竖直平面的圆周运动与能量综合题含答案.doc

L
竖直平面内的圆周运动和能量综合题
1、如图，固定于小车上的支架上用细线悬挂一小球．线长为L．小车以速度V0做匀速直线运动，当小车突然碰到障障碍物而停止运动时．小球上升的高度的可能值是． ( )
A. 等于 B. 小于 C. 大于 D等于2L
2、长为L的轻绳的一端固定在O点，另一端拴一个质量为m的小球，先令小球以O为圆心，在竖直平面内做圆周运动，小球能通过最高点，如图则（ ）
A．小球通过最高点时速度可能为零
B．小球通过最高点时所受轻绳的拉力可能为零
C．小球通过最低点时速度大小可能等于
D．小球通过最低点时所受轻绳的拉力一定不小于6mg
3、如图所示，O点离地面高度为H，以O点为圆心，制作一半径为R的四分之一光滑圆弧轨道，小球从与O点等高的圆弧最高点滚下后水平抛出，试求：
⑴小球落地点到O点的水平距离S；
⑵要使这一距离最大，R应满足什么条件？最大距离为多少？
（1）s=
（2）R=时，s最大，
最大水平距离为smax=H

解析:
（1）小球在圆弧上滑下过程中受重力和轨道弹力作用，但轨道弹力不做功，即只有重力做功，机械能守恒，可求得小球平抛的初速度v0.
根据机械能守恒定律得mgR=
设水平距离为s，根据平抛运动规律可得s=.
（2）因H为定值，则当R=H-R，即R=时，s最大，
最大水平距离为smax==H

4、（10分）如图7所示，质量m=2kg的小球，从距地面h=3.5m处的光滑斜轨道上由静止开始下滑，与斜轨道相接的是半径R=1 m的光滑圆轨道，如图所示，试求：（1）小球滑至圆环顶点时对环的压力；
图7
（2）小球应从多高范围内由静止滑下才能使小球不脱离圆环。 （）（1）40N　　　　（2）h≥2.5m或h≤1m

图6
5.如图6所示，和为两个对称斜面，其上部足够长，下部分分别与一个光滑的圆弧面的两端相切，圆弧圆心角为120°，半径＝2.0ｍ，一个质量为＝1ｋｇ的物体在离弧高度为＝3.0ｍ处，以初速度4.0ｍ／ｓ沿斜面运动，若物体与两斜面间的动摩擦因数＝0.2，重力加速度＝10ｍ／ｓ2，则
（1）物体在斜面上（不包括圆弧部分）走过路程的最大值为多少？
（2）试描述物体最终的运动情况．
（3）物体对圆弧最低点的最大压力和最小压力分别为多少？
5、解：
（1）物体在两斜面上来回运动时，克服摩擦力所做的功---（1分）
物体从开始直到不再在斜面上运动的过程中----------（2分）
解得ｍ-----------------------------------------------------（3分）
(2)物体最终是在、之间的圆弧上来回做变速圆周运动，----------------（4分）
且在、点时速度为零。--------------------------------------------（5分）
（3）物体第一次通过圆弧最低点时，圆弧所受压力最大．由动能定理得
-----------（7分）
由牛顿第二定律得 ---------------------------------（8分）
解得 N．-----------------------------------------------（9分）
物体最终在圆弧上运动时，圆弧所受压力最小．由动能定理得
--------------------------------------------（10分）
由牛顿第二定律得----------------------------------（11分）
解得N．---------------------------------------------------（12分）

