕卡定理,定理,5.8,若为本性奇点，则对任意数（能够是），都有一个收敛于点列,使,第33页,第33页,定理,5.9,（毕卡大定理）若为本性奇点，则对每一个，除掉也许一个值外，必有趋于无限点列 使,第34页,第34页,第三,节,解析函数在无穷远点性质,定义5.4 设函数在无穷远点（去心）邻域,内解析，则称为一个孤立奇点。,第35页,第35页,作变换于是函数,在去心邻域,内解析。即是,一孤立奇点，,依此可要求类型。,第36页,第36页,定义,5.5,若为可去奇点、级极点或本性奇点，则我,们相应地称为,可去奇点、级极点或本性奇点。,第37页,第37页,类似于有限孤立奇点分类，可依在,主要部分项数对,进行分类。,主要部分为,第38页,第38页,例5.6 求出,（1）（）,奇点（包括），并拟定其类别,第39页,第39页,解：（1）,以为可去奇点,第40页,第40页,为一级极点,为非孤立奇点,（因是聚点）,第41页,第41页,（2）,令，得该函数所,有奇点为,第42页,第42页,是一级极点，是非孤立奇点，因是聚点。至于应是可去奇点。,第43页,第43页,例5.7 若在,内解析，且不恒为零，又若有一列异于但却以为聚点零点，,试证必为本性奇点。,第44页,第44页,证：是孤立奇点，且不能是可去奇点，若不然，令 则,在内解析且由假设有以为聚点一列零点。由零点孤立性，必恒为0，这与题设矛盾。,第45页,第45页,另一方面也不能是极点，,不然有，使,当时，,这亦与题设矛盾。故只能是本性奇点。,第46页,第46页,