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集合
一、知识复习
1.集合的概念：
（1）含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
（2）性质：
    i.确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的。也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合就确定了，要么在，要么不在。比如，"大于3小于10的偶数"构成一个集合，4、6、8在这个集合中，其他的元素都不在。"我国的小河流"不能构成集合，因为小河流没有明确的标准。
   ii.互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现。
（以后如果两个集合有公共元素，那么它们并起来，公共元素只能出现一次。）
   iii.无序性：集合中的元素没有顺序的区别，只有构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。
2.集合的表示：
  （1）字母表示法：一般用一个大写拉丁字母表示集合，如A,B,C等，元素一般用小写拉丁字母表示，如a,b,c等。
  （2）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫列举法。如{1,2,3}
   (3)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法。具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。比如：A={x∈N|x<8},竖线左边表示一般元素是x，x要是自然数，竖线右边表示A中的元素（x）都要小于8。即A={0,1,2,3,4,5,6,7},又比如 B={x∈R|x<8} 表示小于8的所有实数，有时候有写成 B={x|x<8},即不写x的范围表示x属于实数。
3.元素与集合的关系：如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A,记作a∈A,如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A,记作   aA.4.常用数集:  自然数集N、正整数集N+ 、有理数集Q、实数集R.（如还不清楚请看课本，注意N是从0开始的，即0∈N)5.子集：一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集。记作：A B （或BA),读作A含于B(或B包含A).
6.集合相等：如果集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A=B 
7.真子集：如果集合A B,但存在元素x∈B,且x A,我们称集合A是集合B的真子集。 记作：A B(或B A).
8.子集与真子集的关系：A的子集包括A的真子集和A。如果一个集合有n个元素，则它的子集个数是2n个，它的真子集个数是2n-1个
9.空集：不含任何元素的集合叫空集，记作 .并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
10.并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集。记作A∪B(读作A并B),即              A∪B={x|x∈A,或x∈B}
11.交集：由所有属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集。记作A∩B(读作A交B),即
              A∩B={x|x∈A,且x∈B}
12.补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有的元素组成的集合称为A的补集，记作CuA ,即          CuA={x|x∈U,且xA}
二、学法指导：
1.符号∈与有什么区别？
符号∈只能适用于元素与集合之间，其左边只能写元素，右边只能写集合，说明左边的元素属于右边的集合，如1∈N,a∈{a,b}；符号只能适用于集合与集合之间，说明左边的集合是右边的集合的子集，左边集合的元素都属于右边的集合，如{1,2}{1,2,3}。
2.怎样对给定的集合进行交并补运算？
（1）.对抽象的集合和有限集合一般用Venn图表示，如设全集U={1,2,3,4,5}，A∩(CUB)={1,2},B∩(CUA)={3}，A∩B={4,5},求A,B 分析：画出Venn图如下：

由图很容易得出：A={1,2,4,5},B={3,4,5}
(2).对实数集合之间的运算一般画数轴，画好数轴后求交集是取两个集合的公共部分，求并集可先把A的部分都画上，再把B的部分也画上，则总的就是A与B的并，如A={x|-1<x<2},B={x|x<0},
画出数轴如下：

∴A∩B={x|-1<x<0}         A∪B={x|x<2}

函数及其表示
一、知识复习
1.函数的定义：设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的的数f(x)和它对应，那么就称f:A-->B 为从集合A到集合B的一个函数，记作：y=f(x),x∈A其中，x是自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集。
2.区间：设a,b是两个实数，而且a<b，我们规定：
（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为：[a,b]
(2) 满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为：(a,b)
(3) 满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，
分别表示为：[a,b),(a,b].
(4) 实数R=(-∞,+∞),其中+∞表示比任意给定的数都大,-∞表示比任意给定的数都小。因并不存在-∞,+∞，所以-∞,+∞不能用闭区间。满足x≥a的实数可表示为[a,+∞)。
注意：a<b，即区间的左端点一定比右端点小。
3.函数的表示方法：
（1）.解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如f(x)=2x-3
 (2). 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系
（3）.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系
4.分段函数：指在定义域的不同部分，有不同的解析式。
注意：分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。
分段函数画图一般分段画，求分段函数的函数值要先搞清自变量在那一段，再代那一段的表达式。
5.映射：
（1）.定义：设A,B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的的元素y和它对应，那么就称f:A-->B 为从集合A到集合B的一个映射。
（2）.映射和函数的关系：函数是特殊的映射，即当两个集合A,B都为非空的数集时，从A到B的映射就是函数,所以函数一定是映射，映射不一定是函数。

