有理数的混合运算例题与讲解.doc

有理数的混合运算

基础知识，基本技能
1．有理数的混合运算
(1)有理数的混合运算
一个算式中含有加、减、乘、除、乘方运算中的两种以上的运算，就是有理数的混合运算．
如：－42×[(1－7)÷6]3＋[(－5)3－3]÷(－2)3.
(2)混合运算的顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减．
如果有括号，先算括号里面的．
谈重点 混合运算的运算顺序
①加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算．②含有多级运算时，要从高级到低级，即先做第三级运算，再做第二级运算，最后做第一级运算，同级运算要从左到右依次运算．③有括号的按小括号、中括号、大括号的顺序进行．
【例1】 计算：
(1)－0.252÷3×(－1)2 013＋(－2)2×(－3)2；
(2)2－＋2 013－1×÷1.
分析：(1)算式中的“＋”号把整个算式分为两段，可以先分别计算“＋”前后的两项，再求和．计算中要注意各项的符号；(2)本题中的算式含有括号，要先算括号内的运算，再按照“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序进行运算．
解：(1)原式＝－2÷×(－1)＋4×9
＝－×8×1＋4×9
＝－＋36＝35.
(2)2－＋(－1)2 013－1×÷1
＝2－＋(－1)－××＝－＋(－1)－×
＝－1＋＝－.
点评：学好有理数的混合运算需过四关：符号关、转化关、运算顺序关和运算律关．在计算的过程中，要注意根据运算的法则，先确定符号，再算绝对值；要注意根据算式的特点，适时地化减为加、化除为乘、化带分数为假分数，化小数为分数等．
基本方法，基本能力
2．混合运算中的简便运算技巧
(1)运算律的使用
有理数的混合运算要注意运用运算律简化运算．
运算律有：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律．解题时要根据题目特征，灵活选择．
析规律 有理数运算的技巧
①统一转化，即减法转化为加法，除法转化为乘法．②利用运算律改变运算顺序，能凑整的、同号的放在一起相加，能约分的放在一起乘．③注意乘方和乘方的相反数的区别．如：(－1)4≠－14.
(2)有理数混合运算中的常见技巧
①巧逆用：逆用乘法分配律．
②巧拆分：先将一个数拆分成两部分的和，再借助于乘法分配律计算．
③巧分解：将一个数分解成几个因数的积．
④巧分段：借助于混合运算中的加减号或括号分段计算，最后再运算．
⑤巧转化：减法转化为加法，除法转化为乘法．
不是每个题都能用到上面的运算技巧，要根据题目的特点，灵活选择适当的方法，以简便为主．
【例2－1】 计算：÷＋.
分析：算式中含有除法和加法，还有括号，可以先算括号里面的，也可以先把除法转化为乘法，利用乘法分配律简化运算．
解：(方法1)÷＋
＝÷＋
＝×＋＝＋＝－3.
(方法2)÷＋
＝×＋
＝×－×－×＋＝－2＋1＋＋＝－3.
【例2－2】 计算：＋＋＋＋＋.
分析：解答本题若采取由前向后逐次相加的方法计算，计算的过程比较繁琐．根据算式的特点，我们可以在算式的末尾添加辅助数－(其实就是0)，这样原来算式的最后一项与新添加的相加得，再与前项相加，得，……，由此发生了“连锁反应”，简化了计算的过程．
解：原式＝＋＋＋＋＋＋－
＝＋＋＋＋＋－
＝＋＋＋＋－＝…＝1－＝.
思维拓展，创新应用
3．有理数与“24点”
利用有理数的混合运算可以进行一些组合与游戏设计，如与混合运算有关的“24点”游戏．
“24点”游戏规则：任取1～13之间的四个整数，将这四个数(或相反数)进行加、减、乘、除四则运算(每个数用且只用一次)，使其结果等于24或－24.
【例3】 根据“24点”游戏规则，现有四个有理数3,4，－6，10.运用规则写出三种不同的运算式使其结果等于24.
分析：对此问题，可以从24的尾数是4考虑，对乘法有2×12＝24,4×6＝24,3×8＝24等，还应考虑到负数的参与，要灵活运用括号，各种运算不一定都用到．
解：(1)3×[4＋10＋(－6)]；
(2)10－[4＋3×(－6)]；
(3)4－(－6)÷3×10.
4.有理数的混合运算的应用
利用混合运算，解决生活实际问题的主要步骤是：
①分析题意，弄清问题，将实际问题转化为数学问题；
②根据题意选择适当的运算列出算式；
③运用有理数的混合运算顺序与技巧进行计算；
④写出答案．
【例4】 某个家庭为了估计自己家6月份的用电量，对月初的一周每天电表的读数进行了记录，上周日电表的读数是115度．以后每日的读数如下表(表中单位：度)，请你估计6月份大约用多少度电．
星期
一
二
三
四
五
六
日
电表的读数
118
122
127
133
136
140
143
分析：通过对一周电度表的读数的记载可以算出这一周各天的用电量，也可以用这周日的电度表读数减去上周日的电度表读数，求出这一周的总用电量，从而算出这一周的平均每天用电量，用这周的平均每天用电量乘30，就可以估算出6月份大约用多少度电．
解：(方法1)[(118－115)＋(122－118)＋(127－122)＋(133－127)＋(136－133)＋(140－136)＋(143－140)]÷7×30＝(－115＋143)÷7×30＝120(度)．
(方法2)(143－115)÷7×30＝120(度)．
答：估计6月份大约用120度电．