赫兹压力下涂层构件的边界元法分析.pdf

第 3 1 卷 第 2期 2 0 0 8年 2月 合 肥 工 业 大 学 学 报(自然科学版)J OURNAL OF HEF EI UNI VERS I TY OF TE CHNOLOGY Vo l-3 1 No 2 F e b 2 0 0 8 赫兹压力下涂层构件的边界元法分析 程长征，牛忠荣，王远坤，葛大丽 (合肥工业大学 土木建筑工程学院，安徽 合肥2 3 0 0 0 9)摘要：建立了涂层构件边界元法，并引入解析化算法处理其中的几乎奇异积分，以分析赫兹压力作用下涂层 构件的力学行为；提出以最大切应力作为涂层结构强度的评判标准；分别讨论了涂层尺寸和涂层 基体材料的 变化对最大切应力的影响，找出了受赫兹压力作用涂层构件的强度危险面。关键词：涂层构件；赫兹压力；最大切应力；几乎奇异积分；边界元法 中图分类号：03 4 3 文献标识码：A 文章编 号：1 0 0 3 5 0 6 0 2 0 0 8)0 2 0 1 9 6 0 6 Ana l y s i s o f t he c o a t e d s t r u c t u r e s u n d e r He r t z i a n t y pe pr e s s u r e b y t he b o u n da r y e l e me nt me t h o d CHE NG Ch a n g z h e n g，NI U Z h o n g-r o n g，W ANG Yu a n k u n，GE Da-l i (S c ho o l o f Ci v i l En g i ne e r i n g，He f e i Un i v e r s i t y o f Te c h n o l o g y，He f e i 2 3 0 0 0 9，Ch i n a)Ab s t r a c t：Th e n e a r l y s i n g u l a r i n t e g r a l s i n t h e b o u n d a r y e l e me n t a n a l y s i s o f c o a t e d s t r u c t u r e s a r e t r a n s f o r me d i n t o t h e a n a l y t i c e x p r e s s i o n s b y me a n s o f i n t e g r a t i o n b y p a r t s Th e me c h a n i c a l b e h a v i o r s o f t h e c o a t e d s t r u c t u r e s u n d e r He r t z i a n t y p e p r e s s u r e a r e s t u d i e d b y t h e a n a l y t i c b o u n d a r y e l e me n t me t h o d Th e ma x i mu m s h e a r s t r e s s i S u s e d t o a c t a s t h e c r i t e r i o n o f t h e b o n d e d s t r e n g t h Th e e f f e c t s o f c h a n g i n g ma t e r i a l a n d g e o me t r i c p a r a me t e r s o n t h e ma x i mu m s h e a r s t r e s s a r e a n a l y z e d Th e n u me r i c a l r e s u hs r e v e a l t h e f o l l o wi n g c o n c l u s i o n s f o r c o a t e d s t r u c t u r e s u n d e r He r t z i a n t y p e p r e s s u r e：a s t h e c o a t i n g i s v e r y t h i n，t h e r e a r e t wo d a n g e r o u s s e c t i o n s f o r t h e s t r u c t u r a l s t r e n g t h，o n e i s i n t h e s u b-s u r f a c e o f t h e c o a t i n g a n d t h e o t h e r i s a t t h e i n t e r f a c e wh e n t h e c o a t i n g i s mo r e c o