二、学法指导：
1.函数的三要素：定义域、对应法则、值域；有时给出的函数没有明确说明定义域，这时，定义域就是字变量有意义的x的集合；如果函数涉及实际问题，它的定义域还需使实际问题有意义或另有其它限制。
2.符号f(x)表示变量y是变量x的函数，它仅仅是函数的符号，并不表示y等于f与x的乘积；符号f(x)与f(m)既有区别又有联系，当m是变量时，函数f(x)与函数f(m)是同一个函数；当m是常数时，f(m)表示自变量x=m对应的函数值，是一个常量。
3.基本初等函数的定义域与值域：
(1).一次函数f(x)=kx+b(k≠0）的定义域是R，值域是R
(2).反比例函数f(x)=k/x (k≠0）的定义域是{x|x≠0},值域是{x|x≠0}
(3).二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0）的定义域是R;
    当a>0时，值域是{y|y≥(4ac-b2)/4a};当a<0时，值域是{y|y≤(4ac-b2)/4a}
4. 如何判断两个函数是同一函数：
当且仅当两个函数的三要素完全相同时，它们才是同一函数，只要有一个要素不同就不是同一函数；又函数的值域是有定义域和对应法则确定的，则只需看定义域与对应法则是否相同即可。注意：用什么字母表示没有关系。比如：f(x)=2x+3与g(t)=2t+3是同一函数。
方法：先求定义域，如不一样，则不是同一函数；若定义域一样，则化简函数的表达式，如果化简后的表达式一样，则它们是同一函数。
5.描点法画函数图象的步骤：
（1）.求函数的定义域；
（2）.列表；（关键点一定要列上，比如端点、转折点）
（3）.描点；
（4）.连线。
函数的基本性质
一、知识复习：
1.增减函数定义：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个子变量的值x1,x2,当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么我们就说函数f(x)在区间D上是增函数；如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个子变量的值x1,x2,当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么我们就说函数f(x)在区间D上是减函数.
2. 最值定义：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1).对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;
(2).存在x0∈I,使得f(x0)=M.
那么我们就说M是函数y=f(x)的最大值,
同理，把(1)中的f(x)≤M改为f(x)≥M,则M为f(x)的最小值。
3.奇偶函数的定义：
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x),那么f(x)叫做奇函数；
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x),那么f(x)叫做偶函数。

二、学法指导：
1、基本初等函数的单调性：
（1).正比例函数y=kx(k≠0) 当k>0时是R上的增函数，当当k<0时是R上的减函数
(2).反比例函数y=k/x(k≠0) 
 当k>0时,函数的单调递减区间为(-∞,0)，(0,+∞),不存在递增区间。
   (注意：不能说在定义域内或在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数，它是分别在(-∞,0)和(0,+∞)   上减函数，并在一起不是，如是的话，则f(-1)>f(1)，即-k>k.显然不对。）
当k<0时,函数的单调递增区间为(-∞,0)，(0,+∞)，不存在递减区间。
(3).一次函数y=kx+b(k≠0)
当k>0时,函数y=kx+b在R上是增函数，当k<0时,函数y=kx+b在R上是减函数。
(4).二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
当a>0时，递减区间为(-∞,-b/(2a)],递增区间为[-b/(2a),+∞);
当a<0时，递增区间为(-∞,-b/(2a)],递减区间为[-b/(2a),+∞)。
2.复合函数y=f[g(x)]的单调性：当f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y=f[g(x)]是增函数。
  当f(x)和g(x)的单调性相反时，复合函数y=f[g(x)]是减函数。
3.对于函数f(x)±g(x)的单调性可总结为：
增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减。
4.用定义法证明函数的单调性的步骤：
(1).设x1,x2属于要证的区间，且x1<x2；
(2).比较f(x1)与f(x2)的大小，通常用作差法比较，此时比较它们大小的方法是作差、变形、看符号；
(3).下结论。
5.判断函数奇偶性的方法：
（1）定义法：其步骤为：先求函数的定义域，看是不是关于原点对称，如不是则不是奇偶函数，
如是再判断f(-x)与f(x)或-f(x)是否相等，若f(-x)=f(x)则是偶函数，若f(-x)=-f(x)则是奇函数。
(2)图象法：如果函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数，如果函数的图象关于y轴对称，
那么这个函数是偶函数。如果函数的图象关于原点和y轴均不对称，那么这个函数既不是奇函数又不是偶函数。
注意：分段函数的奇偶性要分段判断。
6.单调性与奇偶性：
（1）区别：函数的奇偶性是整个定义域上的性质，是“整体性质”，不能说在一个区间上是奇函数，在另
一个区间上是偶函数，而函数的单调性是在函数定义域或其子集上的性质，是“局部”性质，可以在一个
区间上是增函数，在另一个区间上是减函数。
(2)综合：如果函数y=f(x)是奇函数，那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相同的单调性；
         如果函数y=f(x)是偶函数，那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相反的单调性；

