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利用导数证明不等式
动向解读：函数、导数、不等式的综合问题是近几年高考的一个热点题型，这类问题以“参数处理”为主要特征，以“导数运用”为主要手段，以“函数的单调性、极值、最值”为结合点，往往涉及到函数、导数、不等式、方程等多方面的知识，需要综合运用等价转换、分类讨论、数形结合等重要数学思想方法.不等式的证明是高中的热点问题，不等式的证明方法有，作差法，作商法，数学
归纳法，分子有理化，平方转化，利用基本不等式，本文介绍有关数列不等式的证明，
用导数证明函数的单调性，给X赋值代入
题型一 ：利用不等式
背景知识：，
例1 求证：
证明：在不等式中令，
，可得个不等式，相加可以得证。
2 求证：，时，
证明：，∴

3 求证：

证明 ，令，则有，
变形为，

4记，证明：不等式
,,,令
用代替中的中的：可得 令取得 ，令，
则，
因此.又
故

题型二 利用不等式 ：
例：求证：
令，

当时，
当时，，

题型三 利用不等式
求证：
证明：令，得，
即
所以
上式中n=1，2，3，…，n，然后n个不等式相加得到

求证：
由得，即，
令，，，，
将上述各式相加得
，
题型四 利用不等式 求证：对任意正整数，
证明：令，则在上恒正，
所以函数在上单调递增，∴时，恒有
即，∴
对任意正整数n，取

证明不等式（2007山东理 22）
设函数，其中．
（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．
解：（Ⅰ）由题意知，的定义域为，
设，其图象的对称轴为，
．当时，，
即在上恒成立，当时，，
当时，函数在定义域上单调递增．
（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．
②时，有两个相同的解，
时，，时，，
时，函数在上无极值点．
③当时，有两个不同解，，，
时，，，即，．
时，，随的变化情况如下表：

极小值

由此表可知：时，有惟一极小值点，
当时，，，
此时，，随的变化情况如下表：

极大值

极小值

由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；
综上所述：
时，有惟一最小值点；
时，有一个极大值点和一个极小值点；
时，无极值点．
（Ⅲ）当时，函数，
令函数，
则．
当时，，所以函数在上单调递增，
又．
时，恒有，即恒成立．
故当时，有．
对任意正整数取，则有．所以结论成立．

证明不等式;
（2012辽宁理）12. 若，则下列不等式恒成立的是
A． B．
C． D．
【解析】验证A，当，故排除A；验证B，当，
，而，故排除B；
验证C，令，显然恒成立
所以当，，所以，为增函数，
所以，恒成立，故选C；验证D，令
，
令，解得，所以当时，，显然不恒成立，故选C.

通过渐近线转化
设函数(常数)，在处取得极小值,(为自然对数的底数)

（1）求在处的切线方程
（2）对任意，求证
大家很容易得到，在处的切线方程为下面看第二问题的不等式证明，我用构造函数法证不出来，又试着分开两个函数出不行，用不等式放缩也不行，正当我一筹莫展时，忽然想到第一问题的切线联系起来，如果左边的函数的图像在切线的上方，右边函数的图像在切线的下方，这样利用不等式的传递性就可以证明了，心里非常高兴，马上付诸行动。令
,,递增,，递增,，故.
再令,
,,
令则，故
,,
,,
,综上可知

设函数，其中.（1）若，求在的最小值；（2）如果在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；（3）是否存在最小的正整数，使得当时，不等式恒成立.
解析：（1）由题意知，的定义域为，
时，由，得（舍去），
当时，，当时，，
所以当时，单调递减；当时，单调递增，
所以；
（2）由题意在有两个不等实根，即在有两个不等实根，
设，则，解之得；
（3）对于函数，令函数，
则，，
所以函数在上单调递增，又时，恒有，
即恒成立.取，则有恒成立.
显然，存在最小的正整数N=1，使得当时，不等式恒成立.
已知函数（其中为常数）.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2） 当时，设函数的3个极值点为，且.
证明：.
解:(Ⅰ)
令可得.列表如下:

-
-
0
+

减
减
极小值
增
单调减区间为,;增区间为.

