介质中夹塞物界面处的SH波散射与动应力集中.pdf

大 庆 石 油 学 院 学 报 J OURNAL OF DAQI NG PETROLEUM I NS TI TUTE 第 3 3卷 第 4期 2 0 0 9年 8月 Vo 1 33 No 4 Au g 20 09 介质 中夹塞物界面处 的 S H波散射 与动应 力集 中 张永功，王春华，庄 翠莲，李春梅。(1 大庆石油学院 机械科学与工程学院，黑龙江 大庆 1 6 3 3 1 8；2 大庆油 田有限责任公 司 第六采油厂，黑龙 江 大庆 1 6 3 1 1 4；3 牡丹江天擎科技有限公司，黑龙 江 牡丹江1 5 7 0 0 9)摘要：基于弹性动力学理论，分析弹性介质 中夹塞物界面处 S H波的散射及动应力集 中问题，给 出结构各区域 弹性 波分析解的表达式；根据位移与应力在界 面处的连续条件，确定弹性波模 式系数，推 导环 向和径 向动应力集 中系数的一 般表达式；分析 了材料性质对界 面动力特性的影响算例 中，给出不 同参数 下，夹塞物附近动应力 集中系数的数值结果，并进行了分析讨论 关键词：弹性介质；夹塞物；S H波散射；动应力集 中 中图分类号：P 3 1 5 3 文献标识码：A 文章编号：i 0 0 01 8 9 1(2 0 0 9)0 40 0 8 00 4 0 引言 弹性波在无限大的均匀介质 中传播时，传播速度和方向不会发生变化若介质中存在不连续处，如夹 塞 物、裂纹 或孔 洞等，弹性波 就会 发生散 射当弹性 波 受 到散 射 干扰 时，散 射体 附 近 局部 区域 的应 力会 急 剧增大，造成动应力集中，动应力集中会降低结构的承载能力和使用寿命固体结构中弹性波散射与动应 力集中始终是固体力学中的重要课题，它在地震工程、航空航天、土木建筑、复合材料和力学等领域一直受 到广泛的关注I 1 2 0世纪 6 O年代，P a o Y H 和 Mo w C C 2 首次利用波函数展开方法，研究薄板开孑 L 弹 性波散射及动应力集中，并给出解析解及数值算例L i u D K 4 等分析含任意形开孑 L 固体结构的弹性波 散射与动应力集 中问题，给出求解该问题的复变函数及保角映射方法胡超 6 等利用复变函数及局部坐 标系方法，研究含双圆孔平板结构 的弹性波散射与动应力集 中，并给出数值计算结果We i P j E 等采用 波函数展 开方 法，研究 弹性 圆柱形 夹杂 物与 黏弹性 基体 间存在 部分 开裂 时 P波和 S V 波 的散 射 问题，针对 弹性 波 的不 同入 射角及 不 同频率 情况，计算 了裂纹 的张 开位 移 和 动应 力强 度 因子何 仲怡 I 8 等采 用 波 函 数展 开法，研究 S H 波绕 界 面 圆孔 的 散射 问题，给 出不 同材 料 组 合 时，孔 边 的 动应 力 集 中 系数 分 布刘 刚_ g 等利用“分区、契合”的思想，给出地下弹性夹杂与地面任意三角形凸起地形对 S H波散射问题 的解析 解答 笔 者基 于弹性 动力学 理论，分析 弹性介 质 中夹塞 物界 面处 S H 波 的 散射 及动 应 力集 中问题，并 给 出 结构各区域弹性波分析解的表达式 l 波动方程及 求解 弹性 常数、剪 切模 量 和密 度 分别 为，和 p f 的 圆柱 形夹 塞物，被 嵌入 到弹性 常数、剪 切模 量 和密度 分 别 为，和I D的无限大弹性介质中，n为特征尺度，见图 1，其受到反 平 面剪切波 的作用，波 动控制 方程 为 叫一 1 ，(1)C d 式 中：叫 为 Z 方 向 的横 向位 移 函数；c为剪 切 波 波 速，c 一 收稿 日期：2 0 0 90 3 0 4；审稿人：刘树林；编辑：王文礼 作者简介：张永功(1 9 5 7 一)，男，讲师，主要从 事机械工程方面的研究 8 O +，S H+图 1 S H 波在含柱形 夹塞物 的弹性介质 中的传播 第 4期 张永 功等：介质 中夹 塞物界 面处的 S H 波散射与动应力集中 P；为极坐标系(R，)中的 L a p l a c e 算子，。一a。a R。+(1 R)O O R+(1 R。)