集合与函数概念 章复习
一、知识复习
1.集合元素的特性：确定性、互异性、无序性
2.集合的表示法：列举法、描述法、Venn图
3.集合的运算：交、并、补
4.集合的关系：子集、真子集、空集
5.函数的定义、三要素及函数的表示方法
6.函数的性质：单调性、奇偶性、最值
二、学法指导
1.在集合运算时，必须主要集合中的元素所具有的特性，正确理解和使用符号语言，尽量数形结合。
2.求函数的定义域时需注意：
（1）分母不能为0
（2）偶次方根的被开方数不小于零
（3）实际问题要考虑实际意义。
3.求函数值域的常用方法：
（1）观察法；（2）配方法（如二次函数）；（3）判别式法；
（4）换元法；（5）利用函数的单调性。

[用计算机绘制函数图象]
用Excel绘制y=x3的图象:
 可以按书上的步骤自己绘制，也可 按此链接 查看效果。
指数函数
一、知识复习

（3）有理指数幂的运算性质：(a>0,b>0,r,s∈Q)
     aras=ar+s ;(ar)s=ars;   (ab)r=arbr
2.指数函数：
（1）定义：一般地，函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，
 (2)性质：函数的定义域的R,值域为(0,+∞)，图象恒过点(0,1);
          当0<a<1时，y=ax在R上是减函数；
          当a>1时，y=ax在R上是增函数。
 (3)图象：      0<a<1                    a>1

二、学法指导：
1.利用分数指数幂进行根式的运算：先把根式化为分数指数幂，再根据分数指数幂的运算性质进行计算，最后用根式表示。
2.指数函数性质口诀：
  指数增减要看清，抓住底数不放松，
  反正底数大于0， 不等于1已表明，
  底数若是大于1，图象从下往上增，
  底数0到1之间， 图象从上往下减，
  无论增和减，  图象都过（0，1）点。
3.指数幂ax和1的比较：
  当x<0,0<a<1或x>0,a>1时，ax>1,
  当x<0,a>1或x>0,0<a<1时，ax<1.
4. 比较指数式的大小：当底数相同时，利用指数函数的单调性比较大小，  当底数不同时，借助中间量比较，如0，1。
5.与指数有关的复合函数问题以及指数方程常用换元法，注意换元时要关注中间量的  取值范围。

对数函数与幂函数

(2) 图象和性质
                    a>1                  0<a<1

图象      
性质                   ①定义域 (0，+∞)
                         ②值域  R
                         ③过定点(1,0)，即x=1,y=0
        ④ 在 (0，+∞)上是增函数    ④在 (0，+∞)上是减函数
（3）常用对数函数:y=lgx;自然对数函数:y=lnx
 (4)反函数：对数函数y=logax与指数函数y=ax (a>0,a≠1)互为反函数；
  一般地，函数y=f(x)的图象和它的反函数的图象关于直线y=x对称.
3.幂函数：
(1)定义：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。
(2)图象：y=x和y=x2我们已学过，下面给出y=x3,y=x1/2,y=x-1的图象
        y=x3              y=x1/2             

  y=x-1
(3)幂函数y=xn的性质
①在(0，+∞)都有定义，并且图象都过(1,1)
②当n>0时，图象都过原点，并且在(0，+∞)上是增函数；
  当n<0时，图象都不过原点，并且在(0，+∞)上是减函数。
二学法指导
1.对数式logax的符号(x>0,a>0,a≠):
 当x<1,a<1或x>1,a>1时，logax>0
 当x<1,a>1或x>1,a<1时，logax<0
因此对数的符号简称“同正异负”
2.比较大小与复合函数与指数的方法类似。