D
A
B
O
C
6.如图所示，水平轨道AB与位于竖直平面内半径为R的半圆形光滑轨道BCD相连，半圆形轨道的BD连线与AB垂直。质量为m的小滑块（可视为质点）在恒定外力作用下从水平轨道上的A点由静止开始向左运动，到达水平轨道的末端B点时撤去外力，小滑块继续沿半圆形光滑轨道运动，且恰好通过轨道最高点D，滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到A点。已知重力加速度为g。求：
（1）滑块通过D点的速度大小；
（2）滑块经过B点进入圆形轨道时对轨道的压力大小；
（3）滑块在AB段运动过程中的加速度大小。
6、解：（1）设滑块恰好通过最高点D的速度为vD，根据牛顿第二定律有
mg=mvD2/R
解得：vD=
（2）滑块自B点到D点的过程机械能守恒，设滑块在B点的速度为vB，则有
mvB2=mvD2+mg2R，解得：vB2=5gR
设滑块经过B点进入圆形轨道时所受的支持力为NB，根据牛顿第二定律有
NB-mg=mvB2/R 解得 NB=6mg
由牛顿第三定律可知，滑块经过B点时对轨道的压力大小NB′=6mg
（3）对于滑块自D点平抛到A点，设其运动时间为t，则有
2R=gt2，sAB=vDt。可解得sAB=2R
设滑块由A点到B点的过程中加速度为a，则有 vB2=2asAB
解得：a=5g／4

25、如图所示，半径R = 0.4m的光滑半圆轨道与粗糙的水平面相切于A点，质量为 m = 1kg的小物体（可视为质点）在水平拉力F的作用下，从C点运动到A点，物体从A点进入半圆轨道的同时撤去外力F，物体沿半圆轨道通过最高点B后作平抛运动，正好落在C点，已知AC = 2m，F = 15N，g取10m/s2，试求：
（1）物体在B点时的速度以及此时半圆轨道对物体的弹力．
（2）物体从C到A的过程中，摩擦力做的功．

7、（20分）如25题图所示，竖直平面内的轨道ABCD由水平轨道AB与光滑的四分之一圆弧滑道CD组成，AB恰与圆弧CD在C点相切，轨道固定在水平面上。一个质量为m的小物块（可视为质点）从轨道的A端以初动能E冲上水平轨道AB，沿着轨道运动，由DC弧滑下后停在水平轨道AB的中点。已知水平滑道AB长为L，求：
（1）小物块与水平轨道的动摩擦因数μ。
（2）为了保证小物块不从轨道的D端离开轨道，圆弧轨道的半径R至少是多大？
（3）若圆弧轨道的半径R取第（2）问计算出的最小值，增大小物块的初动能，使得小物块冲上轨道后可以达到最大高度是1.5R处，试求小物块的初动能并分析小物块能否停在水平轨道上，如果能，将停在何处？如果不能，将以多大速度离开水平轨道？
25题图

13、（本题20分）
解：(1) （6分）

（2）（6分）

（3）（8分）

8．（10分）如图所示，粗糙的水平面右端B处连接一个竖直的半径为R 的光滑半圆轨道，B点为水平面与轨道的切点，在距离B点长为X的A点，用水平恒力将质量为m的质点从静止开始推到B处后撤去恒力，质点沿半圆轨道运动到C 处后又正好落回A点，质点和水平面间的动摩擦因数为μ。
（1）求在上述运动过程中推力对小球所做的功。
（2）x为多大时，完成上述运动过程所需的推力最小?最小的推力F为多大？

8（1）质点从半圆弧轨道做平抛运动又回到A点
在水平方向： x=vCt （1分）
竖直方向上：2R=gt2 （1分）
解得vC= （1分）
质点从A到C由动能定理 WF—μmgx—mg·2R=mv （1分）
解得 WF=μmgx+mg·2R +mgx2/8R （1分）

（2） 由 WF=μmgx+mg·2R +mgx2/8R 和WF=F x
得： （2分）
F 有最小值的条件是： =, 即x=4R （2分）
最小的推力F=mg (μ+1) （1分）

26、某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，其中“2008”，四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内（所有数宇均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多），底端与水平地面相切。弹射装置将一个小物体（可视为质点）以v=5m/s的水平初速度由a点弹出，从b 点进人轨道，依次经过“8002 ”后从p 点水平抛出。小物体与地面ab段间的动摩擦因数μ=0.3 ，不计其它机械能损失。已知ab段长L=1 . 5m，数字“0”的半径R=0.2m，小物体质量m=0 .0lkg ，g=10m/s2 。求：
( l ）小物体从p 点抛出后的水平射程。（s=0.8m）
( 2 ）小物体经过数字“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向（F=0.3N）