(Ⅱ)由题，
对于函数，有
∴函数在上单调递减，在上单调递增
∵函数有3个极值点，
从而，所以，
当时，，，
∴ 函数的递增区间有和，递减区间有，，，
此时，函数有3个极值点，且；
∴当时，是函数的两个零点，
即有，消去有
令，有零点，且
∴函数在上递减，在上递增
要证明
即证
构造函数，=0
只需要证明单调递减即可.
而，
在上单调递增,
∴当时，.
12.已知函数，，设.
（1）若在处取得极值，且，求函数的单调区间；
（2）若时函数有两个不同的零点①求的取值范围；②求证：.
解析：（1）因为，所以, 由可得a=b-3.
又因为在处取得极值，所以， 所以a= -2,b=1 .
所以，其定义域为（0，+）

令得， 当（0,1）时，，当（1,+），
所以函数h（x）在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减.
（2）当时，，其定义域为（0，+）.
①由得，记，则,
所以在单调减，在单调增，
所以当时取得最小值.
又，所以时，而时,
所以b的取值范围是（，0）.
②由题意得,
所以,所以，不妨设x1<x2,
要证
只需要证.即证，
设,则,
所以,所以函数在（1，+）上单调增，
而，所以即,所以 .
考点：函数极值，构造函数利用导数证明不等式

2．已知函数f(x)＝(x∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)已知函数y＝g(x)对任意x满足g(x)＝f(4－x)，证明当x＞2时，f(x)＞g(x)；
(3)如果x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，证明x1＋x2＞4.
解析 (1)由f(x)＝得f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝2，则x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
增
极大值
减
所以f(x)在(－∞，2)内是增函数，在(2，＋∞)内是减函数．
函数f(x)在x＝2时取得极大值f(2)＝.
(2)证明　因为g(x)＝f(4－x)，所以g(x)＝.
令F(x)＝f(x)－g(x)，即F(x)＝－
则F′(x)＝－＝.
当x＞2时，2－x＜0,2x－1＞3，从而e3－e2x－1＜0，
则函数F′(x)＞0，F(x)在(2，＋∞)是增函数．
所以F(x)＞F(2)＝－＝0，故当x＞2时，f(x)＞g(x)成立．
(3)证明　因为f(x)在(－∞，2)内是增函数，在(2，＋∞)内是减函数．x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，
所以x1，x2不可能在同一单调区间内，不妨设x1＜2＜x2，由(2)可知f(x2)＞g(x2)，又g(x2)＝f(4－x2)，所以f(x2)＞f(4－x2)，因为f(x1)＝f(x2)，
所以f(x1)＞f(4－x2)，因为x2＞2,4－x2＜2，x1＜2，f(x)在区间(－∞，2)内为增函数，故x1＞4－x2，即x1＋x2＞4.
3.（15年陕西理科）设是等比数列，，，，的各项和，其中，，．
（I）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且；
（II）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较与的大小，并加以证明．
【答案】（I）证明见解析；（II）当时， ，当时，，证明见解析．
【解析】
试题分析：（I）先利用零点定理可证在内至少存在一个零点，再利用函数的单调性可证在内有且仅有一个零点，进而利用是的零点可证；（II）先设，再对的取值范围进行讨论来判断与的大小，进而可得和的大小．
试题解析：（I）则

所以在内至少存在一个零点.又，故在内单调递增，所以在内有且仅有一个零点.
因为是的零点，所以，即，故.
(II)解法一：由题设，
设
当时,
当时,
若,

若,
所以在上递增，在上递减，所以，即.
综上所述，当时, ；当时

课本上的不等式证明，
不等式证明比等式明更难，历史上的许多著名的不等式，如柯西不等式，如果我们对不等式好好研究，就能在历史上留名，会以我们的名字命名，那是一件多么幸福的事情

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