a。a ；t 为时间 在极坐标系(R，)中，剪应力与横向位移的关系为 r 艘一 3w，一 1 oq wt l r O Z (2)r 艘 一 一 (z)研 究弹 性波 动 问题 的稳态 解，式(1)的解 可表示 为 一W(R，)e x p(一 k o t)，(3)式 中：和 W(R，)分别 为人 射波 的频 率 和幅值 引入无 量 纲坐标 z=X a，y n，r=R a，将其 及 式(3)代 人式(1)，可得。W(R，)+a。叫(R，)一 0，(4)式 中：a为无量纲波数，a k a，n为界面处截面圆的半径，k为波数，k 一 c 有 V 一 a。a r 一(1 r)a a r+(1 r )a a 在 无量 纲极 坐标 系(r，)中，式(2)又可表 示 为 3 w 】3 w C r z一 r 一 一 o O L )方程(4)解 的一 般 表达式 9 为 W=A H )e x p(i n 0)，式中：A 为弹性波模式因数，可利用位移与应力 的边界条件确 定；H：”(i n 0)为柱形夹塞物界面处的散射波(6)为第 一 类 Ha n k e l 函 数；e x p 2 总弹性波场 设在弹性介质的无限远处，有一条与 轴平行 的线源产生的反平 面剪切波，沿 z轴正方向传播，为入 射波场，可用 w“表示略去时间因子后，其表达式为+o。W一W。J(a r)e x p(in 0)，(7)。式中：w。为人射波幅值；J ()为第一类 B e s s e l 函数由式(6)知，夹塞物产生的散射波场 w“为 w 一 A H )e x p(i n O)(8)=-m 夹塞物附近的总弹性波场 w“应由入射波场与散射波场的叠加构成，即 w一w+w一 ”w0 J ()+A H ”(a r)e x p(i n 0)(9)3 圆柱形夹塞 物附近 弹性波 的散 射 夹塞物 内的折 射波 场 W 为 w(1，=：B J (口 )e x p(i n 0)，式 中：B 为 弹性 波模 式 因数；a，为夹 塞物 中剪 切 波的 无量 纲波 数，a f：k f a 夹塞物的边界条件是位移与应力在界面上的连续条件，边界条件可描述为 w l Fl W l，a W a r l 一 ，8 W a,-I 将 式(9)和式(1 0)代 入式(1 1)中，可得无 穷 代数 方 程组 为 2 。+o。E x e x p(in O)-=E，i 一1，2，式 中：元素 和 E 取值分别为(1 O)(11)(1 2)大庆石油学院学报 第 3 3卷2 0 0 9年 E ：Hi”，E 。=一-，(a r)，E：一 H”(a)一口 H，E：一一 (a s)一。，厂 计 (，)，E 一一i e x p(i n 0)W。J (a)，一一 e x p(i n 0)W。(a)一 什 l(a)，(1 3)式中：五为夹塞物与弹性介质的剪切模量之比，p=z，用 e x p(一i s 0)乘以方程组(1 3)的两端，在区间(丌，一7【)上积分，并利用正交性可得 2 _ 卜。+。E x 一E ，一1，2；s 一0，1，2，(1 4)，t 。式 中：E 慧 一 r e x p(in )e x p(is 0)d O，E 一 r E e x p(一 is 0)d O 式(1 4)即 为 确 定 弹 性 波 模 式 因 数 厶 7【J 厶 儿 J一 A 和 B 的无穷 代数 方程 组 4 界面上的动应力集 中 弹性波 遇到 障碍物发 生散 射后，障碍 物附 近 的应 力与 未受 干扰 的波动 在该点 所产 生应 力 的比值，称 为 动应力集中因数(DS C F)它是对一个局部区域动应力集中严重程度 的度量标准，动应力集 中因数越大，弹性波散射导致散射体附近的应力越高，对散射体的破坏程度越大根据动应力集 中因数 的定义，圆柱形 夹 塞物界 面上 的环 向和径 向动应 力集 中因数 DS C F 和 DS C F“分 别表 示为 D S C F 一 l l，(1 5)DS CF”一 I r r。I，(1 6)式中：r。为入射 S H波在均匀弹性介质中传播时的剪应力幅值，由式(5)和(7)可得 一 Wo 将式(9)代 人式(5)，可得 界 面上(r 一1)的环 向和径 向剪 应力 为 一 计 。