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气动张力控制系统的建模与仿真
摘要：本文简单介绍了张力控制的相关知识及气动张力控制系统的组成及工作原理，并对张力控制系统的收卷控制部分进行了数学建模与仿真。建立了比例压力阀控缸开环系统的简化模型，采用PID控制方法，在Matlab仿真平台进行系统模型仿真，得到了系统仿真曲线。
关键词：张力控制 气动比例控制系统 建模与仿真

近年来，气动技术以其自身独特的传动方式和优点，如清洁、结构简单、气体来源充足和成本相对较低，已在工业自动化领域广泛应用。将气动技术应用于恒张力控制系统已成为一个重要研究领域，PID控制，现代控制理论，智能控制等都被应用到气动系统的控制中。但是气动控制系统，由于气体的可压缩性，阀口非线性及气缸摩擦力等因素的影响，导致了气动伺服系统的强非线性、固有频率低、刚度小、阻尼小等特点，要得到满意的控制伺服系统比较困难。要对气动伺服控制系统进行分析和研究，一般需要首先建立该控制系统的数学模型。
本文通过介绍张力控制的相关知识及气动比例控制系统原理与组成，针对张力控制系统的收卷控制部分建立简单的比例压力阀控缸开环控制系统的数学模型，并在Matlab环境下进行了仿真。

一、张力控制的基础知识
张力控制，简单地说就是要控制物体在设备上输送时物体上相互拉长或绷紧的力。张力控制系统往往是张力传感器和张力控制器的一种系统集成，是一种实现恒张力或者锥度张力控制的自动控制系统，主要应用于造纸、纺织、薄膜、电线等轻工业中，其作用主要是实现辊间的同步，收卷和放卷的均匀控制。在带材或线材的收卷和放卷过程中，为保证生生产的质量和效率，保持恒定张力是很重要的。
这种控制对机器的任何运行速度都必须保持有效，包括机器的加速、减速和匀速。即使在紧急停车情况下，也应有能力保证被分切物不破损。张力控制的稳定与否直接关系到分切产品的质量。若张力不足,原料在运行中产生漂移,会出现分切复卷后成品纸起皱现象;若张力过大,原料又易被拉断,使分切复卷后成品纸断头增多。　
一套典型的张力控制系统主要由张力控制器，张力读出器，张力检测器，制动器和离合器构成。根据环路可分为开环，闭环或自由环张力控制系统；根据对不同卷材的监测方式又可分为超声波式，浮辊式，跟踪臂式等。

1. 典型收卷张力控制示意图

图1 无张力反馈

图2 带浮动辊张力反馈

2.张力控制方案介绍
对张力的控制有两个途径，一是可控制电机的输出转矩，二是控制电机转速，对应这两个途径，有两种张力控制模式。
1、开环转矩控制模式
开环是指没有张力反馈信号，变频器仅靠控制输出频率或转矩即可达到控制目的，与开环矢量或闭环矢量无关。转矩控制模式是指变频器控制的是电机的转矩，而不是频率，输出频率是跟随材料的速度自动变化。
根据公式F=T/R（其中F为材料张力，T为收卷轴的扭矩，R为收卷的半径），可看出如果能根据卷径的变化调整收卷轴的转矩，就可以控制材料上的张力，这就是开环转矩模式控制张力的根据，其可行性还有一个原因是材料上的张力只来源于收卷轴的转矩，收卷轴的转矩主要作用于材料上。
2、闭环速度控制模式
闭环是指需要张力（位置）检测反馈信号构成闭环调节，速度控制模式是指变频器根据反馈信号调节输出频率，而达到控制目的，速度模式变频器可工作在无速度传感器矢量控制、有速度传感器矢量控制和 V/F 控制三种方式中的任何一种。该控制模式的原理是通过材料线速度与实际卷径计算一个匹配频率设定值f1，再通过张力（位置）反馈信号进行 PID 运算产生一个频率调整值 f2，最终频率输出为f=f1+f2。f1可以基本使收（放）卷辊的线速度与材料线速度基本匹配，然后f2 部分只需稍微调整即可满足控制需求，很好地解决了闭环控制中响应快速性和控制稳定性地矛盾。

二、一般气动比例控制系统的组成及原理
一般气动比例控制系统主要由气缸，比例方向控制阀，位移传感器，压力传感器，数据采集卡和工业控制计算机组成。
系统的气缸为日本SMC公司生产的CDQ2A32-75 型单活塞双作用薄型气缸，气缸标准行程 75mm，缸径 32mm，活塞杆直径 14mm；方向控制阀为FESTO 公司生产的MPYE-5-1/8HF型比例方向控制阀；压力传感器是 Honeywell 公司的 4000PC 型传感器； A/D 和 D/A 的实现则由研华公司生产的PCL-812PG数据采集卡来完成；气源压力为0.6MPa。该系统的硬件组成，如图3所示。
此系统的工作原理为：系统工作时，工控机发出需要跟踪的控制信号，经D/A转换并放大后驱动伺服阀，位移传感器检测出活塞的位信号并通过A/D转换反馈到计算机中与指定输入进行比较，得出偏差控制量，从而实现连续轨迹控制 。

