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基本不等式与线性规划
一、 知识框架
1.基本不等式：
2.利用线性规划求最值的步骤：
二、基础自测
1.若变量满足约束条件, .
2.已知，且，则的最小值是 .
3.已知函数的图象过点，则此函数的最小值是 .6
4. 记不等式组所表示的平面区域为,若直线与有公共点,则的取值范围是 .
5.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度(的单位:, 的单位:)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位;)是 .
6.若直三角形的周长为,则它的最大面积为__________.
三、典型例题
例1（1）已知,满足约束条件,若的最小值为,则 .
（2）已知实数，满足不等式，则的取值范围是 ．

例2（1）设正实数满足,则当取得最大值时,的最大值为 . 1
（2）若对满足条件的任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
例3 设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，则a＝______________．

例4 如图，已知矩形油画的长为a，宽为b．在该矩形油画的四边镶金箔，四个角（图中斜线区域）装饰矩形木雕，制成一幅矩形壁画．设壁画的左右两边金箔的宽为x，上下两边金箔的宽为y，壁画的总面积为S．
（1）用x，y，a，b表示S；
（2）若S为定值，为节约金箔用量，应使四个矩形木雕的总
面积最大．求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的x，
y的值．

解：（1）壁画由9个小矩形构成，其面积为9个矩形的面和
∴壁画的总面积为S=2bx+2ay+4xy+ab，x，y＞0
（2）依题意，即求4xy的最大值
因为x，y＞0，所以，
从而，当且仅当bx=ay时等号成立
令，则t＞0，上述不等式可以为
解得
因为t＞0，所以，从而
由
解得（舍去负值）
此时，四个矩形木雕的总面积最大，最大值为ab+S-2

四、巩固提升
1.设关于的不等式组表示的平面区域内存在点,满足,求得的取值范围是 .
2.设，则当______时, 取得最小值.
3.已知______. 12
4.已知，且，则 .
5.给定区域:,令点集,是在上取得最大值或最小值的点,则中的点共确定 条不同的直线. 6

6.设O为坐标原点,M(2,1),若点N(x,y)满足则||cos∠MON的最大值
为
7.设,若对任意的正实数，都存在以为三边长的三角形，则实数的取值范围是 . （1，3）
（1，3）

8.已知集合，.
若“点”是“点”的必要条件，则当最大时，的值是 .
9．已知满足若，则z的取值范围为 .
10. 已知x，y为正数，则的最大值为 ．

11.如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°（其中点P，Q分别在边BC，CD上），设
（1）用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值．
（2）问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至少为多少（平方百米）？

(1)由题意，知
，
.

（2）
当且仅当时取等号.
故探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至少为（）平方百米.

12.对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度〔含污物体的清洁度定义为1-〕为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为a(1≤a≤3).设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是(x＞a-1),用y质量的水第二次清洗后的清洁度是,其中c(0.8＜c＜0.99)是该物体初次清洗后的清洁度.
(1)分别求出方案甲以及c＝0.95时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;
(2)若采用方案乙,当a为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响.
解:(1)方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,
由题设有＝0.99,解得x＝19.
由c＝0.95得方s案乙初次用水量为3,第二次用水量y满足方程,
解得y＝4a,故z＝4a+3,
即两种方案的用水量分别为19与4a+3.
因为当1≤a≤3时,x-z＝4(4-a)＞0,
即x＞z,故方案乙的用水量较少.
(2)设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y,类似(1)得
,y＝a(99-100c).(*)
于是,.
当a为定值时,x+y≥,
当且仅当时等号成立.
此时(不合题意,舍去)或∈(0.8,0.99),
将代入(*)式得.
故时总用水量最少,此时第一次与第二次用水量分别为与,最少总用水量是.
当1≤a≤3时,T′(a)＝,
故T(a)是增函数(也可以用二次函数的单调性判断).这说明,随着a的值的增加,最少总用水量也增加.