等差数列、等比数列专题强化精练提能.doc

数列 第1讲 等差数列、等比数列专题强化精练提能 理
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d＝(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．3
C．6 D．7
解析：选B.S2＝2a1＋d＝4，S4＝4a1＋6d＝20，解得d＝3.
2．(2015·江西省质量监测)已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1<0，则正整数k＝(　　)
A．21 B．22
C．23 D．24
解析：选C.3an＋1＝3an－2⇒an＋1＝an－⇒{an}是等差数列，则an＝－n.因为ak＋1·ak<0，所以<0，所以<k<，所以k＝23，故选C.
3．(2015·洛阳市统考)设等比数列{an}的公比为q，则“0<q<1”是“{an}是递减数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选D.an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)，而a1的正负性未定，故无法判断数列{an}的单调性，因此“0<q<1”是“{an}是递减数列”的既不充分也不必要条件．
4．(2015·高考福建卷)若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选D.不妨设a>b，由题意得所以a>0，b>0，
则a，－2，b成等比数列，a，b，－2成等差数列，
所以所以所以p＝5，q＝4，所以p＋q＝9.
5．(2015·洛阳市双基测试)数列{an}满足an－an＋1＝an·an＋1(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝，且b1＋b2＋…＋b9＝90，则b4·b6(　　)
A．最大值为99
B．为定值99
C．最大值为100
D．最大值为200
解析：选B.将an－an＋1＝anan＋1两边同时除以anan＋1，可得－＝1，即bn＋1－bn＝1，所以{bn}是公差为d＝1的等差数列，其前9项和为＝90，所以b1＋b9＝20，将b9＝b1＋8d＝b1＋8，代入得b1＝6，所以b4＝9，b6＝11，所以b4b6＝99，故选B.
6．已知数列{an}，则有(　　)
A．若a＝4n，n∈N*，则{an}为等比数列
B．若an·an＋2＝a，n∈N*，则{an}为等比数列
C．若am·an＝2m＋n，m，n∈N*，则{an}为等比数列
D．若an·an＋3＝an＋1·an＋2，n∈N*，则{an}为等比数列
解析：选C.若a1＝－2，a2＝4，a3＝8，满足a＝4n，n∈N*，但{an}不是等比数列，故A错；若an＝0，满足an·an＋2＝a，n∈N*，但{an}不是等比数列，故B错；若an＝0，满足an·an＋3＝an＋1·an＋2，n∈N*，但{an}不是等比数列，故D错；若am·an＝2m＋n，m，n∈N*，则有＝＝＝2，则{an}是等比数列．
7．(2015·高考全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．
解析：因为a1＝2，an＋1＝2an，
所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．
又因为Sn＝126，所以＝126，所以n＝6.
答案：6
8．(2015·德州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－1，Sn＝2an＋n(n∈N*)，则an＝________．
解析：因为Sn＝2an＋n，①
所以Sn＋1＝2an＋1＋n＋1，②
②－①，可得an＋1＝2an－1，即an＋1－1＝2(an－1)，又因为a1＝－1，所以数列{an－1}是以－2为首项，2为公比的等比数列，
所以an－1＝(－2)·2n－1＝－2n，所以an＝1－2n.
答案：1－2n
9．(2014·高考广东卷)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．
解析：因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.
所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10ln e5＝50ln e＝50.
答案：50
10．已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)成立．数列{an}满足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2，则数列{an}的通项公式为an＝________．
解析：令x＝2，y＝2n－1，则f(xy)＝f(2n)＝2f(2n－1)＋2n－1f(2)，即an＝2an－1＋2n，＝＋1，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，由此可得＝1＋(n－1)×1＝n，即an＝n·2n.
答案：n·2n
11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，其中a1＝3，S5－S2＝27.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若Sn，2(an＋1＋1)，Sn＋2成等比数列，求正整数n的值．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则S5－S2＝3a1＋9d＝27，
又a1＝3，则d＝2，故an＝2n＋1.
(2)由(1)可得Sn＝n2＋2n，
又Sn·Sn＋2＝8(an＋1＋1)2，
即n(n＋2)2(n＋4)＝8(2n＋4)2，
化简得n2＋4n－32＝0，
解得n＝4或n＝－8(舍)，所以n的值为4.
12．已知α为锐角，且tan α＝－1，函数f(x)＝2x·tan 2α＋sin，数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝f(an)．
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)tan 2α＝＝＝1，
因为α是锐角，所以2α＝，
所以sin＝1，所以f(x)＝2x＋1.
(2)因为a1＝1，an＋1＝f(an)，所以an＋1＝2an＋1，
所以an＋1＋1＝2(an＋1)，＝2(常数)，
所以{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比q＝2的等比数列，
所以an＝2n－1.
13．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝3an＋2n.
(1)求证：数列{an－2}是等比数列；
(2)求数列的前n项和Tn.
解：(1)证明：由Sn＝3an＋2n，
得Sn＋1＝3an＋1＋2(n＋1)，
以上两式相减得an＋1＝3an＋1－3an＋2，
即an＋1＝an－1，
所以an＋1－2＝(an－2)．
又因为S1＝a1＝3a1＋2，
所以a1＝－1，a1－2＝－3.
故数列{an－2}是以－3为首项，为公比的等比数列．
(2)由(1)得an－2＝－3×，
所以an＝2－3×.
所以＝－，
所以Tn＝－＝－－.
14．(2015·日照模拟)若数列{bn}对于n∈N*，都有bn＋2－bn＝d(常数)，则称数列{bn}是公差为d的准等差数列，如数列{cn}，若cn＝则数列{cn}是公差为8的准等差数列．设数列{an}满足a1＝a，对于n∈N*，都有an＋an＋1＝2n.
(1)求证：{an}为准等差数列；
(2)求{an}的通项公式及前20项和S20.
解：(1)证明：因为an＋1＋an＝2n，①
所以an＋2＋an＋1＝2n＋2.②
由②－①得an＋2－an＝2(n∈N*)，
所以{an}是公差为2的准等差数列．
(2)已知a1＝a，an＋1＋an＝2n(n∈N*)，
所以a1＋a2＝2，即a2＝2－a.
所以由(1)可知a1，a3，a5，…，成以a为首项，2为公差的等差数列，a2，a4，a6，…，成以2－a为首项，2为公差的等差数列．
所以当n为偶数时，an＝2－a＋×2＝n－a，
当n为奇数时，an＝a＋×2＝n＋a－1，
所以an＝
S20＝a1＋a2＋…＋a19＋a20
＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)
＝2×1＋2×3＋…＋2×19＝2×＝200.

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