第二章第三节曲面的切平面和法线计算例题.doc

第二章 曲面的表示与曲面论

第三节 曲面的
切平面和法线、
光滑曲面

1、 平面曲线的切线与法线

设平面曲线的方程为
,
是其上一定点。在该点的切线斜率为
.
从而曲线过点的切线方程为
,
即 ，(1)
法线方程为
，(2)

例1、 求笛卡尔叶形线 在点处的切线与法线.
解 ,
,.
,
得到
切线方程 ,即;
法线方程 ,即.如图(1)所示.

图(1)

2、 空间曲线的切线与法平面

设空间曲线的方程为
, .
定点,
,

动点
.
动割线的方程为
,
当时,动点沿曲线无限接近定点,
达到动割线的极限位置: ，(3)
称之为曲线在点的切线.其方向向量为
。

过且与切线垂直的平面叫做曲线在点的法平面,其方程为
… … (4)
例2 求螺旋线 在点的切线方程与法平面方程.
解 切向量为,切线方程为 ;
法平面方程为,即
.

图(2)螺旋线的切线与法平面
3 曲面的切平面与法线

设曲面的一般式方程为 ，
是由该方程确定的隐函数，则，.设,
令,,
则曲面在点的切平面方程的法向量可表为
… … (5)
于是切平面的方程为;
法线方程为.
定理 设曲面的一般式方程为 ，,
.设曲线:是曲面上过点的任意一条可微分曲线,,
为在点的切线,则.
证明 因为,所以有.两边对求导,再取
,得 … … ①
则为切线的方向向量.①式表示.

图(3)
由该定理可见:曲面在点的切平面恰好是由上过点的所有曲线在点的切线所织成的平面(如图(3)所示).
例3 求椭球面在点的切平面及法线方程.
解 ,
切平面方程为;
法线方程为
.

图(4)
椭球面的切平面

4 求两个曲面的交线的切线方程
设曲面：，
：.
曲线是与的交线..如图(5)所示.

图(5)
注意到、在点的法向量分别为和
,由于过点的切线的方向向量同时垂直于与,故可令,得
… … (6)
简记为
,
于是切线方程为
.
例4求球面

与锥面的交线在点处的切线与法平面方程.
解 ,;
,;
.
切线方程是,即
;
法平面方程是
,
即.

图(6)球面与锥面交线的切线

例5、 设球面的双参数方程为
，
。
求过点 的切平面方程。
提示 ：
因为

所以, 法向量

或
故过点的切平面方程为
整理得

即 球面在其上一点
处的切平面方程为
。
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