25解析： (1)设小物体运动到p点时的速度大小为v，对小物体由a运动到p过程应用动能定理得
小物体自P点做平抛运动，设运动时间为t．水平射程为s，则 ②
s=vt ③
联立①②③式，代入数据解得s=0.8m ④
(2)设在数字“0”的最高点时管道对小物体的作用力大小为F取竖直向下为正方向 ⑤
联立①⑤式，代入数据解得
F=0.3N ⑥
方向竖直向下
24．(20分）某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，它由细圆管弯成，固定在竖直平面内。左右两侧的斜直管道PA与PB的倾角、高度、粗糙程度完全相同，管口A、B两处均用很小的光滑小圆弧管连接（管口处切线竖直)，管口到底端的高度H1=0.4m。中间“8”字型光滑细管道的圆半径R=10cm(圆半径比细管的内径大得多)，并与两斜直管道的底端平滑连接。一质量m=0.5kg的小滑块从管口 A的正上方H2处自由下落，第一次到达最低点P的速度大小为10m/s.此后小滑块经“8”字型和PB管道运动到B处竖直向上飞出，然后又再次落回，如此反复。小滑块视为质点，忽略小滑块进入管口时因碰撞造成的能量损失，不计空气阻力，且取g=10m/s2。求：
(1) 滑块第一次由A滑到P的过程中，克服摩擦力做功；
(2)滑块第一次到达“8”字型管道顶端时对管道的作用力；
(3)滑块第一次离开管口B后上升的高度；(4）滑块能冲出槽口的次数。

18. 某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，它由细圆管弯成，固定在竖直平面内。左右两侧的斜直管道PA与PB的倾角、高度完全相同，粗糙程度均匀且完全相同，管口A、B两处均用很小的光滑小圆弧管连接（管口处切线竖直），管口到底端的高度H1=0.4m。中间“8”字型光滑细管道的圆半径R=10cm（圆半径比细管的内径大得多），并与两斜直管道的底端平滑连接。一质量m=0.5kg的小滑块从管口A的正上方H2=5m处自由下落，第一次到达最低点P的速度大小为10m/s。此后小滑块经“8”字型和PB管道运动到B处竖直向上飞出，然后又再次落回，如此反复。小滑块视为质点，忽略小滑块进入管口时因碰撞造成的能量损失，不计空气阻力，g取10m/s2。
（1）求滑块第一次由A滑到P的过程中，克服摩擦力做的功；
（2）求滑块第一次到达“8”字型管道顶端时对管道的作用力；
（3）求滑块能冲出两槽口的总次数；
（4）若仅将“8”字型管道半径变到30cm，能从B口出来几次？
从A、B口出来的总次数是几次？

18.（12分）
（1）滑块第一次滑到P的速度计为V1，由A滑到P的过程中克服摩擦力做功计为W1
----------------------------------------- 2分
代入数据得W1=2J --------------------------------------------------------- 1分
（2）滑块第一次滑到顶端的速度计为V2
-----------------------------------------------1分
-----------------------------------------------------------1分
FN =455N，滑块管道对的弹力大小为455N，方向向上 -----------1分
（3）滑块第一次由A到B克服摩擦力做的功W2=2W1=4J --------------1分
--------------------------------------------------------- 1分
所以滑块能离开槽口的次数为6次 ---------------------------------- 1分
（4）要想达到“8”字型管道最高点，在P点的动能临界值为Ek临=4mgR=6J
滑块具有的初始能量mg(H1+H2)=27J
第6次经过P处(VP向右)的动能Ek6=27 -11W1=5J，
由于5J< Ek临=6J，故无法上到“8”字型管道最高点，沿原路返回P点(VP向左)
又5J>mgH1+W1 = 2+2=4J，还能第4次从B冲出。
第4次从B冲出再回到P处(VP向右)的动能为1J，再无法冲出
所以，冲出B口的次数为4次，------1分
冲出A口的次数为2次，------1分
冲出的总次数为6次。----------1分

