解析几何突破练.doc

考前解析几何大题训练（1）
1.已知椭圆C： （）的离心率为 ，，，，的面积为1.
（1）求椭圆C的方程；（2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点M，直线PB与轴交于点N.求证：为定值.

2.平面直角坐标系中，椭圆C： 的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.
（I）求椭圆C的方程；
（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
（i）求证：点M在定直线上;
（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求 的最大值及取得最大值时点P的坐标.

3.设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

4.已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．
（I）若在线段上，是的中点，证明；
（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.

考前解析几何大题训练（2）
5.如图,已知椭圆：的上顶点为,离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点作圆
的两条切线分别与椭圆相交于点(不同于点).当变化时,试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.

6.已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.
(1)求C2的方程．
(2)过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．
(i)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率；
(ii)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．

7.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－c，0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝截得的线段的长为c，|FM|＝.
(1)求直线FM的斜率；
(2)求椭圆的方程；
(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．

8.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且右焦点F到直线的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．

考前解析几何大题训练（3）
9.已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.
(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．

10.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点P(0，1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.
(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；
(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q坐标；若不存在，说明理由．

11.平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程．
(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点．过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.
(i)求的值；
(ii)求△ABQ面积的最大值．

12.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为c.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．

考前解析几何大题训练（4）
13.如图1­5所示，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率是，过点P(0，1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点．当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2 .

图1­5
(1)求椭圆E的方程．
(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得＝恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

14.已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．
(1)求实数m的取值范围；
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．

图1­6

15. 已知动点P(x，y)到直线l：x＝－2的距离是它到定点F(－1，0)的距离的倍．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过F(－1，0)作与x轴垂直的直线与轨迹C在第三象限的交点为Q，过F(－1，0)的动直线与轨迹C相交于不同的两点A，B，与直线l相交于点M，记直线QA，QB，QM的斜率依次为k1，k2，k3，试证明：为定值．

16.如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，，设点（），连接交椭圆于点，坐标原点是．
（1）证明：；
（2）若四边形的面积是，求的值．

1.已知椭圆C： （）的离心率为 ，，，，的面积为1.
（1）求椭圆C的方程；（2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点M，直线PB与轴交于点N.求证：为定值.
⑴由已知，，又，
解得
∴椭圆的方程为.
⑵方法一：
设椭圆上一点，则.
直线：,令，得.
∴
直线：,令，得.
∴

将代入上式得
故为定值.
2.平面直角坐标系中，椭圆C： 的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.
（I）求椭圆C的方程；
（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
（i）求证：点M在定直线上;
（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求 的最大值及取得最大值时点P的坐标.
【解析】(Ⅰ) 由离心率是，有，
又抛物线的焦点坐标为，所以，于是，
所以椭圆的方程为．
(Ⅱ) （i）设点坐标为，
由得，所以在点处的切线的斜率为，
因此切线的方程为，
设，，
将代入，得
．
于是，，
又，
于是　直线的方程为．
联立方程与，得的坐标为．
所以点在定直线上．
（ii）在切线的方程为中，令，得，
即点的坐标为，又，，
所以；
再由，得

于是有 ．
令，得
当时，即时，取得最大值．
此时，，所以点的坐标为．
所以的最大值为，取得最大值时点的坐标为．
3.设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
【解析】（Ⅰ）因为，，故，
所以，故.
又圆的标准方程为，从而，所以.
由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）.

4.已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．
（I）若在线段上，是的中点，证明；
（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.

(第19题图)

5.如图,已知椭圆：的上顶点为,离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点作圆
的两条切线分别与椭圆相交于点(不同于点).当变化时,试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.

6.已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.
(1)求C2的方程．
(2)过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．
(i)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率；
(ii)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．
．解：(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0，1)．因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以
a2－b2＝1.①
又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，
由此易知C1与C2的公共点的坐标为±，，所以＋＝1.②
联立①②，得a2＝9，b2＝8，
故C2的方程为＋＝1.
(2)如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．
(i)因为与同向，且|AC|＝|BD|，所以＝，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③
设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.
由得x2－4kx－4＝0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④
由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0.
而x3，x4是这个方程的两根，所以
x3＋x4＝－，x3x4＝－.⑤
将④⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋，即16(k2＋1)＝，
所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±，即直线l的斜率为±.

