学案-换元法-放缩法.doc

数学选修4-5
编写：龚莉
1.4不等式的证明(2)
——放缩法

班级 姓名
【学习目标】
理解：初步掌握放缩法的概念；理解放缩法证题的基本方法；
掌握：掌握放缩法证题的基本方法；
应用：培养学生用放缩法简单推理的技能.
【重点难点】
重点：1.理解放缩法的推理依据. 2.掌握放缩法证明命题的方法.
难点：理解放缩法的推理依据及方法.
【自主检测】
1．当时，求证：．

2．（1）化简：；（2）求证：.
.

【知识点拔】
1．放缩法定义： 即：要证明不等式A<B成立，有时可以将它的一边放大或缩小，如将A放大成C，即A<C，然后证明C<B，由不等式的传递性，便得到A<B，这种方法称为放缩法。
2．常用的放缩方法：
“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度。常用的方法是：
①添加或舍去一些项，如：，，
②将分子或分母放大（或缩小）如：
③真分数的性质：“若，，则”（糖水不等式）
④利用基本不等式，如：；

⑤利用函数的单调性
⑥利用函数的有界性：如：≤；≥；
⑦利用常用结论：
Ⅰ、，

Ⅱ、 ； （程度大）
Ⅲ、 ； （程度小）
⑧绝对值不等式：≤≤；
【经典体验】
所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。
一. “添舍”放缩
通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。
例1. 设a，b为不相等的两正数，且a3－b3＝a2－b2，求证。

例2. 已知a、b、c不全为零，求证：

二. 分式放缩
一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。
例3. 已知a、b、c为三角形的三边，求证：。

三. 裂项放缩
若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。
例4. 已知n∈N*，求。

例5. 已知且，求证：对所有正整数n都成立。

四. 公式放缩
利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。
例6. 已知函数，证明：对于且都有。

例7. 已知，求证：当时。

五. 换元放缩
对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目的。
例8. 已知，求证。

例9. 已知a，b，c为△ABC的三条边，且有，当且时，求证：。

六. 单调函数放缩
根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。
例10. 已知a，b∈R，求证。
，
【自主探究】
1．当 n > 2 时，求证：

2．求证：

【课堂反馈】
1．若a, b, c, dÎR+，求证：

2．若是自然数，求证

3．求证：

数学选修4-5
编写：龚莉
1．4 不等式的证明（2）（放缩法）课时练习

1．设，，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
2．已知三角形的三边长分别为，设，则与的大小关系是 （ ）
A. B. C. D.
3．设不等的两个正数满足，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
4．设，则与1的大小关系是 .
5．设，则的整数部分为 .
6．已知均为正数，且，求证：.

7．设，求证：.

8．设，求证：.

9．设，求证：.

10．，求证：不等式对所有的正整数都成立.

【自助餐】
1：设、、是三角形的边长，求证≥3

2．已知数列的前项和满足：，
（1）写出数列的前三项，，；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：对任意的整数，有