mp l i a n t t h a n t h e s u b s t r a t e；h o we v e r，t h e i n t e r f a c e i s t h e o n l y d a n g e r o u s s e c t i o n a s t h e c o a t i n g i s mo r e r i g i d t h a n t h e s u b s t r a t e；a n d wh e n t h e t h i c k n e s s o f t h e c o a t i n g b e c o me s l a r g e r，t h e r e i s o n l y o n e d a n g e r o u s s e c t i o n wh i c h e x i s t s i n t h e s u b s u r f a c e o f t h e c o a t i n g Ke y wo r d s：c o a t e d s t r u c t u r e；He r t z i a n t y p e p r e s s u r e；ma x i mu m s h e a r s t r e s s；n e a r l y s i n g u l a r i n t e g r a l；b o u n d a r y e l e me n t me t h o d 涂层构件由于具有耐热、耐磨及抗腐蚀等优 结合强度的理论解。文献 4 推导了热 防护涂 点而在工业领域得到广泛的应用。弹性滚柱与 中涂层 基体界面应力的级数解，但该级数解不 涂层构件的接触，即涂层构件受赫兹压力作用是 一类常见的工程问题。研究在赫兹压力下涂 层构件 内应力分布规律，有利于分析涂层材料的 机械强度。研究者们作了大量的工作来寻求涂层 基体 反映界面应力 的边缘 奇异性。文献 5 应用材 力学弯曲梁应力分布理论，分析了激光划痕测试 涂层构件时涂层结合界 面应力分布，而不是采 用 弹性力 学理 论。涂 层 材 料 中 的应 力 场 可 以 用 收稿 日期：2 0 0 6 一 i 2 2 i；修 改日期：2 0 0 7 0 i 一 3 0 基金项目：教育部博士学科点基金资助项 目(2 0 0 5 0 3 5 9 0 0 9)；安徽省 自然科学基金资助项目(0 5 0 4 4 0 5 0 3)和合肥工业大学科学研究 发展基金资助项 目(0 8 0 8 0 2 F)作者简介：程长征(1 9 7 9 一)，男，安徽太湖人，博士，合肥工业大学讲师；牛忠荣(1 9 5 7 一)，男，安徽合肥人，博士，合肥工业 大学教授，博士生导师 层 能 料 维普资讯 http:/ 第 2 期 程长征，等：赫兹压力下涂层构件的边界元法分析 1 9 7 F o u r i e r 反变换建立半解析解，但 数学推演繁琐。目前，涂层构件界面强度的试验 也缺乏有效的手 段_ 6 ，更多的是通过数值分析方法来获取。在分析涂层构件 时，边界元法 由于工作 量远 小于有限元法而成为首选_ 7 。但受涂层厚度 尺寸 的影响，常规边界元法分 析涂层构件会遭遇几乎奇异 积分 的障碍 8 ，使 1 涂层构件中的解析边界元法 边界面力以及近边界 内点的应力计算结果误差很 大，甚至失真。文献 1 0 通过反复分部积分运算，将边界元 法 中的几乎奇异积分化为解析算式。本文引入该 解析化算法，用边界元法来研究涂层构件在赫兹 压力作用下，材料参数、涂层厚度等因素对涂层体 内应力以及界面应力的影响。对二维弹性力学问题，常规的位移边界积分方程为 C d(y)u i()一 l u (z，)(z)d r l T (z，y)u j(z)(1)其中，z为场点；为源点；C d()(，一1，2)为与 处边界几何形状有关 的常数；(z)、巧(z)是边界 r 上的位移和面力分量；积分核 U(z，)、(z，)分别为弹性力学 Na v i e r 方程基本解及其线性组合。以 G表示切变模量，表示泊松比，U(z，)、(z，)表达式分别为(z，)一 (3 4 )1 n 一 r，(2)1 (z，)一 (1 2 )(T,i n j r，)一r，(1 2 v)3 o+2 r,i r )(3)令 和 分别为场点和源点的坐标分量，绝表示外法线方向余弦分量，(2)、(3)式中 Ti z ，r 一 ，T,i 一 O T一 Ti，r，一 O Tr，(4)将(1)式在源点 处沿(一1，2)方 向求导，得到内点位移导数积分方程，再根据弹性力学 的几何 方程与本构关系，推得 内点应力积分方程为()一 1 w玉(z，)(z)一 l s 玉(z，y)u j(z)(5)其中 w玉(z，)一 f (1 2 )(r，d+一 )-2 r r 4 r,k (6)s 玉(z，)一 2 r，(1 2 v)+(r,S j k+r，)一 r J r，+(1 2 v)(2 T,ir，J+岛)+2 v(r，f r，J +T,j r，k n i)一(1 4 v)J)(7)对涂层构件，首先在涂层域和基体域分别列 规 的高斯积分计算几乎奇异积分将失效。