勾股定理集体备课.doc

勾股定理集体备课
参与人员：朱卫根、张瑞华、戴苏玲、隆益兰
时间：2009年9月28、29日
主备人：张瑞华
修改：9月30日—10月8日
使用：10月9日
教学媒体辅助：多媒体教学
本课教学目标：
1.能说出勾股定理，并能应用勾股定理解决简单问题。
2.经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合的思想。
3.经历用多种拼图方法验证勾股定理的过程，发展用数学的眼光观察现实世界和有条理地思考与表达的能力，感受勾股定理的文化价值。
教学过程设计建议：
1.情境创设：从邮票入手，引入直角三角形中边的关系
2.探索活动：通过拼图，图形的割补导出勾股定理的表达式
3.例题教学：通过实际问题体验用勾股定理解决问题

表1 新课程背景下初中数学课堂教学有效性的设计研究
教学总体规划表（供上课教师用）
学校： 吴江经济开发区实验初级中学
授课班级： 初二年级
上课时间：2009年10月9日
章节名称
勾股定理（第一课时）
计划学时
4-5
教学内容分析（地位、作用等）
勾股定理是中学数学几个重要定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，既是直角三角形性质的拓展，也是后续学习“解直角三角形”的基础.它紧密联系了数学中两个最基本的量——数与形，能够把形的特征（三角形中一个角是直角）转化成数量关系（三边之间满足a2+ b2= c2）堪称数形结合的典范，在理论上占有重要地位.

学生情况分析
针对初二年级学生的知识结构和心理特征，采用探究式教学，提供适当的问题情境，给学生自主探究交流的空间，引导学生有方向性地探索。这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效的激发学生的思维积极性。
教学目标
课程标准：介绍勾股定理的发现史，进一步了解勾股定理的数学价值和东西方数学文化；通过运用构图方法推导勾股定理，培养创造性思维的习惯和能力。

知识与技能：理解并掌握勾股定理及其证明和简单应用。
过程与方法：在学生经历“观察—猜想—归纳—验证”勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想。
情感态度价值观：通过对勾股定理历史的了解,感受数学文化，激发学习兴趣；在探究活动中，培养学生的合作交流意识和探索精神。
教学重点与解决措施
探索勾股定理及其验证过程和它的简单应用。
从特殊到一般进行探索。
教学难点与解决措施
用割补法探索正方形的面积及拼图方法证明勾股定理。
通过合作交流，动手操作。
教学设计思路
把学生的探索和验证活动放在首位，一方面要求学生在教师引导下自主探索，合作交流，另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识.基本教学流程是：揭示课题——探索结论——归纳结论——验证结论——初步应用结论——应用结论解决实际问题。

理论依据
荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为，学习数学唯一正确的方法是实现再创造.也就是由学生本人把要学习的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生。
信息技术应用分析
知识点
学习水平
媒体内容与形式
使用方法
使用效果
正方形R中有多少个小方格？
了解
图象动画
动画演示
好
正方形P、Q、R面积间有何关系？
掌握
图象
展示图片
好
勾股定理
掌握并运用
文本
投影
好
可续表

表2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
新课程背景下初中数学课堂教学有效性的设计研究
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　教学过程分析表（供开课教师、听课教师用）
教学环节
教学过程
设计意图
计划时间
师生活动
专家点评
自我反思
活动1复习旧知→引入新知

活动2 创设情景→发现新知

活动3 深入探究→交流归纳

活动4 拼图验证→加深理解

活动5 实践应用→拓展提高

活动6：回顾小结→整体感知

活动7：布置作业→巩固加深

这是什么图形？你对直角三角形已经有了哪些认识？
直角三角形是特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，还有它的特殊性质。今天，我们一起探索直角三角形三边之间的特殊关系。

这是1955年希腊发行的一枚纪念邮票。是为纪念一个著名的定理而设计的。现在我们把中间部分放大移出。
看：中间是一个直角三角形，绕着它的是以这个直角三角形三边为边的正方形。试观察：三个正方形中小方格的数目及它们的关系。

为了进一步研究，把图案放在方格纸上。
⒈如图：每个小方格的面积记作1，△ABC是以格点为顶点的直角三角形，分别以△ABC的三边为边向形外作正方形。
⑴你能说出正方形P,Q的面积吗？
⑵你能计算以AB为边长的正方形R的面积吗？
⑶你能发现正方形P、Q、R面积之间的关系吗？
⑷你能猜测直角三角形ABC三边之间的关系吗？能不能把你的猜测用语言表示出来？
A
B
C
P
Q
R

这是“补”的方法
这是“割”的方法

A
B
C
Q
R
P
⒉一般情况下，顶点A的对边长为a，顶点B的对边长为b，顶点C的对边长为c。则我们还可以把这一猜测表述为：若直角三角形两直角边长分别为a,b，斜边长为c，则a2+b2=c2
我们探索出边长为3、4、5的直角三角形有这样的性质。其实，对于任何一个直角三角形三边都有这样的关系。

⒈请同学们拿出准备好的四个完全相同的直角三角形。设每个直角三角形的两直角边长为a,b，斜边长为c。
⑴你能用它们拼成如图形状的图形吗？

⑵想想，大正方形的面积如何表示？在老师的指导下，学生自行完成勾股定理的验证。
因此，只要是直角三角形，其三边总有这样的关系。直角三角形三边这一特殊关系就是勾股定理的内容。
⒉介绍勾、股、弦。
（定理命名）结合本节内容给出定理的概念.向学生介绍我国是最早发现勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载：公元前1100年人们已经知道“勾广三，股修四，径隅五”. 把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦. 将此定理命名为勾股定理.

