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定积分初步
荆州中学 鄢文俊

客观世界的一切事物（小至粒子，大到宇宙）始终都在运动和变化着．这种运动和变化现象，我们可以用同样能显现变量变化的函数来捕捉！比如，研究匀速直线运动的路程、恒力做功、规则变化（圆、方形）的面积问题等，我们都可以先建立一个简单的函数关系式后加以研究．然而，对变速甚至变加速运动、不规则变化的面积问题等，我们很难通过相应的方式来加以解决。我们知道变是绝对的，不变是相对的！因此，“不规则”几乎是运动变化的全貌！历史上对这类不规则问题的研究比比皆是，三国时期刘徽在割圆术中就巧妙的处理了这种规则与不规则的变通——“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣”；隋代著名匠师李春设计用长方形条石建造37米大石拱的赵州桥等，这些做法，无一不与近代积分学思想相吻合。前者包含着“无限细分，无限求和”的思想，后者则包含了“以曲代直”的思想．
一、定积分的概念
设在闭区间上的连续函数，任取分点，将等分成个小区间，为每个小区间的长度，在每个小区间上任取一点，得出乘积的和式．当（即）时，和式的极限存在，且此极限值与区间的分法及点的取法无关，则称这个极限值为函数在上的定积分，记为，即．这里称为被积函数，称为被积表达式，为积分变量，叫积分区间，分别称为积分下限、积分上限．
定积分概念中不仅明示了定积分的形成过程，明示了解决这一类问题的步骤与方法——分割、近似代替、求和、取极限．在局部小范围内运用了 “以直代曲”、“以不变代变”和“逼近”的思想．同时，在概念中还体现了几何意义和物理意义．定积分知识的运用，无疑会对数学和其它科学、乃至实用技术的发展产生巨大的影响！
二、定积分运算中的“四步曲”—— 分割、近似代替、求和、极限
例1．用定义计算，并从几何上解释这个值表示什么？
解：＝，下面先求的值．
（1）分割：在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间，每个小区间的长度为；
（2）近似替代：取，第小区间中对应小矩形面积为：
；
（3）求和：；
（4）取极限：．
同理可求得，所以．
由定积分几何意义，可知这个值表示由直线和曲线所围成的图形的面积．
三、定积分运算中的“二步曲”——特定形式和、极限
例2．将代数式改写成定积分形式．
解：（1）改为特定形式和：
＝
取，其中为区间被等分后的第个区间 的右端点．
（2）取极限：
故．
例3．弹簧在拉伸的过程中，力（为常数，为伸长量），用定积分表示把弹簧从平衡位置拉长1所做的功．
解：因为力是变力，在弹簧拉伸过程中变力所做的功可以近似地写成特定形式的和：

于是，．
例4．将单位圆绕轴旋转一周得到球形容器，试把该容器的容积用定积分表示出来．
解：先考察单位圆位于轴右侧的旋转问题，近似地写成特定形式的和：

于是，．
四、定积分运算中的“一步曲”——牛顿·莱布尼茨公式
德国人莱布尼茨从“微分三角形”中认识到：求曲线的切线依赖于纵坐标之差与横坐标之差的比值；求曲边图形的面积则依赖于在横坐标的无限小区间上的纵坐标之和或无限薄的矩形之和，他认识到求和与求差是可逆的！同样地，英国人牛顿从物理学的角度也发现了相似的可逆性．于是他们就都研究了微分与反微分之间的互逆关系，从而创立了微积分基本定理：一般在，如果是区间上的连续函数，并且，那么．
那么定积分运算就多了“一步曲”这种方法，上述四个例题中的定积分都可以用公式法求得相应的值：
（其中）；
（其中）；
（其中）；
（其中）．
五、定积分运算中的几何法——与曲边梯形的面积相关
例5．求的值．
解：考察函数的图象：
定积分的几何意义：表示为由
直线及曲线
所围成的封闭图形面积，于是
＝．
例6．在曲线上的某点处作切线，已知该切线、轴和曲线所围成图形的面积为，求切点的坐标及切线方程．

解：由题意可设切点的坐标为，则切线方程为，可得切线与轴的交点坐标为，如上图所示，曲线与切线、轴所围成图形可分割成和两部分，即．
故

解得，所以切点坐标为，切线方程为．
另解：该面积也可以用另一种方式的定积分表示．上述解法中由于选择的积分变量是，导致要把阴影部分分割成两个部分，而若选择作为积分变量呢？

解得，所以切点坐标为，切线方程为．

综述：1．定积分的几何意义——与阴影部分的面积有关，定积分的物理意义很宽泛——位移、做功等．其实很多两个变量的求积运算都可以用它来思考！再比如上述例4中的求体积问题——与面积、高的“乘积”有关！这样说来，定积分知识的运用可以很广泛地用在不只是数学与物理领域中；2．定积分式的计算方法：（1）利用定义求定积分（定义法），过程繁琐、受限，实际操作性不强． （2）利用微积分基本定理求定积分步骤如下： ①求被积函数f（x）的一个原函数F（x）； ②计算F（b）-F（a）．（3）利用定积分的几何意义求定积分．
练笔：1．求的值．（答案：2）
2．设，求的值．（答案：）
3．求抛物线与直线围成的平面图形的面积．（答案：18）
4．如图所示，抛物线与直线的两交点
为，点在抛物线上从向运动．
(1)求使的面积最大的点的坐标;
(2)证明：由抛物线与线段围成的图形，被直线
分为面积相等的两部分．
（答案：（1）；（2）用定积分做）
5．平地里有一条小沟，沟沿是两条长100m的平行线段，沟宽AB＝2m，横截面与沟的交线是一段抛物线，顶点为O，沟深1.5m，沟中水深1m．
（1）求水面宽；
（2）求沟中有多少立方米水．（答案：（1）；（2））