(ii)证明：由x2＝4y得y′＝，所以C1在点A处的切线方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝－.
令y＝0，得x＝，即M，0，所以＝，－1.而＝(x1，y1－1)，于是·＝－y1＋1＝＋1>0，
因此∠AFM是锐角，从而∠MFD＝180°－∠AFM是钝角．
故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．
7.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－c，0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝截得的线段的长为c，|FM|＝.
(1)求直线FM的斜率；
(2)求椭圆的方程；
(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．
．解：(1)由已知有＝，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.
设直线FM的斜率为k(k>0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c)．由已知，有2＋2＝2，解得k＝.
(2)由(1)得椭圆方程为＋＝1，直线FM的方程为y＝(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－c或x＝c.因为点M在第一象限，所以M的坐标为c，c.由|FM|＝＝，解得c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.
(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，则t＝，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6.又由已知，得t＝>，解得－<x<－1或－1<x<0.
设直线OP的斜率为m，则m＝，即y＝mx(x≠0)．与椭圆方程联立，整理可得m2＝－.
①当x∈－，－1时，有y＝t(x＋1)<0，因此m>0，于是m＝，得m∈，.
②当x∈(－1，0)时，有y＝t(x＋1)>0，因此m<0，于是m＝－，得m∈－∞，－.
综上，直线OP的斜率的取值范围是－∞，－∪，.
8.如图1­4，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且右焦点F到直线的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．

解：(1)由题意，得＝，且c＋＝3，
解得a＝，c＝1，则b＝1，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)当AB⊥x轴时，AB＝，又CP＝3，不合题意．
当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入椭圆方程，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，则x1，2＝，C点的坐标为，
且AB＝＝＝
.
若k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意，
从而k≠0，故直线PC的方程为y＋＝－，
则P点的坐标为，
从而PC＝.
因为PC＝2AB，所以＝，解得k＝±1，
此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.
9.已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.
(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
20．解：(1)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．
将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2，
得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，
故xM＝＝，yM＝kxM＋b＝.
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，
即kOM·k＝－9.
所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
(2)四边形OAPB能为平行四边形．
因为直线l过点，所以l不过原点且与椭圆C有两个交点的充要条件是k>0，k≠3.
由(1)得直线OM的方程为y＝－x.
设点P的横坐标为xP，
由得x＝，
即xP＝ .
将点的坐标代入(1)中l的方程得b＝，因此xM＝.
四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM，
于是＝2×，
解得k1＝4－，k2＝4＋.
因为k>0，k≠3，所以当l的斜率为4－或4＋时，四边形OAPB为平行四边形．
10.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点P(0，1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.
(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；
(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)由题意得解得a2＝2，
故椭圆C的方程为＋y2＝1，
设M(xM，0)．
因为m≠0，所以－1<n<1.
直线PA的方程为y－1＝x，
所以xM＝，即M.
(2)因为点B与点A关于x轴对称，
所以B(m，－n)，
设N(xN，0)，则xN＝.
“存在点Q(0，yQ)使得∠OQM＝∠ONQ”等价于“存在点Q(0，yQ)使得＝”，即yQ满足y＝|xM||xN|.
因为xM＝，xN＝，＋n2＝1，
所以y＝|xM||xN|＝＝2.
所以yQ＝或yQ＝－.
故在y轴上存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ，点Q的坐标为(0，)或(0，－)．
11.平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程．
(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点．过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.
(i)求的值；
(ii)求△ABQ面积的最大值．
20．解：(1)由题意知2a＝4，则a＝2，
又＝，a2－c2＝b2，
可得b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知，椭圆E的方程为＋＝1，
(i)设P(x0，y0)，＝λ，由题意知Q(－λx0，－λy0)．
因为＋y＝1，
且＋＝1，即＝1，
所以λ＝2，即＝2.
(ii)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，
由Δ>0，可得m2<4＋16k2，①
则有x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以|x1－x2|＝.
因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，
所以△OAB的面积S＝|m||x1－x2|
＝
＝
＝2.
设＝t.
将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②
由①②可知0<t≤1，
因此S＝2＝2.
故S≤2，
当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时，S取得最大值2，
由(i)知，△ABQ的面积为3S，
所以△ABQ面积的最大值为6.
12.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为c.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)如图1­7，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．

