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椭圆的两个不变量在解题中的应用
圆锥曲线中椭圆算是在考试中出现频率最高的圆锥曲线，而关于椭圆本身存在很多的不变量，下面我们来讨论椭圆的两个比较有趣的不变量，而且计算该不变量的方法以及不变量本身都在题目相当的实用。
不变量：设椭圆方程为 ，在椭圆上有两个动点，，为坐标原点，且满足,则为定值，并且原点到直线的距离也是定值．
证明：设，因为，不妨设向量逆时针旋转90度到向量这样的话我们有，设，，则，的坐标分别是
，，，在椭圆上将坐标代入方程可得，即
，变形得
，两式相加得（定值）
原点到直线的距离=，根据可知，即，两边开方得（定值）
其实这两个不变量可以看做是一个不变量，下面我们就来看看这两个不变量在解题中的精彩应用．
题目一：（2010陕西卷）如图，椭圆的顶点为 ，焦点为 ，
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设n是过原点的直线，是与n垂直相交于F点、与椭圆相交于A,B两点的直线，||=1，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
解：
（I）
由知， ①
由知a=2c， ②
又 ， ③
由①②③解得，
故椭圆C的方程为
（II）假设这样的直线存在，根据||=1，，可得，这样由前面的“不变量”可知道因此假设不成立．
题目二：设椭圆方程为 ，在椭圆上有两个动点，，为坐标原点，且满足，过点作直线的垂线，交于点，求点的轨迹．
解：这个题目我们当然可以设直线方程然后解交点，这样不免麻烦而且计算量大不划算，当我们掌握了上述的两个不变量后，我们很容易知道是一个定长，很自然的点的轨迹就是圆．
题目三：椭圆 的左，右焦点分别为是椭圆上的一点，,原点到直线的距离为．
（1） 证明;
（2） 求使下面命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点则
解：（1）因为原点到直线的距离为，则,不妨设，因为，故，,即，，很容易知，即
（2）第二问看起来是相当的复杂，其实质就是题目二中点的轨迹问题，说穿了就是“不变量”，就是我们需要的结果．
题目四：已知椭圆的中心在原点，焦点在上，直线与椭圆交于， 两点，，．
（1） 求椭圆的方程；
（2） 若，是椭圆上两点满足，求的最小值．
解：（1）第一问基本方法联立直线与椭圆根据，建立等式，可求得椭圆的方程为．
（2）设,根据“不变量”我们可知=
则，立马可知，这样可知的最小值为．
注：掌握这两个“不变量”就可以解决椭圆中这一类的问题，而且只要出现这类问题用这两个“不变量”是一定可以解决的，这样既避免了计算的复杂度，而且我们看问题站在了另外一个高度，这样足以提高我们的解题能力！希望广大考生好好总结合研究！