位移边界积分方程，即(1)式，然后利用涂层和基 在对(1)、(5)式进行数值计算时，将边界从整 体交界上 的位移相等应力连续 的条件，将 2个域 体坐标 o x y转 换到局部 坐标 D 。若记 源点至场 内的边界积分方程联合起来，可以求 出边界和交 点距离 r的平方为R，则 R可以表达为局部坐标 界上的所有未知量。再将边界点上 的位移、面力 的函数，即 值代入相应域 的 内点应力边界积分方 程，即(5)式，可以求出任意内点的应力。涂层和基体交界上位移相等应力连续条件为 一，t；一一 t (忌一 1，2)(8)其中，、t；分别为涂层交界 的位移、面力；、t 分别为基体交界 的位移、面力。当涂层较薄 时，(1)式 的积分核(z，)呈 现几乎强奇异性；运用(5)式求 内点应力 时，当所 求 内点 靠 近 边界 或交 界，积 分 核 w玉(z，)、S 玉(z，)分别具有 几乎强奇异性和超奇异性，常 R r 2一+C (9)其中a、b、C为仅与源点、场点坐标有关的常数。经观察发现(1)、(5)式 中的奇异 积分可 以归结为 以下几种形式 1。：J 1 2 一 d (1 0)其中，P 、Pz、P。为 的多项式形式。对于涂层构 件，在对(1)式进行数值积分 时，通常某边界节点 维普资讯 http:/ 1 9 8 合肥工业大学学报(自然科学版)第 3 1 卷 布 u 具 盯 边上 早兀 明距 禺趋 逝 十零，且 IJ 一 0；在 还 是(1)、(5)式 出现儿平 奇异 积分 的腺 凶。用(5)式求 内点参量时，当源点趋 近边界时也存在 文献 1 0 对(1 O)式 的积分经反复的分部积分 R一0，使得(1 0)式 中积分核 的分母趋 于零，这就 推导，得 出 j 一 R 一 4 P g()一 P K。()+专 E 2 K ()一 L。()一 e22一II Kz K。一 L +1 2一)+P(4)(2 K。一 2 K 一 L z+1 L。+5 。)I 一 一 3 s。P (2 K s 一 2 K 一 L z+1 L。+5 。)(1 1)j z 一 d =1 6 P z 南+)_ _ ()+P K 1()一 1 ,z(K。+K z 一 吉(1+)Jl+-4 p i(K +1 K。一 1 L。一 1 一 号 。)一 P (K +1 K z 一 1 K。一 1 L 一 1 4 一 1)l 一 +4 e 2J11 P 5(K +1 K z 一 1 K。一 1 L 一 1 4 一 1 z 2)(1 2)。二=一 6 4 去 P。+_主 g c 一 P 。q-3 z g(+。3 z 2 g+g-z 一 1 。z g+。g 2 一 +(g+2 g+g 一 号 3 3 )一 击 (K +2 K z+K。一 4 一 3 z 2)l 一 +_l_(K q-2 K +K。一 4 一 3 z 2)(1 1)(1 3)式 中()=d()，S、为与 源点坐标 和被积单 元有关 的几 何尺 寸量，、g、K、L (一0，1，2，3，4)为 的解析 函数。对二维 弹性力学问题，边界元法离散过程 中若采用线性 等参元插值，必有 P (0，P 5 (-0，P 5 (-0 (1 4)由于有(1 4)式，则(1 1)(1 3)式 中最后一项 积分皆为零，(1 O)式 的几乎奇异积分变成了完全 的解析表达算式，即(1 1)(1 3)式。从而，涂层结 构边界元法中的几乎奇异积分可完全由解析表达 式(1 1)(1 3)式解析计算 出来。2 计算结果及分析 取涂层 构件 宽度 为 L一6 mm、厚 度 为 t 一 6 r n m，涂层厚度为 t 。下底边 固定，上边受赫兹 压力 P(z)作 用，最 大 载 荷 集 度 为 P。(单 位：MP a)。荷载作用 区域的半宽 a H一1 0 0 ff m，则 结 构的绝对尺寸也 即相对于接触半宽 的相对 尺寸，如图 1所示。本例为平 面应变问题，记涂层的弹 性模量和泊松比为、，基体的弹性模量和泊松 比为 E 、。边界元法共划分 6 4 0个节点 3 2 0个 二次等参元，计算沿对称轴 上各点的正应力 和最大切应力 r 一(1 2)一 ，同时观察涂 层和基体交界面上的切应力变化。2 1 涂层 基体材料的影响 取涂层厚度 t 一1 0 0 ff m。首先考察 Ec Es 1的情形，这相 当于硬涂 层黏贴在软基 体上。对称轴上 的最大切应力 r 和正应力 的计算结果，如图 3 所示。由图 3 a 可以看 出涂层浅表面与深表面的最 大切应力方向相反，涂 层内沿轴线 最大切应力 维普资讯 http:/ 第 2期 程长征，等：赫兹压力下涂层构件的边界元法分析 1 9 9 发生方 向交变，r 最大值 出现在涂 层域 的交界面 上。