9、（20分）如图所示的“S”形玩具轨道，该轨道是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，放置在竖直平面内，轨道弯曲部分是由两个半径相等的半圆对接而成，圆半径比细管内径大得多，轨道底端与水平地面相切，轨道在水平面上不可移动。弹射装置将一个小球（可视为质点）从a点水平弹射向b点并进入轨道，经过轨道后从最高点d水平抛出。已知小球与地面ab段间的动摩擦因数μ=0.2，不计其它机械能损失，ab段长L=1.25m，圆的半径R=0.1m，小球质量m=0.01kg，轨道质量为M=0.26kg，g=10m/s2，求：
（1）要使小球从d点抛出后不碰轨道，小球的初速度v0需满足什么条件？
（2）设小球进入轨道之前，轨道对地面的压力大小等于轨道自身的重力，
当v0至少为多少时，小球经过两半圆的对接处c点时，轨道对地面的
压力为零。
（3）若v0=3m/s，小球最终停在何处？
9.（20分）
（1）设小球到达d点处速度为vd，由动能定理，得
O
………（1）
如小球由d点做平抛运动刚好经过图中的O点，则有
……………………………………（2）
……………………………………… 3）
联立①②③并代入数值得
…………………… （4）
小球的初速度v0需满足 …………………………（5）
（2）设小球到达c点处速度为vc，由动能定理，得
…………………………（6）
当小球通过c点时，由牛顿第二定律得
………………………………………………（7）
要使轨道对地面的压力为零，则有
N′=Mg …………………………………………………………………（8）
联立⑥⑦⑧并代入数值，解得小球的最小速度
v0=6 m/s …………………………………………………………………（9）
（3）小球能通过d点，需满足，由动能定理
………………………………………（10）
得：
因，小球过不了d点而沿轨道原路返回…………（11）
对整个过程由动能定理，有
…………………………………………………（12）
得 ……………………………………………………………（13）
小球最终停在a右侧处 ……………………………………………（14）
评分标准：共20分，其中（1）（6）各3分（7）（12）各2分，其余各1分。
21、过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R1=2.0m、R2=1.4m。一个质量为m=1.0kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以v0=12.0m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距L1=6.0m。小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取g=10m/s2，计算结果保留小数点后一位数字。试求
（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；
（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距应是多少；
（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R3应满足的条件；小球最终停留点与起点的距离。
R1
R2
R3
A
B
C
D
v0
第一圈轨道
第二圈轨道
第三圈轨道
L
L
L1

21答案：（1）10.0N；（2）12.5m(3) 当时， ；当时，
解析：（1）设小于经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v1根据动能定理
①
小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定律
②
由①②得 ③
（2）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v2，由题意
④
⑤
由④⑤得 ⑥
（3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：
I．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v3，应满足
⑦
⑧
由⑥⑦⑧得
II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R3，根据动能定理

解得
为了保证圆轨道不重叠，R3最大值应满足

解得 R3=27.9m
综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件

或
当时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L′，则

当时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L〞，则

22、倾角为37°的光滑导轨，顶端高H=1.45m，下端通过一小段光滑圆弧与薄壁细管做成的玩具轨道相接于最低端B。玩具轨道由间距为x0=1m的若干个相同圆环组成，圆环半径R=0.5m，整个玩具轨道固定在竖直平面内。第一个圆环记作0号，第二个圆环记作1号，其余依次类推，如图所示。一质量m=0.5kg的小球在倾斜导轨顶端A以v0＝2m/s速度水平发射，在落到倾斜导轨上P点后即沿轨道运动（P点在图中未画出）。假设小球落到轨道时平行轨道方向速度不变，玩具轨道圆环部分内壁光滑，水平段的动摩擦因数μ＝0.2，取g＝10m/s2，求：
（1）小球落到倾斜导轨上的P点位置和开始沿倾斜导轨运动的速度大小vP？
（2）小球最终停在什么位置？
x0=1m
H=1.45m
v0=2m/s
0
1
n
37°
B

