量子力学典型例题分析解答1.doc

量子力学例题
第二章                              
一．求解一位定态薛定谔方程
1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数
[解] 薛定谔方程:

         当  ,      故有

        利用波函数在    处的连续条件
由  处连续条件:   
由  处连续条件:   

给定一个n 值,可解一个 ,  为分离能级.
2．   粒子在一维 势井中的运动     
求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数
[解]体系的定态薛定谔方程为

当 时

对束缚态     
解为

在  处连续性要求

将  代入得 

又 

相应归一化波函数为:

归一化波函数为:

3           分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为

    求束缚态的能级所满足的方程
[解] 束缚态下粒子能量的取值范围为  
当  时      
当  时      
     薛定谔方程为

令 

     解为

     当  时  

令 
     解为

当  时  
     薛定谔方程为

     令  
薛定谔方程为

解为

由  

     波函数满足的连续性要求,有

     要使  有非零解  不能同时为零
     则其系数组成的行列式必须为零

     计算行列式,得方程

例题
主要类型: 1.算符运算;  2.力学量的平均值;   3.力学量几率分布.
一.  有关算符的运算
1.证明如下对易关系
(1)              
(2)  
(3)   
(4)   
(5)                                                      
[证]
                     (1)            
(2)             

(3)             

一般地,若算符 是任一标量算符,有        
(4)         

       一般地,若算符 是任一矢量算符,可证明有

(5)

=0
同理： 。
2.      证明哈密顿算符为厄密算符
[解]考虑一维情况

为厄密算符, 为厄密算符, 为实数

为厄密算符         为厄密算符
3已知轨道角动量的两个算符 和 共同的正交归一化本征函数完备集为 ,
         取: 试证明:   也是 和 共同本征函数, 对应本征值
        分别为: 。
         [证]
。
    是 的对应本征值为   的本征函数

                是 的对应本征值为  的本征函数
又:

       可求出:

二.有关力学量平均值与几率分布方面
1.        (1)证明  是 的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在 态中的平均值
[解]         

即              
是 的本征函数。本征值

2.      设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数

      描写。求粒子能量的可能值相应的概率及平均值
                【解】       
宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数

注意:是否归一化波函数
            能量本征值              

出现 的几率   ,         出现 的几率
能量平均值          

另一做法

  3 .一维谐振子在 时的归一化波函数为
         所描写的态中式中，式中 是谐振子的能量本征函数，求（1） 的数值；2）在 态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3） 时系统的波函数 ；（4） 时能量的可能值相应的概率及平均值
        [解](1)  ,   归一化， ，
，
（2） ，
， ；                   ， ；
， ；   

（3） 时，
             所以：
时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）。
4．   设氢原子处于状态     

求氢原子的能量,角动量平方以及角动量z分量的可能值,这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
      [解]   能量本征值           
                能量本征态           
               当n=2 时                  

                               本征值为的

， 出现的几率为100％
   可能值为 出现的几率分别为： 。

      5 . 在轨道角动量 和 共同的本征态 下,试求下列期望值
            (1). ;  (2) .
           [解]：

 三    测不准关系
1. 粒子处于状态 式中 为常数,求粒子的动量的平均值,并计算测不准关系
[解]先归一化

(1)  动量平均值

(2)

(3)

附:        
常用积分式：
（1）
（2）
（3）
第四章　　例题
1．力学量的矩阵表示
由坐标算符的归一化本征矢 及动量算符 构造成算符 和

试分别：1）. 求 和 在态 下的期望值；2）. 给出 和 的物理意义
【解】（1）. 设态矢 已归一化    

     （粒子位置几率密度）
（2）
   （利用   化到坐标表象）

又： , 
上式

2.试证明：由任意一对以归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符 （1）. 是厄密算符，（2）. 有 ，（3）. 的本征值为0和1
【证】（1）. 厄密算符的定义 

   为厄密算符
(2)    已归一化  

（3）. 由 的本征值方程
, 
又：
即：       

（本题主要考查厄密算符概念，本征值方程，狄拉克符号的应用）
3.分别在坐标表象，动量表象，能量表象中写出一维无限深势井中（宽度 ）基态粒子的波函数。（本题主要考查波函数在具体表象中的表示）
【解】  所描述的状态，基态波函数
（1）. 在x表象：

