第八章第五节课时限时检测.doc

(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．椭圆＋＝1的右焦点到直线y＝x的距离是(　　)
A.　　　　　　　　　　B.
C．1 D.
解析：右焦点F(1,0)，∴d＝.
答案：B
2．(2011·福州质检)已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.
答案：A
3．若椭圆＋＝1过抛物线y2＝8x的焦点， 且与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D．x2＋＝1
解析：抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，∴a＝2，c＝，∵c2＝a2－b2，∴b2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.
答案：A
4．(2011·金华十校)方程为＋＝1(a>b>0)的椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它短轴上的一个端点，若3＝＋2，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：设点D(0，b)，则＝(－c，－b)，＝(－a，－b)，＝(c，－b)，由3＝＋2得－3c＝－a＋2c，即a＝5c，故e＝.
答案：D
5．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(　　)
A．3 B．2
C．2 D．4
解析：根据题意设椭圆方程为＋＝1(b>0)，则将x＝－y－4代入椭圆方程，得4(b2＋1)y2＋8b2y－b4＋12b2＝0，∵椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(8b2)2－4×4(b2＋1)(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)·(b2－3)＝0，∴b2＝3，长轴长为2＝2.
答案：C
6．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到y轴的距离为(　　)
A. B.
C. D.
解析：由题意，得F1(－，0)，F2(，0)．
设M(x，y)，
则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝0，
整理得x2＋y2＝3①
又因为点M在椭圆上，故＋y2＝1，
即y2＝1－②
将②代入①，
得x2＝2，解得x＝±.
故点M到y轴的距离为.
答案：B
二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)
7．若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过两点(4,0)和(0,2)，则该椭圆的离心率等于________．
解析：由题意可知椭圆的焦点在x轴上，并且a＝4，b＝2故c＝＝2，所以其离心率e＝＝.
答案：
8．已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8，则该椭圆的方程是____________．
解析：由题意知，2c＝8，c＝4，∴e＝＝＝，∴a＝8，
从而b2＝a2－c2＝48，
∴方程是＋＝1.
答案：＋＝1
9．(2011·海淀二月模拟)已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A、B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________．
解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由
消去y整理得3x2－4x＝0，解得x1＝0，x2＝，易得点A(0，－1)、B(，)．又点F1(－1,0)，因此|F1A|＋|F1B|＝＋＝.
答案：
三、解答题(共3个小题，满分35分)
10．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当|MP―→|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．
解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．
由题意，得
解得a2＝16，b2＝12.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设P(x，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为＋＝1，故－4≤x≤4.
因为＝(x－m，y)，
所以||2＝(x－m)2＋y2＝(x－m)2＋12·(1－)＝x2－2mx＋m2＋12＝(x－4m)2＋12－3m2.
因为当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，
即当x＝4时，||2取得最小值．而x∈[－4,4]，
故有4m≥4，解得m≥1.
又点M在椭圆的长轴上，所以－4≤m≤4.
故实数m的取值范围是[1,4]．
11．(2010·济南模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4.
(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y＝x＋2相切，求椭圆C的焦点坐标；
(2)若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为kPM、kPN，当kPM·kPN＝－时，求椭圆的方程．
解：(1)由b＝，得b＝.
又2a＝4，∴a＝2，a2＝4，b2＝2，
c2＝a2－b2＝2，∴两个焦点坐标为(，0)，(－，0)
(2)由于过原点的直线l与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，
不妨设：M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)，
由于M，N，P在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有＋＝1，＋＝1.两式相减得：＝－.
由题意可知直线PM、PN的斜率存在，
则kPM＝，kPN＝，
kPM·kPN＝·＝＝－，
则－＝－，由a＝2得b＝1，
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
12．(2010·皖南八校)如图，在直角坐标系xOy中有一直角梯形ABCD，AB的中点为O，AD⊥AB，AD∥BC，AB＝4，BC＝3，AD＝1，以A，B为焦点的椭圆经过点C.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点E(0,1)，问是否存在直线l与椭圆交于M，N两点且|ME|＝|NE|，若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：(1)连接AC，依题意设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，∴AC＝5.
∴CA＋CB＝5＋3＝2a，a＝4.
又2c＝4，∴c＝2，从而b＝＝2，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知，当l与x轴垂直时，不满足|ME|＝|NE|，当l与x轴平行时，|ME|＝|NE|显然成立，此时k＝0.
设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，
由，消去y得
(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－48＝0，
∵Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－48)>0，
∴16k2＋12>m2，①
令M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为F(x0，y0)，
则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，
∵|ME|＝|NE|，∴EF⊥MN，∴kEF×k＝－1，
即×k＝－1，
化简得m＝－(4k2＋3)，
结合①得16k2＋12>(4k2＋3)2，即16k4＋8k2－3<0，
解之得－<k<(k≠0)．
综上所述，存在满足条件的直线l，且其斜率k的取值范围为(－，)．