基本初等函数复习
一、知识复习：见前两节的知识复习。
二、学法指导：
1.指、对数函数的单调性：
指数、对数函数的单调性是高考考查的重点，解决往往需从函数图
象、定义、复合函数的单调性入手，
对于函数y=af(x),当a>1时，其单调区间和f(x)的单调区间是一致
的，并且在相同的区间里单调性也是一致的；当0<a<1时，其单调区
间和f(x)的单调区间是一致的，但在相同的区间里其单调性是相反的。
对于函数y=logaf(x),基本同y=af(x)，但一定要注意f(x)>0这个限制。
例：讨论f(x)=log2(x2-4x-12)的单调性。u=x2-4x-12的单调增区间为
[2,+∞),单调减区间为(-∞,2),但不能说f(x)的单调增区间为[2,+∞),
单调减区间为(-∞,2),因为当u=x2-4x-12<0时函数没意义。
正确的解法应该是：先由x2-4x-12>0求得定义域为(-∞,-2)∪(6,+∞)
令y=log2u,u=x2-4x-12在(6,+∞)上是增函数，在(-∞,-2)上是减函数，
又y=log2u在(0,+∞)上是增函数，故函数f(x)的单调增区间为(6,+∞)，
单调减区间为(-∞,-2).
2.由指、对数函数组成的复合函数的定义域、值域问题
首先要掌握各类基本函数的定义域，然后根据条件转化为求不等式组的解集来处理。

函数与方程
一、知识复习：
1.函数的零点：
（1）定义：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)几何意义：函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y=f(x)的零点.
2.函数零点的判断方法：
（1）方程法：解方程f(x)=0，得函数y=f(x)的零点。
（2）图象法：画出函数y=f(x)的图象，其图象与x轴的交点的横坐标就是函数y=f(x)的零点.
（3）定理法：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0.这个c也就是方程f(x)=0的根。
3.二分法求方程的近似解
（1）概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数y=f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
（2）步骤：
①.确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0,给定精确度ε；
②.求区间(a,b)的中点c；
③.计算f(c):
 若f(c)=0，则c就是函数的零点；
 若f(a)f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));
 若f(b)f(c)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b));
④.判断是否达到精确度ε；若|a-b|<ε,则得到零点的近似值a(或b);否则重复②-④.
二、学法指导：
1.用二分法求函数零点的技巧：
（1）二分法的第一步确定区间[a,b]时，应使区间的长度尽量小，有时结合函数的图象，有时先大约计算函数值（绝对值越小越好），并判断符号；
（2）区间端点的函数值异号时，才能用二分法；
（3）对于连续函数若知在区间[a,b]上是单调函数，则函数有唯一的零点，若知在区间[a,b]上不是单调函数，则函数至少有一个零点。
2.关于计算器
做本节和下节练习需要计算器，若没有计算器，可以单击“学习课件-指数函数的图象与性质” 打开几何画板，在单击“文件-新建画板”新建一个空画板,再单击“度量-计算” 如下图：

打开计算框，输入你要计算的式子按“确定”即可，如要计算23.1,则输入2^3.1(注意乘方符号为^),如下图：

也可以单击函数，输入其他的函数表达式。
函数模型及其应用
一、知识复习
（一）.三种函数及其增长
 1.一般地，形如y=ax(a>0,且a≠1）的函数叫做指数函数；
           形如y=logax(a>0,且a≠1）的函数叫做对数函数；
           形如y=xa(a∈R）的函数叫做幂函数。
2.一次函数的增长量固定不变，而指数函数的增长量是成倍增长的，
它的增长要快的多，对数函数的增长量越来越小。
（二）、正确认识指数函数、对数函数、幂函数的增长差异
在区间(0,+∞)上，尽管指数函数y=ax(a>1)、对数函数y=logax(a>1)、
幂函数y=xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度是不同的，而且不在同
一个“档次”上，随着x的增大，y=ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过
并远远大于y=xn(n>0) 的增长速度，而y=logax(a>1) 的增长速度则会越来
越慢，因此总会存在一个x0,当x>x0时，都有logax<xn<ax
（三）、解实际应用题
1.流程图：收集数据①-画散点图②-选择函数模型③-求函数模型④-检验⑤-
若不符合实际回到第③步重新选择模型，若符合实际则用函数模型解解释实际问题。
2.基本步骤：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理清数量关系；
②建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
③求模：求解数学模型，得到数学结论；
④还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论。
二、学法指导
1.常用的函数模型
 （1）一次函数模型：y=kx+b(k≠0）
 （2）二次函数模型：y=ax2+bx+c(a≠0）
  (3)指数函数模型：y=abx+c
  (4)对数函数模型：y=mlogax+n
  (5)幂函数模型：y=axn+b