华师大版第22章二次根式电子课本（新）.docx

第22章 二次根式 2
§22.1 二次根式 3
阅读材料 5
§22.2 二次根式的乘除法 5
1．二次根式的乘法 5
2．积的算术平方根 6
3．二次根式的除法 7
§22.3 二次根式的加减法 9
小结 11
复习题 12

第22章 二次根式

人造地球卫星要冲出地球，围绕地球运行，发射时必须达到一定的速度，这个速度称为第一宇宙速度．计算第一宇宙速度的公式是
，
其中g为重力加速度，R为地球半径．

§22.1 二次根式
在第12章我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个记号．
回顾
当a是正数时，表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根．
当a是零时，等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根．
当a是负数时，没有意义．
概括
（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，（a≥0）是一个非负数，它的平方等于a．即有：
（1）≥0（a≥0）；
（2）=a（a≥0）．
形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
注意
在二次根式中，字母a必须满足a≥0，即被开方数必须是非负数．
例 x是怎样的实数时，二次根式有意义？
分析 要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数．
解 被开方数x-1≥0，即x≥1．
所以，当x≥1时，二次根式有意义．
思考
等于什么？
我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律：
==2；
==2；
==3；
==3；
……
概括
当a≥0时，；
当a＜0时，．
这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如：
=2x（x≥0）；
．
练习
1．计算：
（1）；（2）；（3）；（4）．
2．x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
（1）；（2）；（3）；（4）．
3．与是一样的吗？说说你的理由，并与同学交流．

习题22.1
1．x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
（1）；（2）；（3）；（4）．
2．计算：
（1）；（2）；（3）；（4）．
3．已知2＜x＜3，化简：．
4．边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．

阅读材料
蚂蚁和大象一样重吗
同学们一定听过蚂蚁和大象进行举重比赛的故事吧！蚂蚁能举起比它的体重重许多倍的火柴棒，而大象举起的却是比自己体重轻许多倍的一截圆木，结果蚂蚁获得了举重冠军！
我们这里谈论的话题是： 蚂蚁和大象一样重吗？我们知道，即使是最大的蚂蚁与最小的大象，它们的重量明显不是一个数量级的．但是下面的“推导”却会让你大吃一惊： 蚂蚁和大象一样重！
设蚂蚁重量为x克，大象的重量为y克，它们的重量和为2a克，即
x+y=2a．
两边同乘以（x-y），得
(x+y)(x-y)=2a(x-y)．
即 ．
可变形为 ．
两边都加上，得 ．
于是 ，
可得 ，
所以 ．
这里竟然得出了蚂蚁和大象一样重的结论，岂不荒唐！那么毛病究竟出在哪里呢？亲爱的同学，你能找出来吗？

§22.2 二次根式的乘除法
1．二次根式的乘法
计算：
（1）与；
（2）与．
思考
对于与呢？
从计算的结果我们发现，
=
这是什么道理呢？
事实上，根据积的乘方法则，有
，
并且＞0，
所以是2×3的算术平方根，即
=
一般地，有
（a≥0，b≥0）．
这就是说，两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘．
注意，在上式中，a、b都表示非负数．在本章中，如果没有特别说明，字母都表示正数．
例1 计算：
（1）；（2）．
解（1）．
（2）．
2．积的算术平方根
上面得到的等式（a≥0，b≥0），也可以写成
（a≥0，b≥0）．
这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积．
利用这个性质可以进行二次根式的化简．
例2 化简，使被开方数不含完全平方的因式（或因数）：
（1）；（2）；（3）．
解（1）

．
（2）

．
（3）

．
例2各题中给出的二次根式，被开方数的因式中有一些幂的指数不小于2，即含有完全平方的因式（或因数），如（1）中，（2）中，（3）中，通常可根据积的算术平方根的性质，并利用（a≥0），将这个因式（或因数）“开方”出来．
做一做
计算下列各式，并将所得的结果化简：
（1）；（2）．
3．二次根式的除法
讨论
两个二次根式相除，怎样进行呢？商的算术平方根又等于什么？试参考前两小节的研究，和同伴讨论，提出你的见解．
概括
一般地，有
________（a≥0，b＞0）．
这就是说，两个二次根式相除，___________________________．
例3 计算：
（1）；（2）．
解 （1）．
（2）．
小题（2）也可先将分子化简为，从而容易算得结果．
上面得到的等式，也可以写成
______（a≥0，b＞0）．
这就是说，商的算术平方根，等于__________________．
利用这个性质可以进行二次根式的化简．
例4 化简．（要求分母中不含二次根式，并且二次根式中不含分母）
解 ．
这里，二次根式的被开方数中含有分母，通常可利用分式的基本性质将它配成完全平方数，再“开方”出来．
按照例2和例4的要求化简后的二次根式，被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式．
二次根式的除法，也可采用化去分母中根号的办法来进行，只要将分子、分母同乘以一个恰当的因式（也是二次根式）就可以了．如例4，将分子、分母同乘以，得
．
练习
1．化简：
（1）；（2）；（3）；（4）．
2．计算：
（1）；（2）；（3）；（4）．
3．现有一张边长为5cm的正方形彩纸，欲从中剪下一个面积为其一半的正方形，问剪下的正方形边长是多少？（答案先用最简二次根式表示，再算出近似值，精确到0.01）