图3系统组成图

伺服阀、比例阀、开关阀组成的气动伺服系统拥有一个共性，那就是用 阀来控制进入或排出气两腔的气体质量，调节两腔压力，从而控制气缸的位移、速度或输出力。因此，阀控缸可抽象为如图4 所示的原理。气缸两腔的压力容积、温度和气体密度分别为P1、V1、T1、ρ1和P2、V2、T2、ρ2。

图4 阀控缸原理图

将气动比例控制系统应用于张力控制的收卷部分，气缸活塞杆与制动器如刹车盘连接，通过比例阀的调节作用于制动辊，实现对系统的恒张力控制。
二．一般气动比例控制系统的数学建模
气动比例控制系统可分为电气压力比例阀和制动气缸两部分。调节电气比例阀，改变气路压力，控制力随之改变。比例阀出口压力和输入电压信号成正比。在建模和计算过程中做如下假设：
1) 工作介质为理想气体，即其性质和流动特性可统一用理想气体定律确切地描述出来；
2) 容腔内任意时刻各点状态参数相同，温度场和压力场均匀；
3) 忽略泄露。
1.比例压力阀建模
（1）比例压力阀受力分析
比例阀是利用电信号控制比例电磁铁的电磁力来控制阀芯位置变化，从而达到控制流量和压力的目的。由牛顿第二力学定律可得比例阀阀芯的动态平衡方程为：
(1)
式中 m —— 阀芯质量，kg;
x v ——阀芯位移量，m;
pd ——阀的出气口压力，Pa;
SA ——隔板的截面积，m2；
k x ——内部弹簧的弹性系数，N/m；
b v ——黏性阻尼系数，Ns/m;
u ——阀的控制电压信号，V；
k u——比例系数，Pa/V
与弹簧的弹性系数相比，阀芯的质量m和黏性阻尼系数b v很小，可以忽略不计。因此比例阀阀芯方程可简化为：
xv=( k u uU- pd) SA/(2k1+kx)= kx1u-kx2 pd （2）
（2）比例压力阀流量分析
由假设条件，比例阀流入或流出的流量有阀门的有效开口面积及上、下游压力比决定。有理想气体的质量流量为：
（3）
其中

式中
C d——流量系数
p u 、pd——分别为阀的进、出气口压力，Pa
A——有效流通面积，m2
b——临界压力比，对一元等熵流动，b=0.528,气动回路的b<0.2
k——等熵指数，一般k=1.4
阀的调节过程是通过内部气体压力变化，使阀芯达到力平衡。当阀的出口压力比设定压力高或低时，其调节过程不同，留下面分别进行讨论：
a.当比例阀的出口压力低于设定压力时，阀对气缸进行充气，比例阀的进气口压力p u可视为常数，阀的流量只与阀芯的位移量和出气口压力pd有关，对流量方程Taylor级数展开并忽略高次项：
（4）
其中：
。
b.当比例阀的出口压力高于设定压力时，气缸通过该阀进行排气，此时气体由该阀的出气口直接排往大气，如图1所示。阀出气口压力随气体的排出是下降的，而排气口的压力近似为大气压。因此，阀的流量与阀芯位移和排气口的压力有关，对流量方程Taylor级数展开并忽略高次项：
（5）
其中：
。
2.气缸建模
气缸是气动恒张力控制系统的重要部件，有单活塞式和双活塞式两种。气缸通过比例阀加压，对制动辊产生制动力。以单出杆双作用气缸为例，建立气缸的数学模型。
（1）气缸的流量方程
由理想气体的全质量状态方程：

得出：
式中——气体的质量，kg;
——压力（绝对压力），Pa；
——体积，m3 ;
——气体常数，对空气，=287N·m/kg·K;
——热力学温度，K
对上式求微分，并且V=Ax,得
（6）
式中：A为气缸活塞的作用面积，m2;其他符号意义同前。
则气缸的进、排气质量流量方程为：
（7）
式中：，——分别为无杆腔和有杆腔的质量流量，kg/s；
，——分别为无杆腔和有杆腔的体积，m3 ；
，——分别为无杆腔和有杆腔的温度，K；
，——分别为无杆腔和有杆腔的活塞面积，m2
其他符号意义同前。
对上式进行Laplace变换，并整理得：
（8）
（2）气缸的力平衡方程
（9）
式中：p1, p2 ——分别为气缸进、排气口的压力，Pa ；
M ——负载和活塞杆的质量，kg；
bn ——活塞及负载的黏性阻尼系数，Ns/m；
x ——气缸的输出位移，m
由式（2）、（4）、（5）、（8）和（9）即可得到气动阀控缸系统的数学模型。
为简化控制器的设计，对阀控缸系统的数学模型进行降阶处理。并取气缸的中位为系统的经常工作点，即：
无杆腔的体积=，有杆腔的体积为=，其中L为气缸的行程。并近似认为==；
气缸运动平稳期间，气缸有杆腔部分取恒定背压；
因为系统中没有温度测量装置，因此假定进、排气温度=，均设为标准温度。
忽略对系统影响较小的因素，对上述数学表达式进行Laplace变换，整理得：

