单叶双曲面与双曲抛物面为动直线轨迹的定义.pdf

第 3 期收稿日期：2022 鄄 10 鄄 16通信作者：陈彦（1962），男（汉），广东汕头人，副教授，硕士，E-mail：.基金项目：2020 年广东省科技专项资金（“大任务+任务清单”）资助科研项目（200111165873103）；广东汕头幼儿师范高等专科学校 2022 年科研课题（STYGZ-2022-JYZX11）2023 年 08 月汕头大学学报（自然科学版）第 38 卷 第 3 期Aug.2023Journal of Shantou University(Natural Science)Vol.38 No.3文章编号：1001 鄄 4217（2023）03 鄄 0025 鄄 08单叶双曲面与双曲抛物面为动直线轨迹的定义陈岱婉陈彦（广东汕头幼儿师范高等专科学校初等教育学院，广东汕头515041）摘要单叶双曲面与双曲抛物面作为一类重要的直纹面，到目前尚无直线轨迹的定义.本文从二次曲面的内在关联出发，借鉴柱面和锥面的定义，分别利用渐近锥面或一对相交平面作为辅助曲面，找到生成这两种直纹面各自的准线及其对应的动直线，进而给出这两种直纹面为动直线轨迹的定义，使其直纹性更直观，也充分体现了其几何特征.关键词单叶双曲面；双曲抛物面；动直线；轨迹中图分类号O182.2文献标识码A1引言在 空间解析几何 中，二次柱面、二次锥面、单叶双曲面、双曲抛物面都是重要的直纹面，精准定义曲面对理解运用其直纹性意义重大.检索现有的文献，对单叶双曲面与双曲抛物面（以下简称为“两种直纹面”）的恰切定义的相关研究至今尚未发现.文献1-7是一些高等院校现行的教科书，对柱面和锥面给出严格定义，但对两种直纹面就仅利用代数方法，通过方程的等价变形得出直母线方程来解释直纹性；大部分学者对这两种直纹面的研究，都仅涉及其上两族直母线的存在性及它们之间的关系性质，即便有少数人研究它们作为动直线的轨迹，也是具有特殊性或缺乏揭示二次曲面的内在关联，从而无法给出这两种直纹面的一个较为直观又具有二次曲面内在关联的定义.如文献8简单探讨了直纹面直母线的一般形式，笼统地证明了与三条异面直线都共面的动直线的运动轨迹是单叶双曲面；文献9从微分几何的角度推导出单叶双曲面上特殊截面和截线方程，并研究了单叶双曲面可看成异面直线上动点满足一定条件的运动轨迹问题，以验证其直纹性；文献10通过两个特例讨论满足特殊条件动直线的轨迹就是单叶双曲面；文献11指出直纹面可视为动直线的轨迹；文献12给出关于单叶双曲面和双曲抛物面的定义.故本文试图从二次曲面的内在关联出发，借鉴现行教科书中柱面和锥面的定义，给出两种直纹面为动直线轨迹的定义，以帮助读者对直纹面有直观的、内在联系的认识.汕头大学学报（自然科学版）第 38 卷2两种直纹面为动直线轨迹的直观描述及分析2.1预备知识首先，考虑现行教材柱面与锥面的定义如下.定义 2.111在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所成的曲面叫做柱面，定方向叫做柱面的方向，定曲线叫做柱面的准线，那族平行直线中的每一条直线，叫做柱面的母线.定义 2.121在空间通过一定点且与定曲线相交的一族直线所成的曲面叫做锥面，这些直线都叫做锥面的母线，那个定点叫做锥面的顶点，定曲线叫做锥面的准线.分析上述定义可知：生成柱面的动直线特质是：“一动一定”，过动点但方向不变；而生成锥面的动直线却是：“一定一动”，一端过定点但方向改变.那么我们将要定义的生成单叶双曲面与双曲抛物面的动直线都是：“两动”，过动点且方向也改变.这就是本文的难点所在，为解决该难点，我们引入两个在本文中起关键作用的辅助曲面，它们能很好地揭示二次曲面之间的内在关联.定义 2.131曲面 T1:x2a2y2b22c20（常数 a，b，c0）叫做二次锥面.（1）定义 2.141曲面 T2:x2a2y2b20（常数 a，b0）叫做一对相交平面.（2）2.2建立平面曲线上的点与辅助曲面中的直线之间的对应关系在空间，我们需要构建平面曲线上的点与二次锥面 T1的母线或一对相交平面 T2中的直线之间的对应关系，并对一些概念下定义如下.定义 2.21 设过坐标原点 O 且平行于平面定曲线上一点 P 的从切平面13-14的平面，与辅助曲面 Ti（i1，2）有两交线，其中一条与从切平面平行的坐标轴、向径OP 构成左手标架，此交线称为点 P 对应的辅助曲面 Ti的正母（直）线，另一条交线（与平行于定曲线上点 P 的从切平面的坐标轴、向径OP 构成右手标架）称为点 P 对应的辅助曲面 Ti的负（直）母线.