第九章解析几何.doc

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第九章 解析几何
第一节 直线和圆
第一部分 三年高考荟萃
2010年高考题
一、选择题
1.（2010江西理）8.直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察数形结合的运用.
解法1：圆心的坐标为（3.，2），且圆与y轴相切.当，由点到直线距离公式，解得；
解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可， 不取，排除B，考虑区间不对称，排除C，利用斜率估值，选A
2.（2010安徽文）（4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是
（A）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D）x+2y-1=0
【答案】A
【解析】设直线方程为，又经过，故，所求方程为.
【方法技巧】因为所求直线与与直线x-2y-2=0平行，所以设平行直线系方程为，代入此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程.也可以用验证法，判断四个选项中方程哪一个过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行.
3.（2010重庆文）（8）若直线与曲线（）有两个不同的公共点，则实数的取值范围为
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D
解析：化为普通方程，表示圆，
因为直线与圆有两个不同的交点，所以解得
法2：利用数形结合进行分析得
同理分析，可知
4.（2010重庆理）(8) 直线y=与圆心为D的圆交与A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为
A. B. C. D.
【答案】C
解析：数形结合

由圆的性质可知

故
5.（2010广东文）

6.（2010全国卷1理）（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为
(A) (B) (C) (D)

7.（2010安徽理）9、动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是
A、 B、 C、 D、和
【答案】 D
【解析】画出图形，设动点A与轴正方向夹角为，则时，每秒钟旋转，在上，在上，动点的纵坐标关于都是单调递增的。
【方法技巧】由动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，可知与三角函数的定义类似，由12秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度，画出单位圆，很容易看出，当t在变化时，点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间.
二、填空题
1.（2010上海文）7.圆的圆心到直线的距离 。
【答案】3
解析：考查点到直线距离公式
圆心（1,2）到直线距离为
2.（2010湖南文）14.若不同两点P,Q的坐标分别为（a，b），（3-b，3-a），则线段PQ的垂直平分线l的斜率为 ,圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线对称的圆的方程为
【答案】-1
3.（2010全国卷2理）（16）已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，．若，则两圆圆心的距离 ．
【答案】3
【命题意图】本试题主要考查球的截面圆的性质，解三角形问题.
【解析】设E为AB的中点，则O，E，M，N四点共面，如图，∵，所以，∴，由球的截面性质，有，∵，所以与全等，所以MN被OE垂直平分，在直角三角形中，由面积相等，可得，
O
M
N
E
A
B
4.（2010全国卷2文）（16）已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，，若，则两圆圆心的距离 。
【解析】3：本题考查球、直线与圆的基础知识
∵ ON=3，球半径为4，∴小圆N的半径为，∵小圆N中弦长AB=4，作NE垂直于AB，∴ NE=，同理可得，在直角三角形ONE中，∵ NE=，ON=3，∴ ，∴ ，∴ MN=3
5.（2010山东文）（16） 已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为 .
答案：

6.（2010四川理）（14）直线与圆相交于A、B两点，则 .
解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为2
圆心到直线的距离为d＝
故
得|AB|＝2
答案：2
7.（2010天津文）（14）已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切。则圆C的方程为 。
【答案】
本题主要考查直线的参数方程，圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识，属于容易题。
令y=0得x=-1，所以直线x-y+1=0,与x轴的交点为（-1.0）
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以圆C的方程为
【温馨提示】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解。
8.（2010广东理）12.已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是
12．．设圆心为，则，解得．
9.（2010四川文）(14)直线与圆相交于A、B两点，则 .
【答案】2
解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为2圆心到直线的距离为d＝故
得|AB|＝2
10.（2010山东理）

【解析】由题意，设所求的直线方程为，设圆心坐标为，则由题意知：[来源:K]
，解得或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以，故圆心坐标为（3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有，即，故所求的直线方程为。
【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力。
11.（2010湖南理）

12.（2010江苏卷）9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是___________
[解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2，
圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，，的取值范围是（-13，13）。