其中：

式中、分别为无杆腔和有杆腔压力控制阀的控制电压信号，V。
三．简化的比例阀控缸控制系统建模
通过对一般比例控制系统建模的研究，本文忽略对比例阀控缸控制系统影响较小的因素，根据阀的质量流量等于气缸的质量流量，且认为阀的出口压力等于气缸的进口压力，忽略压力损失等，建立了比例阀控缸的简化模型。
1.压力比例阀建模
通过压力型比例阀的质量流量是比例阀输入电压U和输出压力P的函数，其流量方程为：

（10）

令，对上式做拉式变换可得：
(11)
2. 气缸建模
以单出杆双作用气缸为例，建立气缸的数学模型。根据热力学第一定律和理想气体状态方程可得气缸容腔的压力微分方程：

（12）
其中，r——气体比热比，——气体常数，对空气，=287N·m/kg·K，T——热力学温度，A——气缸有效横截面积；x——活塞杆的位移。
在工作点k处对（12）式进行拉式变换，可得：
（13）
其中，Pk，Vk代表工作点K处气缸容腔压力和体积。
对气缸进行力学分析，：
（14）
式中 f——粘性阻尼系数,
k——负载弹性刚度。
对(14)进行拉式变换，可得：
（15）
根据(11)(13)(15)式，可以画出系统的结构方框图如图5所示：

Ka

A

Kb
U
x
+
+
_
_
P

图5 系统的结构方框图
根据系统的结构方框图，可得：

（16）
其中，
四．系统仿真
对以上得到的数学模型，采用增量式PID控制算法，在Matlab上进行仿真。
1.PID控制原理
在模拟控制系统中，控制器最常用的控制规律是PID控制。常规PID控制系统原理框图如图6所示。系统由模拟PID控制器和被控对象组成。

比例
积分
微分
被控对象
+
+
+
+
-
r（t）
u（t）
c（t）

图6 模拟PID控制系统原理框图
PID控制器是一种线性控制器，它根据给定值r（t）与实际输出值c（t）构成控制偏差

将偏差的比例（P）、积分（I）和微分（D）通过线性组合构成控制量，对控制对象进行控制，故称PID控制器。其控制规律为

或写成传递函数的形式

式中，——比例系数，——积分时间常数，——微分时间常数。
简单的说，PID控制器各校正环节的作用如下：
（1）比例环节 即时成比例地反映控制系统的偏差信号e（t），偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，以减少偏差。
（2）积分环节 主要消除静差，提高系统的无差度。积分作用的强弱取决于积分时间常数TI,TI越大，积分作用越弱，反之则越强。
（3）微分环节 能反映偏差信号的变化趋势（变化速率），并能在偏差信号
值变得太大之前，在系统中引入一个有效的早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减小调节时间。
3. 增量式PID控制算法
根据递推原理可得

式中，
上式称为增量式PID控制算法。图7给出了增量式PID控制系统示意图。
PID
增量算式
被控对象
R（k）
E（k）
U（k）U（t）
C(t)
C(k)
)
+
-
执行机构

图7 增量式PID控制系统
进一步可以将上式改写为
（2-6）
式中，
它们都是与采样周期、比例系数、积分时间常数、微分时间常数有关的系数。
这种算法的优点就是数字控制器的输出只是控制量的增量Δu（k），计算时不需要对e（k）进行累加，计算机出项故障时不会引起执行机构位置的大幅度变化。
3.系统Matlab仿真
对以上得到的数学模型，代入本系统的具体参数：
压力比例阀：VEP3121-1型
气缸的选择:低摩擦气缸
缸径：63mm，行程：78mm
根据实验所用比例阀的特性参数，选取阀的静态工作点电压为U=2.5V。
取r=1.4，R=287J/kg k，

则
采样时间为1ms，采用增量PID阶跃跟踪的结果如图8所示。

图8 增量式PID阶跃跟踪
四、结论
本文通过对一般气动比例控制系统的详细分析，建立了简化的比例阀控缸系统的数学模型。采用增量式PID算法对系统进行了仿真。
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