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工程力学例题汇交力系平衡方程的应用例题1 图a所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力F=212 N，方向与水平面成a = 45角。当平衡时，DA铅直，BC水平，试求拉杆BC所受的力。已知EA=24 cm， DE=6 cm(点E在铅直线DA上) ，又B ，C ，D都是光滑铰链，机构的自重不计。解：1.取制动蹬 ABD 作为研究对象，并画出受力图。2.作出相应的力多边形。3. 由图 b几何关系得：OE = EA = 24 cm 4 .由力三角形图 c 可得：解析法：1. 取制动蹬 ABD 作为研究对象。 2.画出受力图 ，并由力的可传性化为共点力系。3. 列出平衡方程：Fx = 0 FB F cos45o FD cos= 0 Fy= 0 FD sin F sin45o =0 已知： = 14.01 o , sin = 0.243 , cos = 0.969 联立求解得 FB=750N例题2 水平梁AB中点C 作用着力 F，其大小等于2 kN，方向与梁的轴线成 60 角，支承情况如图a 所示，试求固定铰链支座 A 和活动铰链支座 B 的约束力。梁的自重不计。解：1.取梁 AB 作为研究对象。2.画出受力图。3.作出相应的力多边形。4.由力多边形解出： FA = F cos30= 17.3 kN FB = F sin30 = 10 kN例题3 支架的横梁 AB 与斜杆 DC 彼此以铰链 C 连接，并各以铰链 A ，D 连接于铅直墙上，如图所示。已知杆AC = CB ；杆DC与水平线成 45o 角；载荷F=10 kN，作用于 B 处。设梁和杆的重量忽略不计，求铰链 A 的约束力和杆 DC 所受的力。解：取 AB 为研究对象，其受力如图为，按比例画力F ，作出封闭力三角形。 量取FA 、FC 得： FA = 22.4 kN FC = 28.3 kN例题4 利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一货物重G = 20 kN，滑轮由两端铰接的水平刚杆AB和斜刚杆BC支持于点B 。不计铰车的自重，试求杆AB和BC所受的力。解：1. 取滑轮 B 轴销作为研究对象。 2. 画出受力图。3.列出平衡方程：Fx = 0 FBC cos30 o + FAB F sin30o = 0Fy= 0 FBC cos60 oG F cos30o = 0联立求解得 FAB = 54.5 kN FBC = 74.5 kN 例题5 如图所示，重物G =20 kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮B上，钢丝绳的另一端绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并以铰链A，C与墙连接。如两杆与滑轮的自重不计并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。 解：取滑轮 B 为研究对象，忽略滑轮的大小，画受力图。FT = G列平衡方程：Fx = 0 FAB FT cos30 o + FT cos60 o = 0Fy= 0 FBC FT cos30 o FT cos60 o=0解方程得: FAB=-0.366G=-7.312KN FBC=1.366G=27.32KN例题6 梯长 AB = l ，重 G =100 N，重心假设在中点 C ，梯子的上端 A 靠在光滑的端上，下端 B 放置在与水平面成 40角的光滑斜坡上，求梯子在自身重力作用下平衡时，两端的约束力以及梯子和水平面的夹角。 解：梯子受三力平衡，由三力汇交定理可知,它们交于D点。 1.求约束力。 列平衡方程：Fx = 0 FAFB cos ( + ) = 0Fy= 0 G+FB sin ( + ) = 0考虑到 j +q = 90- 40 = 50 ， 联立求解 ，得：FA=83.9N FB=130.5N2.求角。角可由三力汇交的几何关系求出。由直角三角形 BEC 和 BED ，有:EC = EB tanED = EB tan ( +)EC=0.5EDtan =0.5 tan ( +) =0.5 tan50 o = 0.596 = 30.8 o例题7 车间用的悬臂式简易起重机可简化为如图所示的结构。AB是吊车梁，BC是钢索，A端支承可简化为铰链支座。设已知电葫芦和提升重物 G = 5 kN, = 25 o，AD = a = 2m , AB = l =2.5 m。如吊车梁的自重可略去不计，求钢索 BC 和铰 A 的约束力。 把三个力移到点O，作直角坐标系，如图 b 所示。列平衡方程：Fx = 0 FA cos FB cos = 0Fy= 0 G+ FA sin + FB sin = 0 式中角可由图 b 中的几何关系求得tan = 0.117 FA = 8.63 kN FB = 9.46 kN例题8 如图所示，用起重机吊起重物。起重杆的 A 端用球铰链固定在地面上，而 B 端则用绳 CB 和 DB 拉住，两绳分别系在墙上的 C 点和D点，连线 CD 平行于 x 轴。已知 CE=EB=DE ,角=30 o ，CDB 平面与水平面间的夹角EBF = 30 o ,重物 G =10 kN。