2009年高考题
一、选择题
1.（辽宁理，4）已知圆C与直线x－y=0 及x－y－4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为
A. B.
C. D.
【解析】圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可.
【答案】B
2.（重庆理，1）直线与圆的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离
【解析】圆心为到直线，即的距离，而，选B。
【答案】B
3.（重庆文，1）圆心在轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
解法1（直接法）：设圆心坐标为，则由题意知，解得，故圆的方程为。
解法2（数形结合法）：由作图根据点到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为
解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在轴上，排除C。
【答案】A
4.（上海文，17）点P（4，－2）与圆上任一点连续的中点轨迹方程是　　　（ ）
A.　　　　 　B.
C.　　　　　　D.
【解析】设圆上任一点为Q（s，t），PQ的中点为A（x，y），则，解得：，代入圆方程，得（2x－4）2＋（2y＋2）2＝4，整理，得：
【答案】A
5. （上海文，15）已知直线平行，则k得值是（ ）
A. 1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2
【解析】当k＝3时，两直线平行，当k≠3时，由两直线平行，斜率相等，得：＝k－3，解得：k＝5，故选C。
【答案】C
6. (上海文，18)过圆的圆心，作直线分
别交x、y正半轴于点A、B，被圆分成四部分（如图），
若这四部分图形面积满足则直线AB有（ ）
（A） 0条 （B） 1条 （C） 2条 （D） 3条
【解析】由已知，得：，第II，IV部分的面
积是定值，所以，为定值，即为定值，当直线
AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线
AB只有一条，故选B。
【答案】B
7.（陕西理，4）过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为科网
A. B.2 C. D.2

【答案】D
二、填空题
8. （广东文，13）以点（2，）为圆心且与直线相切的圆的方程是 .
【解析】将直线化为,圆的半径,
所以圆的方程为
【答案】
9.（天津理，13）设直线的参数方程为（t为参数），直线的方程为y=3x+4则与的距离为_______
【解析】由题直线的普通方程为，故它与与的距离为。
【答案】
10. （天津文，14）若圆与圆的公共弦长为，则a=________.
【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 ，
利用圆心（0，0）到直线的距离d为，解得a=1.
【答案】1
11.（全国Ⅰ文16）若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是
① ② ③ ④ ⑤
其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）
【解析】解：两平行线间的距离为，由图知直线与的夹角为，的倾斜角为，所以直线的倾斜角等于或。
【答案】①⑤
12.（全国Ⅱ理16）已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为 。
【解析】设圆心到的距离分别为,则.
四边形的面积
【答案】5
13.（全国Ⅱ文15）已知圆O：和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于
【解析】由题意可直接求出切线方程为y-2=(x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，所以所求面积为。
【答案】
14.（湖北文14）过原点O作圆x2+y2－6x－8y＋20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，
则线段PQ的长为 。
【解析】可得圆方程是又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得.
【答案】4
15.（江西理16）．设直线系,对于下列四个命题：
．中所有直线均经过一个定点
．存在定点不在中的任一条直线上
．对于任意整数，存在正边形,其所有边均在中的直线上
．中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
【解析】因为所以点到中每条直线的距离
即为圆:的全体切线组成的集合,从而中存在两条平行直线,
所以A错误；
又因为点不存在任何直线上,所以B正确；
对任意,存在正边形使其内切圆为圆,故正确；
中边能组成两个大小不同的正三角形和,故D错误,
故命题中正确的序号是 B,C.
【答案】　
三、解答题
16.（2009江苏卷18）（本小题满分16分）
在平面直角坐标系中，已知圆和圆.
（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。
解 (1)设直线的方程为：，即
由垂径定理，得：圆心到直线的距离，
结合点到直线距离公式，得：
化简得：
求直线的方程为：或，即或
(2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为： [来源:高&考%资(源#网KS5U.COM]
，即：
因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。
由垂径定理，得：：圆心到直线与直线的距离相等。
故有：，
化简得：
关于的方程有无穷多解，有：
解之得：点P坐标为或。

2008年高考题
一、选择题
1.（2008年全国Ⅱ理11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与x-7y-4=0,
原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为 （ ）.
A．3 B．2 C． D．
答案 A
解析 ，，设底边为
由题意，到所成的角等于到所成的角于是有
再将A、B、C、D代入验证得正确答案 是A。[来源:K]
2.（2008年全国Ⅱ文3）原点到直线的距离为 （ ）
A．1 B． C．2 D．
答案 D
解析 。
3.（2008四川４）将直线绕原点逆时针旋转，再向右平移１个单位长度，所得到的直线为 ( )
A.　 　 B.　　
C.　 D.
答案 A
4.（2008上海15）如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点．若点、点满足且，则称P优于．如果中的点满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧 （　　　）
Ａ．　　　　　　　B． C． D．
答案 D[来源:K]
二、填空题
12. （2008天津文15，）已知圆C的圆心与点关于直线y=x+1对称，直线3x+4y-11=0
与圆C相交于两点，且，则圆C的方程为_______. [来源:高&考%资(源#网KS5U.COM]
答案
13.（2008四川文14）已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为_______.
答案
14.（2008广东理11）经过圆的圆心，且与直线垂直的直线
程是 ．
答案