22.解（1）小球从A做平抛运动，经过时间t落到倾斜导轨上的P点，水平位移x，竖直位移y，有
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
由上述式子得
x=0.6m或
P点位置，即距抛出点l=0.75m （6）
（7）
（2）设小球到B点的动能为EkB，从P到B机械能守恒，有
（9）
设小球射入某一圆环低端时动能为Ek0，则要使小球能通过圆环，必须有
（10）
小球每次通过水平段轨道时克服摩擦力做功Wf，有
（11）
设小球通过N号圆环后，剩余能量为EN，共克服水平段轨道摩擦力做功n*1J，当其能量E大于1J且小于5J时，就只能到达N+1号圆环，但不能通过该圆环，它将在N号圆环与N+1号圆环间来回运动
有 （12）
n>2.89 （13）
即当小球通过2号圆环后就不能通过3号圆环，只能在2号、3号圆环间来回运动 （14）
小球刚通过2号圆环时具有的能量E3=7.89-3=4.89J （15）
E3=μmgx，即x=4.89m （16）
所以，最终小球将停在2、3号圆环之间，离2号圆环底端0.11m位置 （17）
说明：共18分，其中（17）式2分，其余每式1分，即完成（14）式得14分，其余类推。

10、如图所示，在同一竖直平面内有两个正对着的相同半圆光滑轨道，相隔一定的距离，虚线沿竖直方向，一小球能在其间运动。今在最高点A与最低点B各放一个压力传感器，测量小球对轨道的压力，并通过计算机显示出来。当轨道距离变化时，测得两点压力差与距离x的关系如图所示，g取10 m/s2，不计空气阻力，求：
（1）小球的质量为多少？
（2）若小球在最低点B的速度为20 m/s，为使小球能沿轨道运动，x的最大值为多少？
DFN/N
x/m
0
5
10
5
10
15

10解：（1）设轨道半径为R，由机械能守恒定律；
　　　　……………（1） （4分）
　　对B点：　　………（2） ( 2分)
　　对A点：　　……（3） ( 2分)
由（1）（2）（3）式得：
两点压力差　………（4） ( 2分)
由图象得：截距 得 （5） ( 3分)
（2）因为图线的斜率 得　……（6） ( 3分)
　　在A点不脱离的条件为：　……（7） ( 2分)
由（1）（5）（6）（7）式得：　………（8） ( 2分)
P

A

O

H
C

D

B

11.（20分）如图所示，ABCDO是处于竖直平面内的光滑轨道，AB是半径为R=15m的
圆周轨道，CDO是直径为15m的半圆轨道。AB轨道和CDO
轨道通过极短的水平轨道（长度忽略不计）平滑连接。半径
OA处于水平位置，直径OC处于竖直位置。一个小球P从A
点的正上方高H处自由落下，从A点进入竖直平面内的轨道
运动（小球经过A点时无机械能损失）。当小球通过CDO轨
道最低点C时对轨道的压力等于其重力的倍，取g为
10m/s2。
⑴ 试求高度H的大小；
⑵ 试讨论此球能否到达CDO轨道的最高点O，并说明理由；
⑶ 求小球沿轨道运动后再次落回轨道上时的速度大小。
11. （20分）
解：（1）在C点对轨道的压力等于重力的倍，由牛顿第三定律得，在C点轨道
P

A

O

H
C

D

B

对小球的支持力大小为mg--------2分。
设小球过C点速度v1
--------2分
P到C过程，由机械能守恒：
---------2分
解得： ---------------2分
（2）设小球能到达O点，由P到O，机械能守恒，到O点的速度v2：
--------2分
设小球能到达轨道的O点时的速度大小为v0，则
mg = v0 --------2分
v2 >v0 所以小球能够到达O点。 --------2分
（3）小球在O点的速度
离开O点小球做平抛运动：
水平方向： --------1分
竖直方向：--------1分
且有：--------2分
解得： 再次落到轨道上的速度--------2分
12．如图3所示，AB是倾角为θ的粗糙直轨道，BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切，圆弧的半径为R．一个质量为m的物体（可以看作质点）从直轨道上的P点由静止释放，结果它能在两轨道间做往返运动．已知P点与圆弧的圆心O等高，物体与轨道AB间的动摩擦因数为μ．求：
（1）物体做往返运动的整个过程中在AB轨道上通过的总路程；
（2）最终当物体通过圆弧轨道最低点E时，对圆弧轨道的压力；
（3）为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D，释放点距B点的距离L′应满足什么条件．