J (a)+A H：(a)e x p(in 0)，(1 7)r 一 w。(a)一a J 升 (a)+A E n H(”(a)一口 H (a)e x p(in 0)(1 8 5 算例和分析 S H 波在 弹性介 质 的无穷 远处沿 轴 正方 向入射，研究 柱形夹 塞物 附 近 的弹性 波散 射 与 动应 力集 中 为说明方便，令 一a，a 计算散射波时，通过精度控制，级数项截取 一1 7 当，五取不 同值时，夹塞物附 近动应力 集 中因数(一兀 2处)随无 量纲入 射波 波数 a 变 化 的曲数 见 图 2 (1)图 2(a)对应=0，相 当于弹性 介质 中含 有空 腔的情 况由图 2(a)可见，当无 量纲 入射波 波数 a趋 于 0时，环向动应力集中因数趋于 2；在 a 一0 4附近，环向动应力集中因数取最大值(D S C F 一2 1)而径 向动应 力集 中 因数 一直 为 0 (2)图 2(b)对应=O(D，相 当于介 质 中的夹塞 物为 刚性 柱 体由 图 2(b)可见，当无 量纲 人 射 波波 数 a 趋 于 0时，径 向动应 力集 中 因数趋 于很 大值，随着 a的增 加，径 向动 应力 集 中因数 很 快 衰减 而 环 向动应 力集 中因数一 直为 0 (3)由图 2(c)可 见，当 比较小 时(一0 5)，径 向动 应力 集 中因数 的峰 值 比较 小，而 环 向动 应力 集 中 因数分别 在 a 一1 0和 2 5附近有 2个 比较 高的峰值 (4)由图 2(d)可见，当：2 0时，径 向动应力 集 中因数分 别 在 a 一0 4，1 7和 2 8附近 有 3个 比较 高 的峰值；环 向动应 力集 中因数分别 在 a 一 1 0和 2 3附近有 2个 比较 高 的峰值 (5)由图 2(e)可 见，当 一5 0时，径 向动应 力集 中因数 分别在 a 一0 3，1 6和 2 7附近有 3个 比较高 的峰值；环向动应力集中因数分别在 a 一1 0和 2 2附近有 2个 比较高的峰值 (6)由图 2(f)可见，当 一1 0 0时，径 向动 应力 集 中因数分 别在 a O 2，1 6和 2 7附近有 3个 比较高 的峰 值，且 a 一0 2处 的峰 值达 到 4 4的程 度；环 向动应 力集 中 因数 分别 在 a O 9和=2 1附近有 2个 比 R9 第 4期 张永功等：介 质中央 塞物 界面处 的 S H 波散射 与动应力集中 较高的峰值 2 5 2 O 1 5 rJ 0 10 O 5 O 2 5 2 0 1 5 U 口 10 ()5 0 4 0 3 5 3 O 2 5 2 O 1 5 1 0 O 5 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 0 (a)3 0 2 5 2 0 1 5 0 1 0 0 5 0 5 1 O 1 5 2 0 2 5 3 0 0 (d)0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 (b)0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 (e)2 0 1 _ 8 1 6 1 4 1 2 I 0 0 8 0 6 0 4 0 2 0 4 5 4 0 3 5 3 0 2 5 2 O 1 5 1 0 0 5 0 图 2 界面处 动应 力集 中因数随入射波 波数的变化情况 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 (c)0 5 1 0 I 5 2 0 2 5 3 0 (f)6 结论(1)当弹性 介质 中含有 空腔 时，环 向剪 应 力为 结构 破 坏 的 主要 因素；而对 于介 质 中 含有 刚性 夹 塞 物 的 情 况，径 向剪应 力 为结构 破坏 的主要 因素 (2)当夹塞 物 与介质 的剪 切 弹性模 量 的 比值较 小 时，界 面上 的环 向剪 应 力 大 于径 向剪 