第一章计数原理.doc

1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
问题导学
一、分类加法计数原理的应用
活动与探究1
某校高三共有三个班，各班人数如下表．

男生人数
女生人数
总人数
高三(1)班
30
20
50
高三(2)班
30
30
60
高三(3)班
35
20
55
(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法；
(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
迁移与应用
1．(2013山东济宁模拟)一个科技小组有3名男同学，5名女同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有__________种．
2．家住济南的小明同学向往北京的故宫、长城，准备暑假去参观旅游，从泉城济南到北京一天中有飞机早、中、晚3个航班，动车组有4个班次，汽车有8个不同班次．则小明乘坐这些交通工具去北京有__________种不同的方法．

分类加法计数原理是涉及完成一件事的不同方法的计数种类，每一类中的各种方法都是相互独立的，且每一类方案中的每一种方法都可以独立地完成这件事，在应用该原理解题时，首先要根据问题的特点，确定好分类的标准．分类时应满足：完成一件事的任何一种方法，必属于某一类且仅属于某一类．
二、分步乘法计数原理的应用
活动与探究2
(1)现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是(　　)
A．56 B．65
C． D．6×5×4×3×2
(2)已知a{1,2,3}，b{4,5,6,7}，r{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数为(　　)
A．9 B．12
C．8 D．24
迁移与应用
1．某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项限报1人，则这3名学生的参赛的不同方法有(　　)
A．24种 B．48种
C．64种 D．81种
2．图书馆有8本不同的有关励志教育的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有__________种不同的分法．

利用分步乘法计数原理计数的一般思路是首先考虑这件事要经过哪几个步骤才能完成，然后找出每一步中有多少种不同的方法，最后求其积，但应注意各个步骤是既相互独立又密切相关的，都完成后，才能完成整件事．
三、两个计数原理的综合应用
活动与探究3
王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读．
(1)若他从这些参考书中带1本去图书馆，有多少种不同的带法？
(2)若带外语、数学、物理参考书各1本，有多少种不同的带法？
(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？
迁移与应用
1．电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，则不同的选择有__________种．
2．集合A＝{1,2，－3}，B＝{－1，－2,3,4}，从A，B中各取1个元素，作为点P(x，y)的坐标．
(1)可以得到多少个不同的点？
(2)这些点中，位于第一象限的有几个？

1.2.1 排列（一）
【学习目标】
1. 理解排列的意义，能够识别出排列问题
2. 会通过画树形图写出一个排列中的全部排列
3．会建立数学模型推导出排列数公式
【自主学习】
1．只有问题与元素的位置有关，才是排列问题。
2．排列数公式的推导方法是什么？
3．排列数公式的限制条件是什么？
4.如何利用类比、概括以及构建数学模型解决相关问题？
【典型例题】
例1.某年全国足球中超联赛共有12个队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？

例2.用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

例3.某信号兵用红、黄、蓝3面旗挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？
1.2.1 排列（二）
【学习目标】
1. 能够把具体问题转化为排列问题；
2．掌握带有约束条件排队问题的处理策略.
【自主学习】
1．如何解决如下类型： ⑴某些元素不能在或必须排在某一位置；⑵某些元素要求连排（即必须相邻）；⑶某些元素要求分离（即不能相邻）？
2．什么是优先处理特殊元素（位置）法？
3.什么情况用“捆绑法”？
4. 什么情况用“插空法”？
【典型例题】
例1.3个女生和5个男生排一排：
（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同排法？
（2）如果女生必须全分开，有多少种不同排法？
（3）如果两端都不排女生，有多少种不同排法？

例2．8个人排成前后两排，每排4人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在后排，则共有多少种不同的排法？

1. 2. 2 组合（一）
【学习目标】
1 理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；
2.正确认识组合与排列的联系与区别 .
【自主学习】
1．什么是组合数？
2．组合数公式的推导过程是什么？
3．组合数公式的限制条件是什么？
4. 组合数公式与排列有什么关系？
【典型例题】
例1.（1）写出由五个元素a、b、c、d、e中任取三个元素的所有组合,并求出其组合数.
（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？

例2.计算：（1）； （2）；

例3.求证：

【总结提升】1.掌握组合及组合数的定义，理解组合模型特征，会用组合模型解决符合组合问题特征的实际问题；
2.组合和排列是两个不同的数学模型，应用时注意区分两者的特征，排列选出的个元素讲究顺序，而组合选出的个元素是不讲究顺序的，但二者之间也是有联系，排列可以看成是先选出个元素，再排列顺序，其中选出个元素的过程恰是组合的过程.

