求椭圆离心率范围的常见题型及解析.docx

求椭圆离心率范围的常见题型解析

解题关键:挖掘题中的隐含条件，构造关于离心率e的不等式.
一、利用曲线的范围，建立不等关系
例1已知椭圆右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂
直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围.
例2已知椭圆的左、右焦点分别为,若椭圆上存在一点使,则该椭圆的离心率的取值范围为 .

二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系
例3已知是椭圆的两个焦点，满足的点P总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
Ａ．　　 　Ｂ．　　 　Ｃ．　　 　Ｄ．

三、利用点与椭圆的位置关系，建立不等关系
例4已知的顶点B为椭圆短轴的一个端点，另两个顶点也在椭圆上，若的重心恰好为椭圆的一个焦点F,求椭圆离心率的范围.

四、利用函数的值域，建立不等关系
例5椭圆与直线相交于A、B两点，且 （O为原点），若椭圆长轴长的取值范围为，求椭圆离心率的范围.

五、利用均值不等式，建立不等关系.
例6　已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.求椭圆离心率的范围；
解　设椭圆方程为＋＝1 (a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，
4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn
＝4a2－3mn≥4a2－3·2＝4a2－3a2＝a2
(当且仅当m＝n时取等号)．∴≥，即e≥.
又0<e<1，∴e的取值范围是.
例7　已知、是椭圆的两个焦点，椭圆上一点使，求椭圆离心率的取值范围.
解析1：令，则 由
即
又
六、利用焦点三角形面积最大位置，建立不等关系
解析2：不妨设短轴一端点为
则≤
≤ ≤ ≤≥
故　≤＜
七、利用实数性质，建立不等关系
解析3：设，由得，即，代入得 ，
即， 又
八、利用曲线之间位置关系，建立不等关系
解析4： 又P在椭圆上， 与 的公共点.由图可知

说明：椭圆上一点距中心距离最小值为短半轴长.
九、利用最大位置，建立不等关系
解析4：椭圆当P与短轴端点重合时∠最大
无妨设满足条件的点P不存在 ，则∠<
又
所以若存在一点P 则 .
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