勾

股

1.请求出下列各图中的未知数x、y的值.

2.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°
⑴若a=6,b=8，求：c
⑵若a=9，c=15,求：b

3．如图，学校有一块长方形草地，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草地内走出了一条“路”。他们仅仅少走了_______步路（假设2步为1米）却踩伤了花草。

4.已知：直角三角形中有两条边的长为5和12，求第三边的长。

通过本堂课的学习，你对直角三角形又有了什么新的认识？还有什么收获吗？

⒈ 其实勾股定理的验证方法有数百种。这是2002年在我国北京召开第24界国际数学家大会，这就是大会的会标。早在我国汉代，数学家赵爽就用它来验证了勾股定理。请同学们也用此图试试，并课后探索更多的验证方法。

⒉ 书本第45、46练习47页第1、2题。（必做题）

通过复习直角三角形的有关知识，自然引出本节课的课题.

学生通过直接数三个正方形中小方格的个数，得出两个较小正方形中小方格的数目和正好等于较大正方形中小方格的数目。初步发现其中隐藏的规律并为下面的深入探究做了准备。

为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用；通过观察、分析、猜测等一系列活动培养学生合作交流能力及探索问题的能力，
使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高.

让学生动手操作，亲身体验勾股定理的探索与验证，使学生对定理的理解更加深刻，体会数形结合思想，发展创造性思维能力.
由传统的数学课堂向实验的数学课堂转变.

对学生进行爱国主义教育，增强学生的民族自豪感.

补充课堂练习，让学生对本节课的知识进行最基本的运用，为下节课勾股定理的应用做好铺垫.

培养学生仔细审题的习惯和分类讨论的思想。

学生通过对学习过程的小结，领会其中的数学思想方法；通过梳理所学内容，形成完整知识结构，培养归纳概括能力.

再一次增强学生的民族自豪感。针对学生认知的差异设计了有层次的作业题，既使学生巩固知识，形成技能，又使学有余力的学生获得最佳发展.

教师出示直角三角形图片.
学生观察图片发表见解.
教师可作补充说明：
教师应重点关注：
（1）学生的注意力程度；
（2）学生对直角三角形的了解程度.

教师展示图片，提出问题.
学生独立观察图形，分析思考其中隐藏的规律.

教师出示图片.
学生独立观察并计算各图中正方形P、Q、R的面积并回答问题.
教师参与小组活动，指导、倾听学生交流.针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积.
学生分组交流，展示求面积的不同方法，如：在正方形R周围补出四个全等的直角三角形而得到一个大正方形，通过图形面积的和差，得到正方形R的面积.或者，将正方形R分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，求得正方形R面积.
学生通过观察有条理地呈现数据，归纳得到：正方形P、Q的面积之和等于正方形R的面积.
从而探索出三边为3、4、5这样的直角三角形有：两直角边的平方和等于斜边的平方.
师生共同讨论、交流、逐步完善，得到命题1:如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为 c，那么a2+b2=c2
教师应重点关注：
学生能否主动参与探究活动，在讨论中发表自己的见解，倾听他人的意见，对不同的观点进行质疑，从中获益.

教师展示图片，提出问题.
学生观察图形可得：大正方形面积的两种算法. 再由代数恒等变形能得到a2+b2=c2，即验证了命题1.
有的学生会盲目动手，如拼成菱形、长方形，梯形等。
引导学生拼图的关键是：构造以a、b的和为边长的正方形或以c为边长的正方形.
鼓励学生代表作示范演示，展示拼接的过程.
教师应重点关注：
（1）学生能否进行合理的拼接，对不同层次的学生有针对性地给予分析、帮助；
（2）学生能否用语言准确地表达自己的观点.

练习2是求直角三角形中未知边的长度，提示学生分清直角边和斜边，再将值代入a2+b2=c2求解并由教师板书，要求书写规范. 归纳出： 已知直角三角形任意两边，能求第三边.

练习3是在练习2的基础上运用勾股定理解决简单实际问题.提示学生构建直角三角形模型。

学生谈体会.
教师进行补充.
教师应关注学生是否能从不同方面谈感受.

勾股定理第一课时作业设计
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=________。
2．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
3．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　）
A、25 B、14 C、7 D、7或25
4. Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（　　）
A、121 B、120 C、132 D、不能确定
5.如果Rt△两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（　　）
A、60∶13 B、5∶12 C、12∶13 D、60∶169
6.如果Rt△的两直角边长分别为n2－1，2n（n>1），那么它的斜边长是（　　）
A、2n B、n+1 C、n2－1 D、n2+1
7.已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）
A、24cm2 B、36cm2 C、48cm2 D、60cm2
8.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（　　）
A、56 B、48 C、40 D、32
9. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。
A
B
C
D

7cm

10. 如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b.利用这个图试说明勾股定理?
C