斜拉索非线性随机次谐波振动分析.pdf

-1-斜拉索非线性随机次谐波振动分析斜拉索非线性随机次谐波振动分析 王哲 武汉理工大学土木工程与建筑学院，武汉（430070）E-mail：wangzhe_81_80 摘摘 要要：当支座运动是窄带随机过程且中心频率拉索面内基本频率的 2 倍时，本文采用Monte Carlo 技术研究拉索的非线性随机次谐波振动。仿真分析表明拉索的随机响应与随机支座运动的带宽有关：当带宽较小时，拉索的面外振动占主导地位；随着带宽的增加，拉索的面内振动和面外振动幅值基本相当；进一步增加带宽，则仅存在拉索的面内振动。关键词：关键词：拉索；Monte Carlo 技术；非线性；随机次谐波振动 中图分类号中图分类号：TU352.1 文献标志码文献标志码：A 1.前言前言 除外部的风荷载或风雨荷载，拉索支座的运动也可以引起斜拉桥等结构上的拉索振动。当拉索支座运动频率与拉索面内基本频率成某种倍数关系时，小的激励振幅也会激发很大的拉索响应，这一现象称之为参数振动，已经被多座已建斜拉桥的长期监测以及试验结果所证实。与振动系统由外激励引起的共振不同，拉索的参数振动发生在一个较宽的频率范围内，因此很有必要对拉索参数振动的控制作进一步的研究。Nielsen 等人1采用 Irvine 特征模态，研究了拉索在支座简谐运动下的面内面外的超谐波、次谐波和组合谐波等现象。在实际情形下，桥面或桥塔的运动并不完全是周期运动，而是窄带随机过程。Nielsen 和 Larsen2指出，在周期支座运动下，当其运动频率与拉索面内基本频率相近时，拉索存在三种不同的周期运动；并且还研究了在窄带随机支座运动下，索在这三种状态之间的触发机制。众所周知，当支座作简谐运动且运动频率大约是拉索面内基本频率的 2 倍时，拉索会产生较大的次谐波参数振动。然而当支座运动是窄带随机过程且中心频率是拉索面内基本频率的 2 倍，拉索的随机次谐波振动则研究的很少，而这正是本文的研究重点。本文采用 Galerkin方法得到斜拉索振动的两自由度模态方程，然后运用 Monte Carlo 模拟技术研究了拉索的次谐波随机振动。2.理论理论 2.1 运动方程运动方程 由于拉索的垂度非常小，因此拉索沿弦长方向的振动可以忽略不计。假设沿索长方向的截面积保持不变，索始终保持在弹性变形范围内以及拉索的静态位形可由抛物线方程描述，同时忽略拉索的抗弯刚度和斜拉索所受到的外部荷载，则如图 1 所示的斜拉索的面内面外耦 合非线性动力方程可表示为3 0cos)(2222=+tvmhHmgxvhH (1)0)(2222=+twmxwhH (2)-2-lfuvwxyzu(0,)u()l,ttH+hH+h 图 1 斜拉索计算简图 其中，v和w分别为拉索在y和z方向上的动位移，H和h分别为拉索沿x方向的的静态张力和动态张力，m为拉索的单位质量，为拉索的倾角。设拉索的动态张力h沿索长方向保持不变，且仅保留一阶和二阶项，则+=llledxxwdxxvvdxlfuluLEAh020202)(21)(218)0()(3)其中，E 为索的弹性模量，A 为拉索的截面积，l 为索的弦向长度，f 和 Le分别为拉索中点处的垂度和有效索长，可表示为+281lflLe,Hmglf8cos2=(4)本文的重点是研究拉索支座的弦向位移同时引起的拉索中点处面内面外位移。当支座运动频率为拉索面内频率两倍时，拉索的二阶模态将会被激发。但是拉索二阶模态在拉索中点处位形为零，因此二阶模态可以忽略。同时，三阶以上的模态对拉索振动的贡献与一阶相比可以忽略，故拉索的面内和面外动位移可表示为)()(),(22tqxtxv=,)()(),(11tqxtxw=(5)其中，2(x)和1(x)分别为拉索的一阶面内和面外特征模态，q2(t)和 q1(t)为相应的模态坐标。由于拉索中点处特征模态归一化为单位位移，因此 q2(t)和 q1(t)就是拉索中点处的真实位移。将式(5)带入式(1)-(3)，运用 Galerkin 方法，则可以得到如下的两自由度常微分动力方程 0)()(1(222221112111211111=+qqqqqqteqq&(6)()()(1(222421322232122222222teqqqqqqteqq=+&(7)其中，1和2分别是拉索面外和面内的第一阶模态频率，1和2为相应的模态阻尼比。e(t)是反映拉索弦向伸长的无量纲量，即 eeLuHEALtutluHEAte=),0(),()(8)所采用的拉索的特征模态以及式(6)(7)中的各参数的具体值可参考文献2。2.2 拉索弦向伸长模型拉索弦向伸长模型 随机过程 e(t)可以由二阶过滤高斯白噪声过程模拟，即 )(22030200tWeeee=+&(9)其中，是带宽参数，0为中心频率，e0为控制输出能量的无量纲参数，W(t)为零均值单位高斯白噪声过程，其协方差函数为 -3-)()()()(=+=tWtWEWW (10)其中，()为 Dirac 函数。在这种情形下，式(9)得到的 e(t)的方差2202ee=。本文采用 Monte Carlo 方法来进行拉索次谐波随机振动的分析。通过采用宽带折线(broad-banded broken line)过程4来模拟等效的白噪声过程，则由式(9)即可得到拉索支座随机运动的样本。图 2 给出了中心频率0=21，带宽参数分别为=0.001 和=0.01 时随机过程的样本曲线，其中 T0=2/0。从中可以看出，随着带宽参数的增加，包络线幅值的变化也变得剧烈。为了研究这一变化对拉索随机振动的影响，我们提出了一个简单的周期模式的支座运动，如图 3 所示。从中可看出，支座运动在一个周期内包含高幅值和低幅值两部分，前者的幅值为 emax，持续时间为T0，后者的幅值为 emin，持续时间为T0。因此，支座运动周期为 T=(+)T0。此时，支座运动的方差为 +=20min20max20221eeeeee (11)为了能够与随机支座运动相比较，则需要调节参数，以及分数 emax/e0和 emin/e0，使上 式中的分数部分值为 1。250260270280-0.6-0.30.00.30.6250260270280-0.6-0.30.00.30.6(a)e(t)t/senvelop process(b)e(t)t/senvelop process 图 2 随机支座运动的样本。