图 3 b中涂层内轴线 上的正应力 为近似 的线性分布，表 明涂层承受着弯曲变形。而基体 0 1 雹 一2 3 -4 内 r 与精确解能很好吻合，正应力 接近为零，基体几乎没受弯曲变形，说 明此时基体得 到了很 好的保护。p(x)p o O一(x a H)、一 一 ，r 界而 I 钿 I l、I f 基体 I L 2 L 2 图 1 涂层构件受赫兹压力作用 气 概 0 1 0 2 03 0 4 、)0 _ 2 -3 o 慨-1 0 0 6 -0 2 0 0 2 。界(基体)l I(a)切应 力(b)正应力o 图 2 1 0 0,u m。E E 1，一 O 2 8，一 O2 0，对称轴 上的应 力分布 图 4所示为沿交界面涂层域与基体域上最大 切应力的计算结果。图4中的对照解是指涂层和 基体均取涂层的材料参数用边界元法计算的结 果。结果表明在赫兹压力作用下，界面上 的最 维普资讯 http:/ 2 0 0 合肥工业大学学报(自然科学版)第 3 1 卷 大值出现在对称轴(即 x a 一0)上，偏 离对称 轴 的距离越远 r 值越小。图 4 a显示 当涂层材料 比基体材料刚度低时r 涂层交界 的最大切应力 大 于对照解，而基体交界上正好相反，当距离对称轴 约 2 5倍 的接触半宽时，界面上的最大切 向应力 减小至零。当涂层材料 比基体材料刚度高时，图 4 b表明 基体界面上 的最大切应力 r 始终大 于对照解。涂层界面上的 n在接触半宽内大于对照值，在接 触半宽范围外情况相反，在距离对称轴 2倍接触 半宽处，涂层界面 n 出现反 向最大值，此处基体 界面的最大切应 力 已接近消失。说 明 E E 1 时，涂层界面更易剪切破坏。2 2 涂层厚度尺寸的影响 增加涂层厚度至 t 一3 0 0 z m，选择涂层材料 较基体材料 刚度低(E E。1)的情 形来分 析。构件 内对称轴 和交界面上 的应力分布，分别如 Xl aH (a)E E。=0 4 1 图 5和 6所示。图 5 a 所示为最大切应力 r 沿对称轴 的计 算结果，同图 2 a 涂层厚度为 t 一1 0 0 z m 的计算 结果 比较，可以发现涂层 中最大切应力 的最大值 位置没发生改变，值 略有减 小；但 当 t 一3 0 0 z m 时，界面的应力不连续现象明显消除。图 5 b给出 了 t 一3 0 0 z m 时 沿对称轴 变化 的结果，涂 层域内承受横向负压力作用，基体内的正应力 非常小。由图 6 a可以看出，当涂层与基体的弹性模量 比值小于 1时，涂层界 面与基体界面上 的最大切 应力值 n 差别不大，n 的最大值大约是赫兹压力 最大载荷集度 P。的 1 5 ，相对于 图 4 a中涂层厚 度 t 一1 0 0 z m时 n最大值为 P。的 3 0 ，涂层增 厚时界面上的 n 最大值减小 了近 1 2。当涂层 基体弹性模量 比值大于 1时，相对于图 6 a，图 6 b 中基体界面的切应力没有多大变化，而涂层界面 图 4 t c 一1 0 0 v im，r 1沿界面 的变化(b)E7 E =2 4 4 o|(a)切应力 订 (b)正应力 图 5 一3 O O ，ES 1，c O 2 O，s O 2 8,对称轴 z上的应力分布 维普资讯 http:/ 第 2期 程长征，等：赫兹压力下涂层构件的边界元法分析 2 0 1 X a ll x a H (a)E =0 4 1 (b)E E。=2 4 4 图 6 t =3 0 m，r 1沿着界面的变化 上的切应力有较大幅度 的增加，但还是远小 于图 4 b涂层厚度为 1 0 0 m 时涂层界面上 的最大切应 力值。分析表明增加涂层厚度，界面上最大切应 力 幅度有明显下降。3 结 论 涂层较薄时，若 1，构件 的最大切应 力 r 和正应力 的最大值均出现在涂层 基体 交界面上，此时仅交界 面为危险面；涂层较厚时，界 面上的应力不连续现象基本消 除，r 最大值出 现在涂层内。参考文献 1 张景德，尹衍 升，李静，等、陶瓷 涂层 材料 的应 用与 发展 J 机械工程材料，2 0 0 2，2 6(1 1)5 7 2 J o h n s o n K L接触力学 M，徐秉业，罗学富，刘信声，等 译 北京：高等教育 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i z a t io n t e c h n i q u e s a p p l i e d t o b o u n d a r y e l e me n t me t h o d s_ J Ap p l Me c h Re v，1 9 9 4，4 7(1 O)：4 5 7 4 9 9 1 O 牛忠荣，王左辉，胡 宗军，等 二维边 界元法 中几乎 奇异积 分的解析法 J 工程力学，2 0 0 4，2 1(6)：1 1 31 1 7 (责任编辑张淑艳)维普资讯 http:/