如不计起重杆的重量,试求起重杆所受的力和绳子的拉力。解：1. 取杆 AB 与重物为研究对象 ，受力分析如图。2. 列平衡方程。3.联立求解。例题9 已知各杆均长 2.5 m，W= 20KN ，1= 120,2= 90,3= 150AO = BO= CO = 1.5 m. 求各杆受力。解：取 D 铰为对象，F = W，建立坐标系cos = 3/5 sin = 4/5Fx = 0 coscos60+ FB cos=0Fy= 0 FAcossin60- FC cos=0FZ= 0 FA sin+FB sin+FC sin-W=0FA =10.57KN FB =5.28KN FC =9.15KN 故三角架各杆受压。 例题10 如图轧路碾子自重 G = 20 kN，半径 R = 0.6 m，障碍物高 h = 0.08 m 碾子中心 O 处作用一水平拉力 F，试求: (1)当水平拉力 F = 5 kN时 ，碾子对地面和障碍物的压力 ；(2)欲将碾子拉过障碍物，水平拉力至少应为多大；(3)力 F 沿什么方向拉动碾子最省力，此时力 F 为多大。 解：1. 选碾子为研究对象，受力分析如图 b 所示。由已知条件可求得再由力多边形图c 中各矢量的几何关系可得2. 碾子能越过障碍的力学条件是 FA= 0 ， 得封闭力三角形abc。 由此可得3. 拉动碾子的最小力为 力偶系例题1 图示圆柱直齿轮，受到啮合力 Fn 的作用。试计算力 Fn 对于轴心 O 的力矩。解：Fn=1400N, =20，r=60mm解：MO(Fn)=Fnd=Fnr cos=7893NcmMO(Fn)= MO(Fn)+ MO(F)= MO(F)= Fnr cos例题2 一简支梁作用一力偶矩为 M 的力偶 ，不计梁重，求二支座约束力。（ AB = d ）解：以梁为研究对象因为力偶只能与力偶平衡，所以FA = FB又 M = 0 即 M + FAd = 0所以 FA = FB = M / d 例题3 如图所示的工件上作用有三个力偶。已知三个力偶的矩分别为：M1 = M2 =10 N.m， M3 = 20 N.m；固定螺柱 A 和 B 的距离 l = 200 mm 。求两个光滑螺柱所受的水平力。 解：选工件为研究对象FA = FB列平衡方程：M = 0 ，FA lM1 M2 M3 = 0FA = FB = 200 N 例题4 横梁 AB 长 l ，A 端用铰链杆支撑，B 端为铰支座。梁上受到一力偶的作用，其力偶矩为 M ，如图所示。不计梁和支杆的自重，求 A 和 B 端的约束力。 解：选梁AB为研究对象FA = FB列平衡方程：M = 0 ，M FA l cos45o = 0 FA = FB= 2M / l例题5 如图所示的铰接四连杆机构 OABD，在杆 OA 和 BD 上分别作用着矩为 M1 和 M2 的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知OA = r，DB = 2r，= 30，不计杆重，试求 M1 和 M2 间的关系。 解：分别取杆 OA 和 DB 为研究对象。FAB = FBA写出平衡方程： M = 0M1 FAB r cos = 0 M2+ 2FBA r cos = 0M2 = M1 / 2例题6 工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切削力偶矩均为 80 Nm 。求工件所受合力偶的矩在 x，y，z 轴上的投影 Mx ，My ，Mz ，并求合力偶矩矢的大小和方向。 解：将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到A点。 Mx = Mx = M3 M4 cos 45o M5 cos 45o = 193.1 NmMy = My = M2 = 80 NmMz= Mz = M1 M4 cos 45o M5 cos 45o = 193.1 NmM = Mx2 +My2 +Mz2 = 284.6 Nmcos (M, i) =MX/M=0.6786cos (M, j) =MY/M=0.2811cos (M, k) =MZ/M=0.6786例题6 图示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面各自作用着一个力偶。已知力偶（F1 ，F 1）的矩 M 1 = 20 Nm；力偶（F2， F 2 ）的矩 M 2 = 20 Nm；力偶（F3 ，F 3）的矩 M 3 = 20 Nm。试求合力偶矩矢 M 。又问使这个刚体平衡，还需要施加怎样一个力偶。 解：1.画出各力偶矩矢。2.合力偶矩矢 M 的投影。Mx = Mx = M1x + M2x + M3x = 0My = My = M1y + M2y + M3y = 11.2 NmMz = Mz = M1z + M2z + M3z = 41.2 Nm3.合力偶矩矢 M 的大小和方向。M = Mx2 +My2 +Mz2= 42.7 Nmcos (M, i) =MX/M=0 (M, i) = 90 ocos (M, j) =MY/M=0.262 (M, j) = 74.8 ocos (M, k) =MZ/M=0.965 (M, k) = 15.2 o4. 由 M = 0 M4 = M 为使这个刚体平衡，需加一力偶，其力偶矩矢为