应 力，环 向剪 应 力 为影 响结 构 安全性 的主要 因素 (3)如果夹塞物与介质的剪切弹性模量的比值较大(2 0)，当入射波的频率较低 时(a O 5)，径向 剪应力有较高的幅值，其为结构破坏的主要 因素；当入射波的无量纲波数 a处于 1 0和 2 3附近时，环向 剪应力为影响结构安全性的主要因素；而当 a 处于 1 6和 2 8附近时，径 向剪应力又有较高的幅值，其又 将 成 为结 构破 坏 的主要 因素 参考文献 1 E 2 3 E 3 4 5 6 3 E 7 8 E 9 3 I i F M，Hu C，Hu a n g W HS c a t t e r i n g o f e l a s t i c w a v e s i n a n e l a s t i c ma t r i x c o n t a i n i n g a n i n c l u s i o n w i t h i n t e r f a c e s E J Ac t s Me e h a n i c a l S o l i d S i l i c a，2 0 0 2，1 5(3)：2 7 0 2 7 6 P a o Y HDy n a mi c a l s t r e s s c o n c e n t r a t i o n s i n a n e l a s t i c p l a t e J J Ap p l Me c h，1 9 6 2，2 9(2)：2 9 9 3 0 5 P a o Y H，Mo w C C Di f f r a c t i o n s o f f l e x u r a l w a v e s b y a c a v i t y i n a n e l a s t i c p l a t e E J AI AA J，1 9 6 4，2(1 1)：2 0 0 4 2 0 1 0 I i u D K，Ga i B z，Ta o G Y Ap p l i c a t i o n o f me t h o d o f c o mp l e x f u n c t i o n s t O d y n a mi c s t r e s s c o n c e n t r a t i o n s J Wa v e Mo t i o n，1 9 8 2，4：2 9 3 3 0 4 I i u D K，Hu C S c a t t e r i n g o f f l e x u r a l wa v e s a n d d y n a mi c s t r e s s c o n c e n t r a t i o n s i n Mi n d l i n S t h i c k p l a t e s J Ac t s Me c h a n i c a l S i n i c a，1 9 9 6，1 2(2)：1 6 9 1 85 胡超，马兴瑞，黄文虎双圆孔平板弹性波散射与动应力分析 J 力学学报，1 9 9 8，3 0(5)：5 8 7 5 9 5 W e i P J，Zh a n g Z M，Wa n g Y S I n t e r a c t i o n o f g e n e r a l p l a n e P wa v e a n d c y l i n d r ic a l i n c l u s i o n p a r t i a l l y d e b u n k e d f r o m i t s d i s c o e l a s t i c ma t r i x J 3 Ac t s Me c h a n i c a l S i l i c a，2 0 0 2，l 8(2)：1 3 3 1 4 5 何仲怡，樊洪明用波 函数展开法求解界 面圆孔 的 S H波散射 问题 J 地 震工程与工 程震动，2 0 0 0，2 0(3)：1 7 刘刚，刘 殿魁S H波对浅埋圆形弹性夹杂附近任意三角形凸起地形 的散射 J 应 用力学学报，2 0 0 7，2 4(3)：3 7 3 3 7 9 83 U Q=I U Q U Q