a)=0.001；b)=0.01.T0-emin-emaxemin e(t)temaxT0T0TT0T0T0/1=图 3 周期支座运动 -4-3.拉索次谐波随机振动拉索次谐波随机振动 以连接丹麦和瑞典的resund 斜拉桥上最长的一根斜拉索为例来研究随机支座运动下拉索中点的随机次谐波振动。拉索的参数为：刚度 EA2.17109 N，初始沿弦向方向的静态张力 H5.5106 N，长度 l260.0 m，单位长度质量 m=81.05 kg/m，倾斜角30.4。拉索的面内和面外的基本频率分别为23.20 rad/s 和13.148 rad/s。拉索的面内面外模态阻尼比均为 1.0%。当支座运动为随机过程时，中心频率021。当特征激励幅值 e0=0.30 时，图 4 给出了不同带宽下拉索中点面内面外位移的时程曲线。图 4a 给出了=0.001 时的结果，从中可看出，拉索中点的面内位移远小于面外位移，前者大约比后者小两个数量级，这一结果与通常的简谐支座运动下拉索次谐波振动的规律相一致；图 4b 给出了=0.01 时的结果，此时，面内面外位移幅值均较为显著，且在同一个数量级上；带宽参数进一步增加到 0.1，计算结果如图 4c 所示，从中可看出，经过一段时间之后，拉索中点的面外振动将会消失，而仅保留大幅的次谐波面内振动。进一步的分析表明，正是随机支座运动包络线变化的快慢导致了不同带宽下拉索中点振动响应的不同。采用周期的支座运动模式也可以得到这一趋势。当 e0=0.30，emin/e0=0.5 和=10 时，如 emax/e0=1.06 且/=6，与面外振动相比较，拉索中点的面内位移相当小；如 emax/e0=1.17 且/=2 时，则面内面外振动幅值在一个数量级上；如 emax/e0=1.22 且/=1.5，则拉索中点的面外振动将会消失。随着/变小，则相同时段内周期支座运动的幅值在 emax和 emin之间的变化更加频繁，由此可知，正是随机支座运动包络线变化的快慢导致了不同带宽下拉索中点振动响应的不同。此外，图 4 还说明拉索中点的面外振动仅在随机支座振动的带宽小于某一阀值=c(e0)时才是稳定的，此阀值与特征激励幅值 e0有关。同时，在简谐支座运动下，与面外谐波振动相比可忽略不计的面内次谐波振动，在随机支座振动的带宽大于某一阀值=c(e0)时将变得显著起来。-5-图 4 不同带宽下拉索中点面内面外位移的时程曲线。a)=0.001；b)=0.01；c)=0.1.4.结论结论 本文首先采用Galerkin方法得到斜拉索振动的两自由度模态方程，然后采用Monte Carlo技术研究了当支座运动是窄带随机过程且中心频率拉索面内基本频率的 2 倍时，拉索的随机次谐波振动。仿真分析表明拉索的动态响应与随机支座运动的带宽（或包络线变化的快慢）有关：当带宽较小（或包络线变化缓慢）时，拉索的面外振动占主导地位；随着带宽的增加，拉索的面内振动和面外振动幅值基本相当；进一步增加带宽（或包络线变化剧烈），则仅存在拉索的面内振动。参考文献参考文献 1 Nielsen,S.R.K.and Kirkegaard,P.H.Super and combinatorial harmonic response of flexible elastic cables with small sag J.Journal of Sound and Vibration 251:79-102.2002.2 Larsen,J.W.and Nielsen,S.R.K.Nonlinear stochastic response of a shallow cable J.International Journal of Non-Linear Mechanics 41:327-344.2006.3 Irvine,H.M.Cable structure M,MIT Press,Cambridge,Massachusetts,1981.4 Clough,R.W.and Penzien,J.Dynamics of structures(2nd edition)M,McGraw-Hill,1993.Nonlinear Stochastic Subharmonic Analysis of Stayed Cable Wang Zhe Civil Engeering and Architecture School,Wuhan University of Technology,Wuhan(430070)Abstract The paper deals with nonlinear stochastic analysis of subharmonic response of stayed cable using Monte Carlo technique under the narrow banded support motion whose center frequency is about twice of the first in-plane frequency of the cable.Simulation result shows that the stochastic response property of cable is related to the band width of the random support motion.The out-of-plane vibration of the cable is dominant under the smaller band width,and the in-plane and out-of-plane vibration are comparable with the increase of the band width.Further,only the in-plane stochastic oscillation exists if the band width beyond a threshold value.Keywords:stayed cable,Monte Carlo technique,nonlinear,stochastic subharmonic vibration