图1­7
20．解：(1)过点(c，0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，
则原点O到该直线的距离d＝＝，
由d＝c，得a＝2b＝2，解得离心率＝.
(2)方法一：由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①
依题意，圆心M(－2，1)是线段AB的中点，且|AB|＝.
易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得
(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝.
从而x1x2＝8－2b2.
于是|AB|＝|x1－x2|＝
＝.
由|AB|＝，得＝，解得b2＝3.
故椭圆E的方程为＋＝1.
方法二：由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.②
依题意，点A，B关于圆心M(－2，1)对称，且|AB|＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x＋4y＝4b2，x＋4y＝4b2，
两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得
－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0.
易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，
所以AB的斜率kAB＝＝.
因此直线AB的方程为y＝(x＋2)＋1，代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0，
所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2.
于是|AB|＝|x1－x2|＝
＝.
由|AB|＝，得＝，解得b2＝3.
故椭圆E的方程为＋＝1.
13.如图1­5所示，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率是，过点P(0，1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点．当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2 .

图1­5
(1)求椭圆E的方程．
(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得＝恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)由已知得，点(，1)在椭圆E上，
因此解得a＝2，b＝，
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C，D两点．
如果存在定点Q满足条件，则有＝＝1，即|QC|＝|QD|，
所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为(0，y0)．
当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点，
则M，N的坐标分别为(0，)，(0，－)．
由＝，得＝，
解得y0＝1或y0＝2，
所以若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为(0，2)．
下面证明：对任意直线l，均有＝.
当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立．
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
联立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0.
其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－，
因此＋＝＝2k.
易知点B关于y轴对称的点B′的坐标为(－x2，y2)．
又kQA＝＝＝k－，
kQB′＝＝＝－k＋＝k－，
所以kQA＝kQB′，即Q，A，B′三点共线，
所以＝＝＝.
故存在与P不同的定点Q(0，2)，使得＝恒成立．

14.已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．
(1)求实数m的取值范围；
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．

图1­6
解：(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.
由
消去y，得x2－x＋b2－1＝0.
因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，
所以Δ＝－2b2＋2＋>0.①
将AB的中点M的坐标代入直线方程
y＝mx＋，解得b＝－.②
由①②得，m<－或m>.
(2)令t＝∈∪，则
|AB|＝·，
且O到直线AB的距离d＝.
设△AOB的面积为S(t)，所以
S(t)＝|AB|·d＝ ≤，
当且仅当t2＝时，等号成立．
故△AOB面积的最大值为.
15. 已知动点P(x，y)到直线l：x＝－2的距离是它到定点F(－1，0)的距离的倍．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过F(－1，0)作与x轴垂直的直线与轨迹C在第三象限的交点为Q，过F(－1，0)的动直线与轨迹C相交于不同的两点A，B，与直线l相交于点M，记直线QA，QB，QM的斜率依次为k1，k2，k3，试证明：为定值．
8．解：(1)作PN⊥直线l于N，则由题意可知|PN|＝|PF|.
由于|PN|＝|x＋2|，|PF|＝，所以|x＋2|＝·，化简得动点P的轨迹C的方程为＋y2＝1.
(2)易得Q.
①当动直线AB的斜率k＝0时．设A(－，0)，B(，0)，又M(－2，0)，此时k1＝－－1，k2＝－＋1，k3＝－，此时，＝2.
②当动直线AB的斜率k≠0时，设直线AB的方程为x＝ty－1(其中tk＝1)，令x＝－2得，y＝－，所以M，所以k3＝－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＝ty1－1，x2＝ty2－1，k1＝＝＝＋·，k2＝＋·，所以k1＋k2＝＋·.把x＝ty－1代入＋y2＝1，可得(t2＋2)y2－2ty－1＝0，所以y1＋y2＝，y1·y2＝，所以＋＝－2t，所以k1＋k2＝＋·＝－，所以＝2成立．