第二部分 两年联考汇编
2010年联考题
题组二（5月份更新）
1.（马鞍山学业水平测试）如果方程表示焦点在轴上的椭圆,那么实数的取值范围是
A. (0,+∞) B. (0,2) C. (1,+∞) 　D. (0,1)
答案 D

2.（池州市七校元旦调研）已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为( )
(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2
答案 B
解:设切点，则,又
.故答案选B

3.曲线在点处的切线方程为 （ ）
A. B. C. D.
答案 B
解：,
故切线方程为,即 故选B.
4.（昆明一中三次月考理）是圆上任意一点，若不等式恒成立，则c的取值范围是
A． B．
C． D．
答案：B
5.（岳野两校联考）若直线和圆O：没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ）
A．至多一个 B．2个 C．1个 D．0个
答案 B
6．（昆明一中四次月考理）已知直线与圆交于A、B两点，O是坐标原点，向量、满足，则实数a的值是（ ）
（A）2 （B） （C）或 （D）2或
答案：D
7．（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）圆的方程为，圆的方程为，过圆上任意一点作圆的两条切线、，切点分别为、，则的最小值是 （ ）
A．12 B．10 C．6 D．5
答案C

8.（马鞍山学业水平测试）如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数的取值范围是　　　　　　　　　　.　
答案 .
9．（安庆市四校元旦联考）已知点M（－3，0），N（3，0），B（1，0），圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为 .
答案
10. （安庆市四校元旦联考）设直线的方程为，将直线绕原点
按逆时针方向旋转得到直线，则的方程是 。
答案
11．（安庆市四校元旦联考）（本题满分16分）如图，在矩形中，，以为圆心1为半径的圆与交于（圆弧为圆在矩形内的部分）
（Ⅰ）在圆弧上确定点的位置，使过的切线平分矩形ABCD的面积；
（Ⅱ）若动圆与满足题（Ⅰ）的切线及边都相切，试确定的位置，使圆为矩形内部面积最大的圆．

解（Ⅰ）以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系．
设，，，圆弧的方程
切线l的方程：（可以推导：设直线的斜率为，由直线与圆弧相切知：，所以，从而有直线的方程为，化简即得）．
设与交于可求F（），G（），l平分矩形ABCD面积，
……①
又……② 解①、②得：．
（Ⅱ）由题（Ⅰ）可知：切线l的方程：，
当满足题意的圆面积最大时必与边相切，设圆与直线、分别切于，则（为圆的半径）．
，由．
点坐标为．
注意：直线与圆应注意常见问题的处理方法，例如圆的切线、弦长等，同时应注重结合图形加以分析，寻找解题思路。

题组一（1月份更新）
一、选择题
1、（2009金华十校3月模拟）经过圆的圆心C，且与直线垂直的直线方程是
A B C D
答案 C
2、（2009临沂一模）已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点，PA、PB是圆C：的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为
A、 B、 C、 D、2
答案 D
3、（2009嘉兴一中一模）“”是“直线与圆相切”的（ ）
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
答案 A
4、（2009日照一模）已知圆关于直线对称，则的取值范围是
A． B． C． D．
答案 A
5、（2009青岛一模）已知直线及与函数图像的交点分别为，与函数图像的交点分别为，则直线与
A.相交，且交点在第I象限 B.相交，且交点在第II象限
C.相交，且交点在第IV象限 D.相交，且交点在坐标原点
答案 D
6、（20009泰安一模）若PQ是圆的弦，PQ的中点是（1,2）则直线PQ的方程是
（A） （B）
（C） （D）
答案 B
7、（2009金华一中2月月考）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）.
A． B．
C． D
答案 A
8、（2009潍坊一模）若PQ是圆的弦，PQ的中点是（1,2）则直线PQ的方程是
（A） （B）
（C） （D）
答案 B
9、（2009枣庄一模）将圆轴正方向平移1个单位后得到圆C，若过点（3，0）的直线和圆C相切，则直线的斜率为 （ ）[来源:高&考%资(源#网]
A． B． C． D．
答案 D
10、（2009上海十校联考）圆与圆的位置关系是 ( )
(A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切
答案 C
11、（2009滨州一模）已知直线交于A、B两点，且，其中O为原点，则实数的值为
A．2 B．－2 C．2或－2 D．或
答案 C[来源:高&考%资(源#网KS5U.COM