注记 1：平面曲线上的点可以确定辅助曲面 Ti对应的两条母（直）线，为后面表述方便需要将其区分.为此，记正母（直）线为 l，负母（直）线为 l（如图 1，2 所示）.3两种直纹面为动直线轨迹的定义3.1单叶双曲面为动直线的轨迹定义定义 3.11 在空间，与平面定曲线相交且平行于交点对应的二次锥面的正母线（或负母线）的动直线的轨迹叫做单叶双曲面，定曲线称为单叶双曲面的准线，二次锥面叫做单叶双曲面的渐近锥面，动直线中的每一条都叫做单叶双曲面的母线（如图 3 所示）.单叶双曲面的准线不唯一，可为下列平面曲线（其中常数 a，b，c0）：26第 3 期（1）腰椭圆4，15移1:x2a2y2b210扇墒设缮设；（2）双曲线移2:y2b22c21x0扇墒设缮设；（3）双曲线移2:x2a22c21y0扇墒设缮设.证明玉.先证与平面定曲线相交且平行于交点对应的二次锥面 T1的正母线的动直线的轨迹是单叶双曲面.考虑到由于平面定曲线将作为母线，动直线须沿它运动，故在平面定曲线上任取一点时，动直线必过该点（下一个定义 3.21 也相应雷同）.故有下面：（1）当准线为腰椭圆时 撞1，）P沂撞1，先求过点 O 且平行于 撞1上一点 P 的从切平面的平面 琢.设 P（x0，y0，0），则过点 P 的从切平面为x0 xa2y0yb21，故过点 O 且平行于点 P 的从切平面的平面 琢 为x0 xa2y0yb20.（3）其次，求平面 琢 与锥面 T1的交线.联立方程（1）、（3），得平面 琢 与锥面 T1的交线为x0 xa2y0yb20 x2a2y2b22c20扇墒设设缮设设，（4）可得交线有两解，即为点 P 对应的二次锥面 T1的正、负母线.若取 abc 代入（4），求得两母线的方向数为X:Y:Z越原a2y0:b2x0:abc.由定义 2.21 知，点 P 对应的正母线 l的方向数为a2y0:b2x0:abc，点 P 对应的负母线 l的方向数为a2y0:b2x0:（abc）.）最后，求以腰椭圆 撞1为准线，过点 P沂撞1且方向平行于点 P 对应的二次锥面T1的正母线的动直线的轨迹.设动直线的参数方程为陈岱婉等：单叶双曲面与双曲抛物面为动直线轨迹的定义27汕头大学学报（自然科学版）第 38 卷xx0a2y0tyy0b2x0t0abct扇墒设设缮设设（t为参数）（5）又因为 P（x0，y0，0）撞1，故满足x02a2y02b21，（6）联立（5）、（6）消去 x0，y0，t 并整理可得x2a2y2b22c21（a，b，c0）.故该轨迹为单叶双曲面（如图 4 所示）.命题得证.（2）当准线为双曲线 撞2时，印）Q撞2，先求过点 O 且平行于 撞2上一点 Q 的从切平面的平面 茁.设 Q（0，y0，0），则过点 Q 的从切平面为y0yb20c21，故过点 O 且平行于点 Q 的从切平面的平面 茁 为y0yb20c20.（7）其次，求平面 茁 与锥面 T1的交线.联立方程（1）、（7），得平面 茁 与锥面 T1的交线为y0yb20c20 x2a2y2b22c20扇墒设设缮设设，（8）可得交线有两解，即为点 Q 对应的二次锥面的正、负母线.若取 xabc 代入（8），求得两母线的方向数为X:Y:Z越依abc:b20:c2y0.由定义 2.2.1 知，点 Q 对应的二次锥面的正母线 l的方向数为 abc:b20:c2y0，点 Q对应的二次锥面的负母线 l的方向数为abc:b20:c2y0.）最后，求以双曲线 撞2为准线，过点 Q撞2且方向平行于点 Q 对应的二次锥面的正母线的动直线的轨迹.设动直线的参数方程为x0abctyy0b20t0c2y0t扇墒设设缮设设（t为参数）（9）又因为 Q（0，y0，0）撞2，故满足y02b202c21，（10）联立（9）、（10）消去 y0，0，t 并整理可得x2a2y2b22c21（a，b，c0）.28第 3 期故该轨迹为单叶双曲面.命题得证.（3）当准线为双曲线 撞3时，与（1）、（2）中的）、）类似，一旦 W（x0，0，0）撞3，便可求得点 W 对应的二次锥面的正母线 l的方向数为 a20:abc:c2x0，点 W 对应的二次锥面的负母线 l的方向数为a20:（abc）:c2x0.）最后，求以双曲线 撞3为准线，过点 W撞3且方向平行于点 W 对应的二次锥面的正母线的动直线的轨迹.