习题22.2
1．化简：
（1）；（2）；（3）；（4）．
2．计算：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
3．某液晶显示屏的对角线长36cm，其长与宽之比为4∶3，试求该液晶显示屏的面积．
4．本章导图中给出了第一宇宙速度的计算公式：，其中g通常取，R约为6370千米．试计算第一宇宙速度．（结果用科学记数法表示，并保留两个有效数字）

§22.3 二次根式的加减法
试一试
计算：
（1）；（2）．
概括
与整式中同类项的意义相类似，我们把像与，、与这样的几个二次根式，称为同类二次根式．
二次根式的加减，与整式的加减相类似，关键是将同类二次根式合并．
例1 计算：．
解

．
思考
计算：．
分析 先将各二次根式化简：
，
______________________，
______________________．
解
=________+___________
=____________________．
二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并．

例2 计算：
（1）；（2）．
解 （1）

．
（2）

．
例3 计算：
（1）；
（2）．
解 （1）
．
（2）
．
练习
1．下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？

（1），；（2），；
（3），；（4），．
2．下列二次根式中，哪些与是同类二次根式？
．
3．计算：
（1）；（2）．
4．计算：
（1）；（2）．

习题22.3
1．下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？
（1）；（2）；
（3）；（4）．
2．计算：
（1）；（2）；
（3）．
3．计算：
（1）；（2）．
4．用一根铁丝做成一个正方形，使它恰好能嵌入一个直径为20cm的圆中（如图），求这根铁丝的长度．（结果精确到0.1cm）

5．已知二次根式与是同类二次根式，试写出三个a的可能取值．

小结
一、 知识结构
二次根式
二次根式的化简
二次根式的运算

二、 概括
1 理解符号的意义是研究二次根式的关键．表示非负数a的算术平方根，即有：
（1）≥0(a≥0）；（2）=a（a≥0）．
要注意二次根式中字母的取值范围： 被开方数必须是非负数．
2 二次根式的化简是进行二次根式运算的重要手段，二次根式的化简主要包括两个方面：
（1） 如果被开方数中含有分母，通常可利用分式的基本性质将分母配成完全平方，再“开方”出来．
（2） 如果被开方数中含有完全平方的因式（或因数），可利用积的算术平方根的性质，将它“开方”出来．
在化简过程中，都需要将被开方数中的完全平方“开方”出来，在这里，二次根式的性质“=a（a≥0）”起着举足轻重的作用．
3 二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加减．
（1） 二次根式乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是：
（a≥0，b≥0）；（a≥0，b＞0）．
（2） 二次根式的加减类似于整式的加减，关键是合并同类二次根式．通常应先将二次根式化简，再把同类二次根式合并．
二次根式运算的结果应尽可能化简．

复习题
A组
1．计算：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）；
（7）；（8）（a≥0）；
（9）；（10）．
2．下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？
（1）；（2）；
（3）；（4）．
3．x取何值时，下列各二次根式有意义？
（1）；（2）．
4．x是怎样的实数时，？
5．钳工车间用圆钢做正方形螺母，所需螺母边长为a，问下料时至少要用直径多大的圆钢？

6．如图，边长为8米的正方形大厅，地面由大小完全相同的黑、白正方形方砖相间铺成．求每块方砖的边长．

B组
7 若，则a的取值范围是__________________．
8 若有意义，则a的值为______________．
9 若，则x的取值范围是________________．
10 试写出一个式子，使它与之积不含二次根式．
11 数a、b在数轴上的位置如图所示，化简．

C组
12 化简：．
13 19世纪俄国文学巨匠列夫·托尔斯泰曾在作品《一个人需要很多土地吗》中写了这样一个故事：
有一个叫巴霍姆的人到草原上去购买土地，卖地的酋长出了一个非常奇怪的地价“每天1000卢布”，意思是谁出1000卢布，只要他日出时从规定地点出发，日落前返回出发点，所走过的路线圈起的土地就全部归他．如果日落前不能回到出发点，那么他就得不到半点土地，白出1000卢布．
巴霍姆觉得这个条件对自己有利，便付了1000卢布．第二天天刚亮，他就连忙在草原上大步向前走去．他走了足足有10俄里（1俄里≈1.0668公里），才朝左拐弯；接着又走了许久，才再向左拐弯；这样又走了2俄里，这时他发现天色不早，而自己离出发点还足有15俄里的路程，于是只得改变方向，径直朝出发点奔去……最后，他总算如期赶到了出发点，却因过度劳累，口吐鲜血而死．
请你算一算，巴霍姆这一天走了多少俄里路？他走过的路线围成的土地面积有多大？（结果保留二次根式）