（2）. 动量表象：

（3）. 能量表象

同样一个态在不同表象中的表示是不同的，不同的表象是从不同侧面来进行描述的.
4.取 和 的共同表象，在 角动量空间中写出 , , 的矩阵（本题主要考查算符矩阵的求法  ）
【解】   , 的共同本征函数为       

在  空间                  
（1）.     , 

同样

（2）       
利用: 
利用正交归一条件: 

同样

（3） 
利用:       
矩阵: 
矩阵:   
5.已知体系的哈密顿量  , 试求出
（1）. 体系能量本征值及相应的在 所在的表象的正交归一化的本征矢组.
（2）.将 对角化，并给出对角化的么正变换矩阵
【解】
（1）. 久期方程  
解之      , 
设正交归一的本征矢   

对应于        

本征矢              归一化  
对应归一本征矢    
同样  :                    
      :              
即为 的本征函数集
（2）. 对角化后，对角元素即为能量本

转换矩阵为

6．  证明：将算符矩阵 对角化的转换矩阵的每一列对应于算符的一个本征函数矢量。
【证】    算符的本征矢：       
则 F算符在自身表象中为一对角矩阵：
对另一表象力学量的本征矢   

的本征矢
       7. 为厄密算符。       ① 求算符 的本征值，           ②在A 表象下求算符 的矩阵表示。
      [解]：①      设 的本征值为 ,本征函数为 ,
             则          
             又             
                           同理算符 的本征值也为 .
②            在A表象，算符 的矩阵为一对角矩阵,对角元素为本征值，即
                   设
利用   

          B为厄密算符
即              

又              

     取：       

第五章                         例题
重点：微扰论
1．   一根长为 ，无质量的绳子一段固定于支点，另一端系质量为的 质点 ，在重力作用下，质点在竖直平面内摆动。i) 在小角近似下，求系统能级；ii) 求由于小角近似的误差产生的基态能量的一级修正。
   解：i )   势能：
   系统的哈密顿量

   在小角近似下:

   ii )若不考虑小角近似

   又

   利用公式
,     

   同样

2. 一维谐振子的哈密顿量为 ，假设它处于基态，若在加上一个弹力作用 ，使用微扰论计算 对能量的一级修正，并与严格解比较。     
   解：i )       

     , 

又

ii) 严格解

   发生了变化

3．   已知体系的能量算符为 , 其中 , 为轨道的角动量算符。（1）求体系能级的精确值。（2）视 项为微扰项，求能级至二级近似值。
[解]：i) 精确解
令 ， 并在 平面上取方向 ：
与z轴的夹角为 ， 则      

与 相互对易，它们的本征值分别为

体系能级为

ii)微扰法

的精确解为    本征函数 
                 本征能量 
按微扰论   
利用了公式

能量二级修正为

 在二级近似下 

4．   三维谐振子，能量算符为 ，试写出能级和能量本征函数。如这振子又受到微扰 ， 的作用，求最低的两个能级的微扰修正。并和精确值比较。
[解]：
（1设 的能量本征函数为
   代入方程  

(2).基态的微绕修正
对基态  波函数
基态能级的零级   , 无简并

能量的二级修正:
唯一不等于零的矩阵元为

(3).第一激发态
                     三度简并
   计算 不为零的矩阵元为

   久期方程       
   可求出能量的一级修正            
(4).精确解

   令                 

   基态         
   第一激发态       

5．设粒子的势能函数 是坐标的n次齐次函数，  即   试用变分法证明，  在束缚态下，动能T及势能V的平均值满足下列关系 （维里定理）
   [证] 设粒子所用的态用归一化波函数 描写 则

   取试态波函数为

   由归一化条件

   当 时，试态波函数即是粒子所处的束缚态波函数。
   应在 时， 取极值

6.   氢原子处于基态，加上交变电场 ,  电离能,用微扰论一级近似计算氢原子每秒离几率。
[解]：解这一类问题要搞清楚三个要素，初态末态是什么？微扰矩阵元 ?
初态：氢原子基态           
末态:  自由状态 