设动直线的参数方程为xx0a20ty0abct0c2x0t扇墒设设缮设设（t 为参数）（11）又因为 W（x0，0，0）撞3，故满足x02a202c21，（12）联立（11）、（12）消去 x0，0，t 并整理可得x2a2y2b22c21（a，b，c0）.故该轨迹为单叶双曲面.命题得证.对于与平面定曲线相交且平行于交点对应的二次锥面 T1的负母线的动直线的轨迹是单叶双曲面，证明过程完全与情况雷同，这里从略.注记 2：在该定义 3.11 中，与平面定曲线相交且平行于交点对应的二次锥面的正母线或负母线的动直线的轨迹正好是对应文献16所定义的单叶双曲面的直母线 u，v 族.3.2双曲抛物面为动直线的轨迹定义定义 3.21 在空间，与平面定曲线相交且平行于交点对应的一对相交平面 T2的正母线（或负母线）的动直线的轨迹叫做双曲抛物面，定曲线称为双曲抛物面的准线，这对相交平面叫做双曲抛物面的渐近平面，动直线中的每一条都叫做双曲抛物面的母线（如图 5所示）.双曲抛物面的准线不唯一，可为下列平面曲线（其中常数 a，b0，c0）：（1）抛物线 祝1:y2越原cb2x0嗓；（2）抛物线 祝2:x2ca2y0嗓.证明玉.先证与平面定曲线相交且平行于交点对应的一对相交平面 T2的正母线的动直线的轨迹是双曲抛物面.（1）当准线为抛物线 祝1时，）P祝1，先求过点 O 且平行于 祝1上一点 P 的从切平面的平面 琢.设 P（0，y0，0），则过点 P 的从切平面为yy0越原cb2（0）2，故过点 O 且平行于点 P 的从切平面的平面 琢 为陈岱婉等：单叶双曲面与双曲抛物面为动直线轨迹的定义29汕头大学学报（自然科学版）第 38 卷yy0越原cb22，或 2yy0cb20.（13）其次，求平面 琢 与一对相交平面 T2的交线.联立方程（2）、（13），得平面 琢 与一对相交平面 T2的交线为2yy0cb20 x2a2y2b20扇墒设缮设，（14）可得交线有两解，即为点 P 对应的相交平面 T2的正、负直线.若取 y越原b 代入（3.12），求得两直线的方向数为X:Y:Z越依a:（b）:2y0bc.由定义 2.2.1 知，点 P 对应的一对相交平面的正直线 l的方向数为 a:（b）:2y0bc，点 P 对应的一对相交平面的负直线 l的方向数为（a）:（b）:2y0bc.）最后，求以抛物线 祝1为准线，过点 P祝1且方向平行于点 P 对应的相交平面 T2的正直线的动直线的轨迹.设动直线的参数方程为x0atyy0bt02y0bct扇墒设设缮设设（t 为参数）（15）又因为 P（0，y0，0）祝1，故满足 y20越原cb20，（16）联立（15）、（16）消去 y0，0，t 并整理可得x2a2y2b2cz（a，b0，c0）.故该轨迹为双曲抛物面（如图 6 所示）.命题得证.（2）当准线为抛物线 祝2时，）Q祝2，先求过点 O 且平行于 祝2上一点 Q 的从切平面的平面 茁.30第 3 期设 P（x0，0，0），则过点 Q 的从切平面为xx0ca2（0）2，故过点 O 且平行于点 Q 的从切平面的平面 茁 为xx0ca22，或 2xx0ca20.（17）其次，求平面 茁 与相交平面 T2的交线.联立方程（2）、（17），得平面 茁 与相交平面 T2的交线为2xx0ca20 x2a2y2b20扇墒设缮设，（18）可得交线有两解，即为点 Q 对应的一对相交平面 T2的正、负直线.若取 xa 代入（18），求得两直线的方向数为X:Y:Za:（b）:2x0ac.由定义 2.2.1 知，点 Q 对应的正直线 l的方向数为 a:b:2x0ac，点 Q 对应的负直线l的方向数为 a:（b）:2x0ac.）最后，求以抛物线 祝2为准线，过点 Q祝2且方向平行于点 Q 对应的一对相交平面的正直线的动直线的轨迹.设动直线的参数方程为xx0aty0bt02x0act扇墒设设缮设设（t 为参数）（19）又因为 Q（x0，0，0）祝2，故满足 x20ca20，（20）联立（19）、（20）消去 x0，y0，t 并整理可得x2a2y2b2cz（a，b0，c0）.故该轨迹为双曲抛物面.命题得证.对于与平面定曲线相交且平行于交点对应的一对相交平面的负母线的动直线的轨迹是双曲抛物面，证明过程完全与情况雷同，这里从略.