十三：平面几何旋转型题.doc

中考数学专题复习之十三：旋转型题

【中考题特点】：
旋转型题是近两年来中考数学试题中出现的热点题型之一，客观题和主观题都有。这类问题主要集中在求角度、求弧长、求面积、证明线段相等、证明角相等、证明位置关系等题型中，灵活性较强。这类题的解题关键是抓住图形变换过程中的几何不变性即旋转不变性、数值不变性等，即在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。
【范例讲析】：
例1：如图，王虎使一长为4，宽为3的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，求点A翻滚到A2位置时共走过的路径长。
C
B
A2
A1
A
╮30°

例2：已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC.
（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）.
①设AB的长为a，PB的长为b（b<a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；
②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.
（2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上.
图1

图2

例3：等腰△ABC，AB=AC=８，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含300角的透明三角板，使300角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．
（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；
（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．
① 探究１：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）
② 探究２：连结EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；
图a
图b
③ 设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．

例4：图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）.
（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；
探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论.
（2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）；
探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围.
（3）操作：图1中△C′D′E′固定，将△ABC移动，使顶点C落在C′E′的中点，边BC交D′E′于点M，边AC交D′C′于点N，设∠AC C′=α（30°＜α＜90°）（图4）；
E′
D′
图2
图3
D′
E′
图4

C/
（C/）
（C/）
探究：在图4中，线段C′N·E′M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C′N·E′M的值，如果有变化，请你说明理由.

例5：将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放。
（1）将图1中△绕点C顺时针旋转45°得图2，点与AB的交点，求证：；
（2）将图2中△绕点C顺时针旋转30°到△（如图3），点与AB的交点。线段之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；
（3）将图3中线段绕点C顺时针旋转60°到（如图4），连结，
求证：⊥AB.

【练习】：
1、如图：已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C＝60°，边AB=6cm.
（1） 求边AC和BC的值；
（2） 求以直角边AB所在的直线l为轴旋转一周所得的几何体的侧面积.
(结果用含π的代数式表示)

2、实验与推理如图14―1，14―2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。
⑴如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：
①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ；
②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ；
③请证明你的上述两猜想。
⑵如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系。
3、操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝900，将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点。图①，②，③是旋转三角板得到的图形中的3种情况。研究：
（1） 三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图②加以证明。
（2） 三角板绕点P旋转，是否能居为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由。
（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB＝1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图④加以证明。

参考答案：
例1：
例2：解：（1）①S阴影=
②连结PP′，证△PBP′为等腰直角三角形，从而PC=6;
（2）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理证出
∠P′CP=90°，再证∠BPC+∠APB=180°，即点P在对角线AC上.
例3：（1）证明：在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，所以∠B=∠C=30°，因为∠B+∠BPE+∠BEP=180° 所以∠BPE+∠BEP=150°因为∠EPF=30°，又因为 ∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°所以∠BPE+∠CPF=150°所以∠BEP=∠CPF　　　　　　　 所以△BPE∽△CFP （两角对应相等的两个三角形相似） （2）①△BPE∽△CFP
②△BPE与△PFE相似。　　　　　
下面证明结论
A
B
C
E
F
P
M
N
同（1）可证△BPE∽△CFP得=，而CP=BP 因此=，　
又因为∠EBP=∠EPF， 所以△BPE∽△PFE （ 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
③ 由②得 △BPE∽△PFE 所以∠BEP=∠PEF，　分别过点P作PM⊥BE，PN⊥EF，垂足分别为M、N，则PM =PN。连AP，在Rt△ABP中，由∠B =30°，AB=8可得AP=4， 所以PM=2， 所以PN=2，所以 s = PN×EF=m　　

例4：解：（1）BE=AD
证明：∵△ABC与△DCE是等边三角形
T
S
∴∠ACB=∠DCE=60° CA=CB，CE=CD　
∴∠BCE=∠ACD ∴△BCE≌△ACD
∴ BE=AD（也可用旋转方法证明BE=AD）
（2）如图在△CQT中 ∵∠TCQ=30° ∠RQT=60° ∴∠QTC=30°
∴∠QTC=∠TCQ　　∴QT=QC=x　∴ RT=3－x
∵∠RTS＋∠R=90° ∴∠RST=90°
∴y=×32 －(3－x)2=－(3－x)2＋(0≤x≤3)
（3）C′N·E′M的值不变 证明：∵∠ACC′=60°∴∠MCE′＋∠NCC′=120°
∵∠CNC′＋∠NCC′=120° ∴∠MCE′=∠CNC′ ∵∠E′=∠C′ ∴△E′MC∽△C′CN
∴ ∴C′N·E′M=C′C·E′C=×=
D
例5：解：（1）证明：过点作CA的垂线，垂足为D 易知：△CD为等腰直角三角形，△DA是直角三角形，且∠A＝30°，
所以 故
（2）解： 过点作C的垂线，垂足为E 易知：△E为等腰直角三角形（其中∠2＝∠A＋∠CA＝45°） △CE是直角三角形，且∠1＝30°，所以，故
（3）证明：将图3中线段绕点C顺时针旋转60°到，易证：
△≌△，于是∠＝∠＝45°，故⊥AB.
【练习】：
1、解：（1）AC＝ cm，BC＝cm
（2）所求几何体的侧面积S＝（）
2、解：⑴①DE=EF；②NE=BF。
③证明：∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，
∴DN=EB
∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°
∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF
∴△DNE≌△EBF
∴ DE=EF，NE=BF
⑵在DA边上截取DN=EB（或截取AN=AE），连结NE，点N就使得NE=BF成立（图略）此时，DE=EF。
3、解：（1）连结PC，∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点， ∴CP＝PB，CP⊥AB，∠ACP＝∠ACB＝450，∴∠ACP＝∠B＝450，又∵∠DPC＋∠CPE＝∠BPE＋∠DPC＝∠BPE∠CPE∴∠DPC＝∠BPE∴△PCD≌△PBE∴PD＝PE
（2）共有四种情况，
① 当点C与点E重合，即CE＝0时，PE＝PB
② CE＝2－，此时PB＝BE
③ 当CE＝1时，此时PE＝BE
④ 当E在CB的延长线上，且CE＝2＋时，此时PB＝EB
（3）MD：ME＝1：3　过点M作MF⊥BC，垂足分别是F、H　∴MH∥AC，MF∥BC　∴四边形CFMH是平行四边形，∠C＝900，∴CFMH是矩形，∴∠FMH＝900，MF＝CE