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圆锥曲线平行弦中点的轨迹
江夏一中 胡成波
直线与圆锥曲线是高中数学永恒的主题，本节我们探讨一下圆锥曲线中平行弦中点的轨迹。
例1. 已知：抛物线y=4x,斜率为2的直线与抛物线交于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程。
解：设中点M（x,y）, A(x,y), B (x,y)

设直线AB：y=2x+n
由得（2x+n）=4x
∴ 4x+4(n-1)x+n=0 y=4x
△ =16(n-1)-16n＞0 A(x,y)
∴n＜
x+ x=1- n
∴x= = B (x,y)
∴y=2．+n=1
∵ n＜ ∴ x=＞
∴所求轨迹方程为y=1(x＞)
此题的另一种解法：点差法
由 得（y+ y）（y-y）=4（x- x）
∴= ∴ 2= ∴y=1
再求解法知x＞ ∴所求弦AB中点M的轨迹方程为：y=1(x＞)
注：用点差法求弦中点的轨迹方程很简单，但不容易求出点的轨迹方程的定义域。
由例1知，抛物线y=4x的一组平行弦中点的轨迹在一条直线上，对于一般抛物线是否成立呢？我们现在来证明。不妨设抛物线y=4x（p＞0），直线y=kx+n,（其中k是常数，且k≠0，n是参数）直线与抛物线交点为A(x,y), B (x,y),AB 中点为M（x,y）
由得 kx+2knx+n=2px
∴kx+2(kn-p)x+ n=0
∴4(kn-p)-4 kn＞0
∴kn-2pkn+p- kn＞0
∴2kn＜p 推出 kn＜
∴x+ x=-=n
∴x==-=
∴y=kx+n=-+n=
∵kn＜ ∴ x=＞=
所求弦AB中点轨迹方程为=（x＞）在x 轴上，当弦AB斜率不存在时，弦AB中点都在一条直线上，由此可知：抛物线一组平行弦中点都在一条直线上，此结论对于其他圆锥曲线是否成立呢？我们以椭圆为例。
例2；已知椭圆+=1（a＞b＞0）.斜率为k（k≠0）的直线与椭圆交于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程。
解：设直线AB：y=kx+n(k＞0),A(x,y), B (x,y)弦AB中点M（x,y）
由 得:
∴
△=＞0
∴n＜
∴-＜n＜
-又x+ x=-
∴x==-
∴y=k．(-)+n=-
由 消去参数n得y=-
又∵-＜n＜
∴-＜x＜

所求中点M轨迹方程为y=-x(-＜x＜)
当直线AB斜率为0时，弦AB 中点M轨迹方程为x=0(-b＜y＜b), 当直线AB斜率不存在时，弦AB中点M轨迹方程为y=0(-a＜x＜a).由此可知：椭圆一组平行线中点弦的轨迹在一条直线上，并且这条直线的斜率存在，则斜率为-
此题也可用点差法求弦中点的轨迹。过程如下：
由 得

当x= x时，弦AB中点M轨迹方程为y=0(-a＜y＜a)
当y=y时，弦AB中点M轨迹方程为x=0(-b＜y＜b)
当x≠x且y≠y时=-
∴k=-． ∴y=-
再由方法一求出x的取值范围。
让大家由练习观察：
练习1：已知双曲线-=1，斜率为1 的直线与双曲线交于A，B两点，求弦AB中点M的轨迹方程。
练习2： 已知双曲-=1，斜率为1 的直线与双曲线交于A，B两点，求弦AB中点M的轨迹方程。
练习1答案： y=2x(x∈R), 练习2答案: y=(x＞2或x＜-2)
此结论对于双曲线也是成立的
结论： 双曲线与斜率为k（k≠0）的直线交于A,B两点，弦AB中点轨迹方程为：y= 定义域留给大家研究。