二、填空题
1、（2009上海十四校联考）
若直线的值为
答案 －2或8
2、（2009上海卢湾区4月模考）若点是圆内异于圆心的点，则直线
与该圆的位置关系是
答案 相离[来源:高&考%资(源#网]
3、（2009杭州高中第六次月考）已知直线交于A、B两点，O是坐标原点，向量、满足，则实数a的值是_____________．
答案 ±2
4、（2009上海八校联考）已知实数，直线过点，且垂直于向量，若直线与圆相交，则实数的取值范围是________________。
答案
5、（2009上海青浦区）直线的倾斜角为 ．
答案
6、（2009上海奉贤区）设实数满足，若对满足条件，不等式恒成立，则的取值范围是
答案
7、（2009滨州一模）如果直线y＝kx＋1与圆交于M、N
两点，且M、N关于直线x＋y＝0对称，若为平面区域
内任意一点，则的取值范围是 .
答案
三、解答题
1、（2009金华一中2月月考）设点，动圆经过点且和直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线.
（1） 求曲线的方程
（2） 过点作互相垂直的直线、，分别交曲线于、和、四个点，求四边形面积的最小值。
解：（1）W：x2=6y
（2）设AC：
设A（x1，y1），C（x2，y2） |AC|=6（k2+1）
同理|BD|=6
SABCD=
当k=±1时取等号

2009年联考题
一、选择题
1.(西南师大附中高2009级第三次月考)“a= 3”是“直线与直线平行”的（ ）条件
A．充要 B．充分而不必要
C．必要而不充分 D．既不充分也不必要
答案 C
2.(重庆市大足中学2009年高考数学模拟试题)直线x+y+1=0与圆的位置关系是 （ ）
A.相交 B.相离 C.相切 D.不能确定
答案 C
3.(西南师大附中高2009级第三次月考)两圆的位置关系
是 （ ）
A．内切 B．外切 C．相离 D．内含
答案 B
4. (西南师大附中高2009级第三次月考)已知点P（x，y）是直线kx+y+4 = 0（k > 0）上一动点，PA、PB是圆C：的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为 （ ）
A．3 B． C． D．2
答案 D
5. (福建省南安一中、安溪一中、养正中学2009届高三期中联考)已知实系数方程x2+ax+2b=0,
的一个根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则的取值范围是 （ 　　）
　 A．（，1）　 　　B．（，１）　　 Ｃ．（－，）　 Ｄ．（０，）
答案 A
6.(广东省华南师范附属中学2009届高三上学期第三次综合测试)点到直线的距离不大于3，则的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．或
答案 C
7. (四川省成都市2009届高三入学摸底测试)已知圆的方程为，设圆中过点的最长弦与最短弦分别为、，则直线与的斜率之和为( )
A. B. C. D.
答案 B
8.(湖南省长郡中学2009届高三第二次月考)直线和圆
的关系是 （ ）
A.相离 B.相切或相交 C.相交 D.相切
答案 C
9. (福建省宁德市2009届高三上学期第四次月考)过点的直线将圆(x-2)2+y2=9分成
两段弧，当其中的劣弧最短时，直线的方程是 （ ）
A． B．
C． D．
答案 D
二、填空题
10.(广东省华南师范附属中学2009届高三上学期第三次综合测试)从圆(x-1)2+(y-1)2=1外一
点向这个圆引切线，则切线长为 ．
答案 2
11.(江苏省赣榆高级中学2009届高三上期段考)直线与直线
关于点对称，则b＝___________。
答案 2
12.(湖南省长郡中学2009届高三第二次月考)过点C(６,-８)作圆的切线，切点为A、B，那么点C到直线AB的距离为___________________。
答案
13. (四川省成都市2008—2009学年度上学期高三年级期末综合测试)光线由点P(2,3)射到直线上,反射后过点Q(1,1),则反射光线方程为 .[来源:高&考%资(源#网KS5U.COM]
答案 4x－5y＋1＝0高&考%资(源#网
14.(安徽省巢湖市2009届高三第一次教学质量检测)过的直线l与圆C：(x-1)22+y2=4
交于A、B两点，当∠ACB最小时，直线的方程为 .
答案

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