为能量为 ,   在单位立体角的末态密度。
微扰            

7． 转动惯量为 I, 电偶极矩为 D的平面转子，置于均匀场强E（沿x方向）中，总能量算符成为 ,    为旋转角(从x轴算起）如果电场很强， 很小，求基态能量近似值。
[解]：方法一 

与一位谐振子的能量本征方程 比较
有             

方法二  用变分法，取归一化的试探波函数

所得结果与方法二一致。
8．设在 表象中， 的矩阵表示为

   其中 ,  试用微扰论求能级二级修正
   [解]：在 表象中，

第六章                          例题
1.有关泡利矩阵的一些关系的证明（注意应用一些已知结论）
1). ;  (2). ;
(3). ;
(4).设  则 ， .
【证】
（1）.    

(2).  

(3).

(4).

2． 证明：   并利用此结论求 本征值
【证】

设 的本征函数为
则   

又  
       ,  ,
3． 设为 常数，证明
【证】  将 展开成 的幂级数，有

  ，  为偶数 ；  为奇数
 上式

4． 求自旋角动量在任意方向 （方位角为 ）的投影的本征值及本征矢（在 表象）， 
【解】   在 表象中
，  ，  
  在 表象中的矩阵表示为

设 的本征值为 ，相应本征矢为 ，本征方程为
＝
解久期方程
，   
将 代入本征方程

由归一化条件       

  对应的本征矢为 
同样： 对应的本征矢为
通过本题讨论我们发现， 的本征值为 ，自旋算符 在任意方向上的分量 的本征值也是 。也进一步推广，对任一种角动量算符 ，如有 的本征值为 ， 的本征值为 则 在任意方向上的分量 的本征值的可能值也为 。
5．  有一个定域电子（不考虑轨道运动）受均匀磁场作用，磁场指向正 方向，磁作用势为 ，设 时电子的自旋向上，即 求 时 的平均值。
[解]  设自旋函数 在表象中      
     体系的哈密顿算符可表示为           
 则自旋态所满足的薛定谔方程为

 同理             

又 ，         自旋             

 再由    
     即      

6． 在自旋态 中，求 
【解】     

同理  

7． 已知电子的态函数为
   其中 已归一化 ，
求（1）.同时测量 为 ， 为 的几率。
  （2）.电子自旋向上的几率。
  （3）. 和 平均值。
[解]首先验证态函数是否归一化 [erfwfff1]

 ① 同时测量 为 ,  为 的几率
② 电子自旋向上的几率：
③    

8． 考虑由两个相同粒子组成得体系。设可能的单粒子态为 ，试求体系的可能态数目。分三种情况讨论（1）。粒子为玻色子;（2）粒子为费米子;（3）粒子为经典粒子.
[解] ①玻色子构成的系统，系统态函数必须是对称的
a. 如两个粒子处于同一单粒子态:  共三种
b.如两个粒子处于不同一单粒子态   对称的波函数为

共三种,因而，对玻色子可能态数为六种，
① 费米子构成的系统，系统态函数必须是反对称的
     全同费米子不能处于同一态上（泡利原理）.反对称波函数的形式只能是

共三种.
② 对经典粒子，全同粒子是可区分的，粒子体系波函数没有对称性要求，波函数形式只要求  都可以）
的有三种，   的有六种的共九种。
9．  试写出自旋 的两个自由电子所构成的全同体系的状态波函数。
[解] 自旋 的两电子构成的是费米子体系 ， 体系状态的波函数是反对称的

每个电子处于自由状态，单电子的状态波函数为平面波

它们所构成的对称波函数形式为

它们所构成的反对称波函数形式为

二电子体系的自旋部分的对称或反对称波函数为：

总的波函数：

10．         证明： 组成正交归一系。
      [证]① 
          ② 

         ③ 
11．         两个自旋为 的粒子有磁相互作用，设它们的质量很大，动能可以忽略，
        求此系统的所有能量本征值和本征函数。
     [解]           

        对两个自旋为 的系统，总自旋量子数     
        对     的本征函数为    本征值为
        能量本征值  
        对     的本征函数