注记 3：平面曲线 祝3:x2a2y2b200扇墒设缮设不能作为准线，否则将推出动直线的方向数为a:（b）:0 为常数，故不能生成双曲抛物面.4结论本文在现行 空间解析几何 教材及文献的相关内容的基础上给予扩展，从二次曲面陈岱婉等：单叶双曲面与双曲抛物面为动直线轨迹的定义31汕头大学学报（自然科学版）第 38 卷的内在关联出发，分别利用渐近锥面或一对相交平面找到单叶双曲面与双曲抛物面的直母线的运动轨迹，从而给出这两种直纹面为动直线的轨迹定义.在本定义中，若将动直线方向固定，则得到柱面，若动直线一端经过固定点，则得到锥面，故它具有一般性，可视为柱面和锥面定义的推广.我们的后续工作是研究单叶双曲面与其渐近锥面有关性质的比较.参考文献1 吕林根，许子道.解析几何M.四版.北京：高等教育出版社，2007：140-149，175-181.2 许子道，殷剑兴.空间解析几何M.南京：南京大学出版社，2014：174-175.3 朱鼎勋，陈绍菱.空间解析几何学M.北京：北京师范大学出版社，1981.4 李养成.空间解析几何M.北京：科学出版社，2010.5 黄宣国.空间解析几何与微分几何M.上海：复旦大学出版社，2003：34-35.6 邱维声.解析几何M.北京：北京大学出版社，1988：103-1077 尤承业.解析几何M.北京：北京大学出版社，2013：111-1198 黄保军.作为动直线运动轨迹的二次曲面J.淮北师范大学学报（自然科学版），2016，37（4）：4-7.9 李晓艳.单叶双曲面轨迹问题的相关研究J.甘肃高师学报，2020，25（2）：9-11.10 刘绍颖.单叶双曲面是动直线的轨迹两例J.承德民族师专学报，1996（2）：12-14.11 刘绍颖.直纹面可视为动直线的轨迹J.承德民族师专学报，1995（2）：24-27.12陈怀堂，杜彦武，刘建.关于单叶双曲面和双曲抛物面的定义J.临沂师专学报，1997，19（3）：1-3.13 梅向明，黄敬之.微分几何M.第四版.北京：高等教育出版社，2008：30-46.14 陈维恒.微分几何M.北京：北京大学出版社，2006.15 苏忍锁.单叶双曲面的直母线的性质J.宝鸡文理学院学报（自然科学版），2001（2）：97-99.16 刘德金，姜宏彬.单叶双曲面上两族直母线的唯一性J.潍坊学院学报，2012，12（2）：37-39.Hyperboloid of One Sheet and Hyperbolic ParaboloidDefined as Locus of Moving Strait-LinesCHEN Daiwan,CHEN Yan（Shantou Preschool Education College,Shantou 515041,Guangdong,China）Abstract Hyperboloid of one sheet and hyperbolic paraboloid are special rectilinear surfaces.Definition is not found for locus of the moving strait-lines.Under the inherent relevance amongquadratic surfaces,following the definitions of a cylinder and a cone and utilizing an asymptoticcone or a pair of intersecting planes,respectively,as anauxiliary figure,the directrixes and itscorresponding moving strait-lines generating hyperboloid of one sheet and hyperbolic paraboloidare shown.Finally,an intuitive definition is given that both rectilinear surfaces are defined aslocus of moving strait-lines,and the geometrical characters are also represented.Keywords hyperboloid of one sheet;hyperbolic paraboloid;moving strait-line;loci32