图3
12．解析：（1）因为摩擦始终对物体做负功，所以物体最终在圆心角为2θ的圆弧上往复运动．
对整体过程由动能定理得：mgR·cos θ－μmgcos θ·s＝0，所以总路程为s＝．
（2）对B→E过程mgR（1－cos θ）＝mv①
FN－mg＝②
由①②得对轨道压力：FN＝（3－2cos θ）mg．
（3）设物体刚好到D点，则mg＝③
对全过程由动能定理得：mgL′sin θ－μmgcos θ·L′－mgR（1＋cos θ）＝mv④
由③④得应满足条件：L′＝·R．
答案：（1）　（2）（3－2cos θ）mg　（3）·R

13．（19分）如图（甲）所示，弯曲部分AB和CD是两个半径相等的四分之一圆弧，中间的BC段是竖直的薄壁细圆管（细圆管内径略大于小球的直径），分别与上、下圆弧轨道相切连接，BC段的长度L可作伸缩调节。下圆弧轨道与地面相切，其中D、A分别是上、下圆弧轨道的最高点与最低点，整个轨道固定在竖直平面内。一小球多次以某一速度从A点水平进入轨道而从D点水平飞出。今在A、D两点各放一个压力传感器，测试小球对轨道A、D两点的压力，计算出压力差△F。改变BC间距离L，重复上述实验，最后绘得△F-L的图线如图（乙）所示。（不计一切摩擦阻力，g取10m/s2）
（1）某一次调节后D点离地高度为0.8m。小球从D点飞出，落地点与D点水平距离为2.4m，求小球过D点时速度大小。
△F/N
20
（甲）
A
D
C
B
v
L
（乙）
15
10
0.5
0
1
L/m
第24题图
（2）求小球的质量和弯曲圆弧轨道的半径大小。

13．解：
⑴小球在竖直方向做自由落体运动， （2分）
水平方向做匀速直线运动 （2分）
得： （1分）
⑵设轨道半径为r，A到D过程机械能守恒：
（3分）
在A点： （2分）
在D点： （2分）
由以上三式得：
（2分）
由图象纵截距得：6mg=12 得m=0.2kg （2分）
由L=0.5m时 △F=17N （1分）
代入得：
r=0.4m （2分）

14．如图15所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，弹簧处于自然状态时其右端位于B点．水平桌面右侧有一竖直放置的光滑圆弧形轨道MNP，其半径R＝0.8 m，OM为水平半径，ON为竖直半径，P点到桌面的竖直距离也是R，∠PON＝45°第一次用质量m1＝1.1 kg的物块(可视为质点)将弹簧缓慢压缩到C点，释放后物块停在B点(B点为弹簧原长位置)，第二次用同种材料、质量为m2＝0.1 kg的物块将弹簧也缓慢压缩到C点释放，物块过B点后做匀减速直线运动，其位移与时间的关系为，物块从桌面右边缘D点飞离桌面后，由P点沿圆轨道切线落入圆轨道．(g＝10 m/s2，不计空气阻力)
求：(1)BC间的距离；
(2)m2由B运动到D所用时间；
(3)物块m2运动到M点时，m2对轨道的压力．

