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线性相关和回归赵耐青在实际研究中，经常要考察两个指标之间的关系，即：相关性。现以体重与身高的关系为例，分析两个变量之间的相关性。要求身高和体重呈双正态分布，既：在身高和体重平均数的附近的频数较多，远离身高和体重平均数的频数较少。样本相关系数计算公式(称为Pearson相关系数)：(1)1. 考察随机模拟相关的情况。显示两个变量相关的散点图程序simur.ado（本教材配套程序,使用见前言）。命令为simur 样本量 总体相关系数 如显示样本量为100，r=0的散点图本例命令为simur 100 0如显示样本量为200，r=0.8的散点图本例命令为simur 200 0.8如显示样本量为200，r=0.99的散点图本例命令为simur 200 0.99如显示样本量为200，r=-0.99的散点图本例命令为simur 200 -0.99例1. 测得某地15名正常成年男子的身高x（cm）、体重y（kg）如试计算x和y之间的相关系数r并检验H0：r0 vs H1: r0。a=0.05数据格式为XY171.058.0176.069.0175.074.0172.068.0170.064.0173.068.5168.056.0172.054.0170.062.0172.063.0173.067.0168.060.0171.068.0172.076.0173.065.0Stata命令 pwcorr 变量1 变量2 变量m，sig本例命令 pwcorr x y,sigpwcorr x y,sig | x y-+- x | 1.0000 | | y | 0.5994 1.0000 | 0.0182 |Pearson相关系数=0.5994，P值=0.0182 |t| = 0.0080stata计算结果与手算的结果一致。结论为身高与体重呈正相关，并且有统计学意义。直线回归例2 为了研究3岁至8岁男孩身高与年龄的规律，在某地区在3岁至8岁男孩中随机抽样，共分6个年龄层抽样：3岁，4岁，8岁，每个层抽10个男孩，共抽60个男孩。资料如下：60个男孩的身高资料如下年龄3岁4岁5岁6岁7岁8岁身高92.596.5106.0115.5125.5121.597.0101.0104.0115.5117.5128.596.0105.5107.0111.5118.0124.096.5102.0109.5110.0117.0125.597.0105.0111.0114.5122.0122.592.099.5107.5112.5119.0123.596.5102.0107.0116.5119.0120.591.0100.0111.5110.0125.5123.096.0106.5103.0114.5120.5124.099.0100.0109.0110.0122.0126.5平均身高95.4101.8107.6113.1120.6124.0由于男孩的身高与年龄有关系，不同的年龄组的平均身高是不同的，由平均身高与年龄作图可以发现：年龄与平均身高的点在一条直线附近。考虑到样本均数存在抽样误差，故有理由认为身高的总体均数与年龄的关系可能是一条直线关系，其中y表示身高，x表示年龄。由于身高的总体均数与年龄有关，所以更正确地标记应为表示在固定年龄情况下的身高总体均数。上述公式称为直线回归方程。其中b为回归系数（regression coefficient），或称为斜率（slope）；a称为常数项（constant），或称为截距（intercept）。回归系数b表示x变化一个单位y平均变化b个单位。当x和y都是随机的，x、y间呈正相关时b0，x、y间呈负相关时b F = 0.0000 Residual | 447.467619 58 7.71495895 R-squared = 0.9306-+- Adj R-squared = 0.9294 Total | 6445.18333 59 109.240395 Root MSE = 2.7776- y | Coef. Std. Err. t P|t| 95% Conf. Interval-+- x | 5.854286 .2099654 27.88 0.000 5.433994 6.274577 _cons | 78.18476 1.209202 64.66 0.000 75.76428 80.60524-得到回归系数b=5.854286，常数项a=78.18746，回归系数的检验统计量tb=27.88，P值0.0001，可以认为Y与X呈直线回归关系。来源平方和SS自由度df均方MSFP值回归5997.7157115997.71571777.41chi2-+- e | 0.459 0.441 1.18 0.5534P值=0.55340.05，可以认为残差呈正态分布。所建立的回归方程是否有意义，仅凭借假设检验的结论或R2的大小还不能充分说明问题。残差的大小直接反应回归方程的优劣，经常采用图示的方法，以e做纵轴，为横轴作图来考察残差的变化，如果残差比较均匀地散布在e=0的周围，没有明显的散布趋势和明显的离群点，则说明所建回归方程比较理想，否则要借助统计软件做进一步诊断。graph 残差 预测值本例 graph e yy说明残差比较均匀地散布在e=0的周围，没有明显的散布趋势和明显的离群点，故说明所建回归方程比较理想。