【学习目标】
1 理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；
2.正确认识组合与排列的联系与区别 .
【自主学习】
1．什么是组合数？
2．组合数公式的推导过程是什么？
3．组合数公式的限制条件是什么？
4. 组合数公式与排列有什么关系？
【典型例题】
例1.（1）写出由五个元素a、b、c、d、e中任取三个元素的所有组合,并求出其组合数.
（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？

例2.计算：（1）； （2）；

例3.求证：

1.2.2 组合（二）
【学习目标】
1. 掌握组合数的两个性质，并能运用组合数的性质进行化简；
2. 进一步理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式，并且能够运用公式解决一些简单的应用问题。
【自主学习】
1. 如何判断一个具体问题是否为组合问题？
2. 如何在应用组合数公式和性质进行计算和证明的过程中注意公式成立的条件？
3.在组合数的性质1的构造事件证明过程中需要注意什么？
【典型例题】
例1. 一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，
（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

例2.（1）计算：；
（2）计算：和

例3. 解方程：（1）； （2）解方程：

1.2.3 组合（三）
【学习目标】
1 进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；
2．能够解决一些组合应用问题，提高合理选用知识的能力
【自主学习】
1.如何准确把握组合问题的特征——无序性？
2.排列、组合问题要解决什么问题？需要在分析问题时要根据实际情况，怎么做事？怎么分析？
3. 如何解决排列组合综合问题？

【典型例题】
例1．100件产品中，有98件合格品，2件次品从这100件产品中任意抽出3件．
（1）一共有多少种不同的抽法；
（2）抽出的3件都不是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
（4）抽出的3件中至少有1件是次品的取法有多少种？

例2．从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？

1.3．1排列与组合(一)
【学习目标】
1.掌握排列组合常见的题型及解题方法，能够运用两个原理及排列组合概念解决排列组合问题；
2.提高合理选用知识解决问题的能力。
【自主学习】
1. 在求解排列、组合问题时，常见思考步骤是什么？
2. 如何考虑选出符合题意要求的元素来？选出元素后是否考虑再去对元素进行排队？
3. 在解决排列组合综合问题时要注意运用的原则和方法是什么？
【典型例题】
例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；（2）分为三份，每份2本；
（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；
（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；
（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本

例2．身高互不相同的7名运动员站成一排，
（1）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有多少种？
（2）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？

例3．（1） 四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？
（2） 四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？

1.3.2 排列与组合（二）
【学习目标】
1.进一步掌握处理排列与组合应用问题的常用方法策略；
2.正确运用排列与组合的知识解决综合问题,提高分析问题、解决问题的能力.
【自主学习】
1．先无序,再有序;先组合,再排列的原则是什么？
2．特殊的（元素或位置）优先考虑的原则是什么？
3．直接法和间接法的关系是什么？
4．重视均匀分组（堆）问题的解决方法是什么？
5．指定元素顺序的问题的处理方法是什么？
【典型例题】
例1．圆周上有个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多是多少？

例2．如图是由12个小正方形组成的矩形网格，一质点沿网格线从点到点的不同路径之中，最短路径有 条

例3．有只不同的试验产品，其中有只次品，只正品，现每次取一只测试，直到只次品全测出为止，求最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？

1.4.1 二项式定理
【学习目标】
1. 掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式.
2. 会利用二项展开式及通项公式解决有关问题.
【自主学习】
1． 二项式定理内容是什么？
2． 如何推导二项式定理内容？
3.如何正确区分与的展开式的异同？
4.二项式系数与系数有什么关系？

【典型例题】
例1．分别求下列展开式中的第项.
（1） （2）

例2．求的展开式中的常数项.
例3. 求的展开式的第4项的二项式系数和系数.

1.4.2二项式定理
【学习目标】
进一步熟悉二项式定理及二项展开式的通项公式，并能灵活应用.
【自主学习】
1.在应用二项式定理解决问题的时候,要注意二项式定理中二项展开式中的哪些问题？
2．如何解决三项或三项以上的展开问题？
3.如何根据通项公式求常数项、有理项和系数最大的项？
【典型例题】
例1．已知 的展开式中含项的系数为，求展开式中含项的系数最小值.
例2．已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，
（1）证明展开式中没有常数项； （2）求展开式中所有的有理项.
例3. 若n是3的倍数，求证：是13的倍数.