14、
(1)由x＝6t－2t2知
vB＝6 m/s　a＝－4 m/s2 (2分)
m2在BD上运动时－m2gμ＝m2a
解得μ＝0.4 (1分)
设弹簧长为AC时，弹簧的弹性势能为Ep
m1释放时Ep＝μm1gsBC (1分)
m2释放时Ep＝μm2gsBC＋m2vB2 (1分)
解得sBC＝0.45 m (1分)
(2)设m2由D点抛出时速度为vD，落到P点的竖直速度为vy
在竖直方向vy2＝2gR，解得vy＝＝4 m/s (1分)
在P点时tan 45°＝ (1分)
解得vD＝4 m/s (1分)
m2由B到D所用的时间t＝＝0.5 s (2分)
(3)m2由P运动到M的过程，由机械能守恒定律得
m2vP2＋m2g(R－Rcos 45°)＝m2vM2＋m2gR (2分)
在M点时，对m2受力分析，由牛顿第二定律得
FN＝m (1分)
解得FN＝(4－) N
由牛顿第三定律知，小球对轨道的压力为(4－) N (1分)
0
P
15、（16）如图所示，质量为m的小球用不可伸长的细线悬于O点，细线长为L，在O点正下方P处有一钉子，将小球拉至与悬点等高的位置无初速释放，小球刚好绕P处的钉子作圆周运动。那么钉子到悬点的距离OP等于多少？

3L/5

16．如图所示，竖直平面内的3/4圆弧形光滑轨道半径为R，A端与圆心O等高，AD为水平面，B点在O的正上方，一个小球在A点正上方由静止释放，自由下落至A点进入圆轨道并恰能到达B点。求：⑴释放点距A点的竖直高度；⑵落点C与A点的水平距离。(3)小球落到C点的速度。
A
C
D
B
O

16、（1）h= （2）S=

A
H
R小
O
B
C
D
E

17（18分）如图所示，四分之三周长圆管的半径R=0.4m，管口B和圆心O在同一水平面上，D是圆管的最高点，其中半圆周BE段存在摩擦，BC和CE段动摩擦因数相同，ED段光滑；直径稍小于圆管内径、质量m=0.5kg的小球从距B正上方高H=2.5m处的A处自由下落，到达圆管最低点C时的速率为6m/s，并继续运动直到圆管的最高点D飞出，恰能再次进入圆管，假定小球再次进入圆管时不计碰撞能量损失，取重力加速度g=10m/s2，求
（1） 小球飞离D点时的速度
（2） 小球从B点到D点过程中克服摩擦所做的功
（3） 小球再次进入圆管后，能否越过C点？请分析说明理由
17、解（1）小球飞离D点做平抛运动，有
（1）
（2）
由（1）（2）得 （3）
（2）设小球从B到D的过程中克服摩擦力做功Wf1，在A到D过程中根据动能定理，有
（4）
代入计算得， Wf1=10J （5）
（3）设小球从C到D的过程中克服摩擦力做功Wf2，根据动能定理，有
（6）
代入计算得， Wf2=4.5J （7）
小球从A到C的过程中，克服摩擦力做功Wf3，根据动能定理，有

Wf3=5.5J
小球再次从D到C的过程中，克服摩擦力做功Wf4，根据动能定理，有
（8）
（9）
小球过BE段时摩擦力大小随速度减小而减小，摩擦力做功也随速度减小而减少。第二次通过BC段与CE段有相等的路程，速度减小 （10）
所以 Wf4<Wf2=4.5J （11）
由此得v’c>0，即小球能过C点。

A
B
C
S
h
L
R
18、某校物理兴趣小组决定举行遥控塞车比赛。比赛路径如图所示，赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，出B点进入半径为R的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C点，并能越过壕沟。已知赛车质量m＝0.1kg，通电后以额定功率ρ＝1.5W工作，进入竖直圆轨道前受到的阻值为0.3N，随后在运动中受到的阻力均可不计。图中L＝10.00m，R=0.32m，h＝1.25m,S＝1.50m。问：要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间？（取g＝10 m/s2）

18．解：从C平抛过壕沟，至少有，

得：
则从圆轨道出来到B位置速度至少为,

得：
而能经过圆轨道最高点，设有v，进入圆轨道速度为

得：
可见进入圆轨道速度至少为
根据动能定理：
得：
图9
H
R
O

19．如图9所示，在圆柱形屋顶中心天花板上的O点，挂一根L＝3m的细绳，绳的下端挂一个质量为m＝0.5kg的小球，已知绳能承受的最大拉力为10N。小球在水平面内做圆周运动，当速度逐渐增大到绳断裂后，小球以v＝9m/s的速度落在墙边。求这个圆柱形屋顶的高度H和半径R。（g取10m