第章知能优化训练.doc

1．下列语句：①平行四边形不是梯形；②是无理数；③方程9x2－1＝0的解是x＝±；④这是一棵大树；⑤2008年8月8日是北京奥运会开幕的日子．
其中命题的个数是________．
解析：①②③⑤都是命题，对于④，由于“大树”没有界定标准，不能判断真假，所以④不是命题．
答案：4
2．(2011年高考山东卷改编)已知a，b，c∈R，命题“a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．
解析：由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论，因此原命题的否命题为若“a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3.”
答案：若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
3．命题“若b≠3，则b2≠9”的逆命题是________．
答案：若b2≠9，则b≠3
4．命题“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”，条件p：________，结论q：________，是________命题(填“真”或“假”)．
解析：Δ＝b2－4ac无法判断是否大于0，因而命题为假命题．
答案：一个方程是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0　它有两个不相等的实数根　假

一、填空题
1．命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是________．
答案：若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数
2．设A、B为两个集合，下列四个命题：
①A⃘B⇔对任意x∈A，有x∉B；
②A⃘B⇔A∩B＝∅；
③A⃘B⇔A⊉B；
④A⃘B⇔存在x∈A，使得x∉B.
其中真命题的序号是________．(把符合要求的命题序号都填上)
解析：A⃘B的情况有多种A、B之间的关系，A中至少有一个元素不属于B.
答案：④
3．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的________．
解析：设p为“若A则B”，则r为“若非A则非B”，s为“若非B则非A”，t为“若B则A”，故s为t的否命题．
答案：否命题
4．有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤0，则x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④“若A∪B＝B，则AB”的逆否命题．
其中为真命题的是________．
解析：②逆命题为周长相等的三角形相似，假命题；④若A∪B＝B，则A⊆B，所以原命题假，由逆否命题的等价性可知②④错误．
答案：①③
5．命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的逆命题为________，否命题为________，逆否命题为________．
答案：若a＝0或b＝0，则ab＝0　若ab≠0，则a≠0且b≠0　若a≠0且b≠0，则ab≠0
6．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是________．
①若x2≥1，则x≥1或x≤－1；②若－1<x<1，则x2<1；③若x>1或x<－1，则x2>1；④若x≥1或x≤－1，则x2≥1.
解析：①是已知命题的否命题；②是逆命题；比较③、④知 ④正确．
答案：④
7．命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为________．
解析：∵“a>b”的否定是“a≤b”，“2a>2b－1”的否定是“2a≤2b－1”，∴原命题的否命题是“若a≤b，则2a≤2b－1”．
答案：若a≤b，则2a≤2b－1
8．命题“若∠A＝60°，则△ABC是等边三角形”的否命题“若∠A≠60°，则△ABC不是等边三角形”为________(真假性)．
解析：“若∠A＝60°，则△ABC是等边三角形”的逆命题为“若△ABC是等边三角形，则∠A＝60°”，逆命题为真命题，所以否命题为真命题．
答案：真命题
二、解答题
9．命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”．写出其逆命题、否命题、逆否命题．
解：逆命题：已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d；
否命题：已知a、b、c、d是实数，若a与b、c与d不都相等，则a＋c≠b＋d；
逆否命题：已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d，则a与b，c与d不都相等．
10．写出命题“若a≥－，则x2＋x－a＝0有实数根”的逆否命题，并判断其真假．
解：逆否命题：若x2＋x－a＝0无实数根，则a<－.
判断如下：∵x2＋x－a＝0无实数根，
∴Δ＝1＋4a<0，即a<－，
∴“若x2＋x－a＝0无实数根，则a<－”为真命题．
11．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且a，b∈R，若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
(1)判断其逆命题的真假，并证明你的结论；
(2)判断其逆否命题的真假，并证明你的结论．
解：(1)逆命题：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.为真命题．
用反证法证明：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.
因为f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，
则f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，
所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，与条件矛盾，所以逆命题为真．
(2)逆否命题：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且a，b∈R，若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0.为真命题．
用原命题的真假判断逆否命题的真假，证明如下：
因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a.
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．
所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
所以原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．