总复习习题：第八章-平面解析几何-课时提升作业-五十六-8.7-Word版含答案.doc

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课时提升作业 五十六
双　曲　线
(25分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2016·济宁模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则双曲线的渐近线方程为　(　　)
A.y=±2x　　　　　　 B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
【解析】选C.因为e==,
故可设a=2k,c=k,则得b=k,
所以渐近线方程为y=±x=±x.
2.已知0<θ<,则双曲线C1:-=1与C2:-=1的　(　　)
A.实轴长相等 B.虚轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等
【解析】选D.由双曲线C1知:a2=sin2θ,b2=cos2θ⇒c2=1,由双曲线C2知:a2=
cos2θ,b2=sin2θ⇒c2=1.
3.(2016·枣庄模拟)已知F1,F2是双曲线的两个焦点,PQ是经过F1且垂直于实轴的弦,若△PQF2是等腰直角三角形,则双曲线的离心率为　(　　)
A. B.+1
C.-1 D.-
【解析】选B.设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),把x=-c代入双曲线的方程可得y=±,由题意可得2c=,所以2ac=c2-a2,求得=1+,=1-(舍去).
【加固训练】(2016·忻州模拟)已知双曲线C:-=1的离心率为,则C的渐近线方程为　(　　)
A.y=±2x　　　　 B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
【解析】选B.由双曲线的方程-=1知,双曲线的焦点在x轴上,所以=()2=3,所以n=,
所以a2=,b2=4-=,从而双曲线的渐近线方程是y=±x.
4.(2014·全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为　(　　)
A.　　　 B.3　　　 C.m　 　　D.3m
【解析】选A.双曲线C:-=1,
则c2=3m+3,c=,
设焦点F(,0),
一条渐近线方程为y=x,
即x-y=0,
所以点F到渐近线的距离为d==.
5.设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为　(　　)
A. B. C. D.
【解析】选B.易知|PF2|=|F1F2|=2c,
所以由双曲线的定义知|PF1|=2a+2c,
因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,
所以(a+c)2+(2a)2=(2c)2,
即3c2-2ac-5a2=0,
两边同除以a2,得3e2-2e-5=0,
解得e=或e=-1(舍去).
【加固训练】1.(2016·莱芜模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦点为F1,F2,且C上点P满足·=0,||=3,||=4,则双曲线C的离心率为　(　　)
A. B. C. D.5
【解析】选D.依题意得,2a=|PF2|-|PF1|=1,|F1F2|==5,因此该双曲线的离心率e==5.
2.(2016·滨州模拟)过双曲线C:-=1的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、4为半径的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为　(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】选A.由得所以A(a,-b).
由题意知右焦点与原点的距离为c=4,
所以=4,即(a-4)2+b2=16.
而a2+b2=16,所以a=2,b=2.
所以双曲线C的方程为-=1.
3.直线y=x与双曲线C:-=1(a>0,b>0)左右两支分别交于M,N两点,F是双曲线C的右焦点,O是坐标原点,若|FO|=|MO|,则双曲线的离心率等于　(　　)
A.+ B.+1 C.+1 D.2
【解析】选B.由题意知|MO|=|NO|=|FO|,所以△MFN为直角三角形,且∠MFN=
90°,取左焦点为F0,连接NF0,MF0,由双曲线的对称性知,四边形NFMF0为平行四边形.
又因为∠MFN=90°,所以四边形NFMF0为矩形,
所以|MN|=|F0F|=2c,又因为直线MN的倾斜角为60°,即∠NOF=60°,
所以∠NMF=30°,所以|NF|=|MF0|=c,|MF|=c,
由双曲线定义知|MF|-|MF0|=c-c=2a,
所以e==+1.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1的离心率为,则m的值为　　　　.
【解析】由-=1,得a=,b=,
c=,所以e===,
即m2-4m+4=0,解得m=2.
答案:2
7.已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为　　　　　.
【解题提示】可利用双曲线的定义,再借助于三角形的图形,即可得出结论.
【解析】由-=1,得a=3,b=4,c=5,
所以|PQ|=4b=16>2a,又因为A(5,0)在线段PQ上,
所以P,Q在双曲线的一支上,且PQ所在直线过双曲线的右焦点,由双曲线定义知:

所以|PF|+|QF|=28.
即△PQF的周长是|PF|+|QF|+|PQ|=28+16=44.
答案:44
8.设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是　　　　.
【解析】联立双曲线-=1渐近线与直线方程x-3y+m=0可解得:A,B,则kAB=,设AB的中点为E,由|PA|=|PB|,可得AB的中点E与点P两点连线的斜率为-3,化简得4b2=a2,所以e=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2016·烟台模拟)已知双曲线-=1的弦AB以P(-8,-10)为中点,
(1)求直线AB的方程.
(2)若O为坐标原点,求三角形OAB的面积.
【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-16,y1+y2=-20,
A,B坐标代入双曲线方程,两式相减得
5(x1-x2)(x1+x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0,
所以kAB=1,
而直线AB过点P,所以直线AB的方程为y=x-2,经检验此方程满足条件.
(2)将y=x-2代入-=1,
可得x2+16x-36=0,
所以x1+x2=-16,x1x2=-36,
所以|AB|=·=20,
O点到AB的距离为=,
所以所求面积为×20×=20.
10.(2016·泰安模拟)已知焦点在x轴上的双曲线的离心率为,虚轴长为2.
(1)求双曲线C的方程.
(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,若OA⊥OB,求m的值.(O为坐标原点)
【解析】(1)设双曲线的标准方程为-=1(a,b>0),
由题意可得2b=2,e==,c2=a2+b2,
解得a=1,b=,
故双曲线C的标准方程为x2-=1.
(2)联立直线方程与双曲线方程得:

消去y,可得x2-2mx-2-m2=0,
判别式Δ=4m2+4(2+m2)>0,恒成立,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由根与系数的关系知:x1+x2=2m,x1x2=-2-m2,
由OA⊥OB,可得·=x1x2+y1y2=0,
由y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2,
可得2x1x2+m(x1+x2)+m2=0,
即-2m2-4+2m2+m2=0,
解得m=±2,成立.
故m的值为±2.
(20分钟　40分)
1.(5分)已知点F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF2是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是　(　　)
A.(1,)　　　　　　　　 B.(,2)
C.(1+,+∞) D.(1,1+)
【解析】选D.依题意,0<∠AF2F1<,故0<tan∠AF2F1<1,则=<1,即e2-2e-1<0,(e-1)2<2,所以1<e<1+.
2.(5分)设a,b是关于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线-=1的公共点的个数为　(　　)
A.0　　　　 B.1　　　　 C.2　　　　 D.3
【解析】选A.关于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的两个不等实根为0,
-tanθ(tanθ≠0),所以A(0,0),B(-tanθ,tan2θ),则过A,B两点的直线方程为y=-xtanθ,双曲线-=1的渐近线方程为y=±xtanθ,所以直线y=
-xtanθ与双曲线没有公共点.
【加固训练】P为双曲线x2-=1右支上一点,M,N分别是圆(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为　　　　.
【解析】已知两圆圆心坐标分别为(-4,0)和(4,0)(记为F1和F2)恰为双曲线x2-=1的两焦点.当|PM|最大,|PN|最小时,|PM|-|PN|最大,|PM|最大值为P到圆心F1的距离|PF1|与圆F1半径之和,同样|PN|min=|PF2|-1,从而|PM|max-|PN|min
=|PF1|+2-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=2a+3=5.
答案:5
3.(5分)已知c是双曲线-=1(a>0,b>0)的半焦距,则的取值范围是　　　　.
【解析】==-e
=-,
由于e>1,且函数f(e)=-在(1,+∞)上是增函数,那么的取值范围是(-1,0).
答案:(-1,0)
4.(12分)(2016·聊城模拟)如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形,其中上半个圆所在圆的方程是x2+y2-4y-4=0,双曲线的左、右顶点A,B是该圆与x轴的交点,双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点.
(1)试求双曲线的标准方程.
(2)记双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,试在“8”字形曲线上求点P,使得∠F1PF2是直角.

【解析】(1)上半个圆所在圆的方程是x2+y2-4y-4=0,则圆心为(0,2),半径为2.
则下半个圆所在圆的圆心为(0,-2),半径为2.
双曲线的左、右顶点A,B是该圆与x轴的交点,即为(-2,0),(2,0),即a=2,
由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点,则令y=2,解得x=±2.
即交点为(±2,2).
设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),
则-=1,且a=2,解得b=2.
则双曲线的标准方程为-=1.
(2)由(1)知双曲线的左、右焦点分别为
F1(-2,0),F2(2,0),
若∠F1PF2是直角,则设P(x,y),则有x2+y2=8,
由解得x2=6,y2=2.
由解得y=±1,不满足题意,舍去.
故在“8”字形曲线上所求点P的坐标为(,),(-,),(-,-), (,-).
【加固训练】(2016·临沂模拟)在平面直角坐标系xOy中,己知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程.
(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.
【解析】(1)设圆心P(x,y),由题意得x2+3=y2+2,整理得y2-x2=1,即为圆心P的轨迹方程,此轨迹是等轴双曲线.
(2)由P点到直线y=x的距离为,
得=,即|x-y|=1,
即x=y+1或y=x+1,
分别代入y2-x2=1,解得P(0,-1)或P(0,1).
若P(0,-1),此时点P在y轴上,故半径为,所以圆P的方程为(y+1)2+x2=3;
若P(0,1),此时点P在y轴上,故半径为,所以圆P的方程为(y-1)2+x2=3.
综上,圆P的方程为(y+1)2+x2=3或(y-1)2+x2=3.
5.(13分)(2016·淄博模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y=2与C的两个交点间的距离为.
(1)求a,b.
(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A,B两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.
【解析】(1)由题设知=3,即=9,故b2=8a2.所以C的方程为8x2-y2=8a2.
将y=2代入上式,求得x=±.
由题设知,2=,解得,a2=1.
所以a=1,b=2.
(2)由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),
C的方程为8x2-y2=8.　　①
由题意可设l的方程为y=k(x-3),|k|<2,
代入①并化简得,(k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≤-1,x2≥1,
x1+x2=,x1·x2=.
于是|AF1|=
==-(3x1+1),
|BF1|===3x2+1.
由|AF1|=|BF1|得-(3x1+1)=3x2+1,
即x1+x2=-.故=-,解得k2=,
从而x1·x2=-.由于|AF2|=
==1-3x1,
|BF2|=
==3x2-1,
故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4,
|AF2|·|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16.
因而|AF2|·|BF2|=|AB|2,
所以|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.
【加固训练】直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A,B.
(1)求实数k的取值范围.
(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
【解析】(1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后,整理得(k2-2)x2+2kx+2=0.　　　①
依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同两点,
故
解得k的取值范围是-2<k<-.
(2)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则由①式得　　②
假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0).则由FA⊥FB得:(x1-c)(x2-c)+y1y2=0.
即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.
整理得(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0.　　③
把②式及c=代入③式化简得5k2+2k-6=0.
解得k=-或k=∉(-2,-)(舍去),可知存在k=-使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.
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