空间几何体集体备课材料.doc

高三数学备课资料
立体几何
2012.10.16
一：考纲要求：
空间几何体　　　　
柱、锥、台、球及其简单组合体　　　　
√　　　　

柱、锥、台、球的表面积和体积　　　　
√　　　　

点、线、面之间的位置关系　　　　
平面及其基本性质　　　　
√　　　　

直线与平面平行、垂直的判定及性质　　　　

√　　　　

两平面平行、垂直的判定及性质　　　　

√　　　　

内 容　　
要 求　　
A　　　　
B　　　　
C　　　　
二：2008年至2012年江苏数学命题研究及2013年走势分析
立体几何在近几年高考中比较容易拿分，所占分值在14---20分，一般是解答题第二题，或者加一道
填空，一大一小。一部分考生拿不到满分的原因大致有三个：一是基础知识概念不牢固；二是没有建
立立体感和空间概念；三是书写不规范。
垂直与平行是高考的重点内容之一，2013年估计继续延续这种考察的方式。
三：重点与难点：
1.表面积与体积的运算（1）空间几何体的表面积和体积的研究策略：研究空间几何体的结构→计算相关边长→代入公式计算（2）空间几何体的结构的研究策略：运用转化的思想，将空间几何体的问题转化为平面问题，如几何体的外接圆或内切球问题，转化为多边形与圆的外接或内切问题。（3）组合体体积的求解无论是分割还是补形，关键是有利于求出几何体的高，即找到线面垂直，会用用体积法求点到面的距离。
经典例题：（1）等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是
（2）已知PA，PB，PC两两互相垂直，且△PAB、△PAC、△PBC的面积分别为1.5,2,6.则过P，A，B，C四点的外接球的表面积为 ___26π__.注S球=4πr,其中r为球半径）
（3）如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC重点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为 .
【解析】展开如图，则可得最短路程为

高考赏析：（2009年江苏）
8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为_____. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】 考查类比的方法.体积比为1：8 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2010年江苏）
16.如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=900
(1) 求证：PC⊥BC；（2）求点A到平面PBC的距离。

【解析】第二问（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：
易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。
又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。
由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，
因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。
易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。
（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。
由，，得，
故点A到平面PBC的距离等于。
（2012年江苏）
D
A
B
C

7．如图，在长方体中，，，则四棱锥 的体积为________cm3. 【答案】

【解析】如图所示，连结交于点，得四棱锥的高为，根据题意，所以，又因为，，故矩形的面积为，从而四棱锥的体积.
2.平面的性质与直线的位置关系：
考纲要求：①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．
◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，这条直线上所有的点在此平面内．
◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
◆推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.
◆推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
◆推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
注： （1） 公理1、公理2、公理3（以及3条推论）、公理4的用途；
（2） 点共线，线共点，点线共面的证明的书写；
（3） 会用图形、文字、符号三种形式表达概念、定理、公式；
（4） 会用图(画图、分解图、变换图)帮助解决问题。
3.线面平行与面面平行，.线面垂直与面面垂直。
②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定．
理解以下判定定理．
◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．
◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．
◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．
◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．
理解以下性质定理，并能够证明．
◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．
◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．
◆垂直于同一个平面的两条直线平行．
◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线于另一个平面垂直．
③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．
注：垂直与平行是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.
垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：
1.平行转化

2.垂直转化

感受高考：（2009年江苏卷第12题）命题真假的判断：
设和为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；
（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；
（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；
（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。
上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。
真命题的序号是(1)(2)
(2008年)平行垂直证明：
16．如图，在四面体中，，点分别是的中点．求证：（1）直线面； （2）平面面．
解析：第1问根据线面平行关系的判定定理 ，在面内找一条直线和直线EF平行即可，第2问，需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直。

2011年第16题
2008年第16题
2009年第16题
A
B
C
D
E
F

（2009年）平行垂直证明
16. 如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在 上，。 求证：（1）EF∥平面ABC；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）平面平面.
（2011年）平行垂直证明
16.如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点
求证：（1）直线EF//平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD.
（2012年）平行垂直的证明
16. 如图，在直三棱柱中，，分别是棱
上的点（点D 不同于点C），且为的中点．
求证：（1）平面平面；（2）直线平面ADE．

四：在平时的练习与考试中可能涉及到下面几种常见题型：
图形的翻折问题：
如图所示，等腰的底边，高，点是线段上异于点的动点，点在边上，且，现沿将折起到的位置，使，记，表示四棱锥的体积．

P
E
D
F
B
C
A
（1）求的表达式；
（2）当为何值时，取得最大值？
（3）当取得最大值时，在线段AC上取一点M，使得 求证：∥平面.
解 （1）由折起的过程可知，
PE⊥平面ABC，，
,
,
V(x)=().
（2），所以时，，V(x)单调递增；时，，V(x)单调递减.因此x=6时，V(x)取得最大值.
（3），，，∥
又在平面外，平面∥平面
探索性问题：
如图，正方体中，．
（1）求证：；
（2）试在棱上确定一点，使得平面，
说明理由；
（3）求四面体ABCD1外接球的半径．
解 （1）在正方体中，
∵平面，平面，
∴．∵，，
∴平面．
∵平面，∴．
（2）当是中点时，平面．
设，则为中点 ∴．
又∵平面，平面，∴平面．
（3）四面体的外接球就是正方体的外接球，
∴D1B为球的直径．∵AB = 1，∴D1B =．则四面体的外接球的半径．
五：回归课本（1）概念理解：
课本第12题：
求证:如果一个平面与另一个平面的垂线平行,那么这两个平面互相垂直.若将条件改为“如果一个平面与另一个平面的垂面平行”,那么结论是否任然成立?
课本第7题：指出下列命题是否正确,并说明理由:
(1)矩形的平行投影一定是矩形;
(2)梯形的平行投影一定是梯形;
(3)两条相交直线的平行投影不可能平行;
(4)平行四边形的平行投影可能是正方形;
(5)正方形的平行投影一定是菱形.
课本例2：已知:直线l∥平面α.求证:直线l上各点到平面α的距离相等.

l
α

（2）表面积、体积运算：
课本第4题：用半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒,那么这个圆锥筒的高是多少?
课本第10题：如图,某养路处建造圆锥形仓库用于储藏食盐(供融化高速公路的积雪之用).已建的仓库的底面直径为12m,高4m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多的食盐.现有两个方案:一是新建仓库的底面直径比原来的大4m(高不变),二是高度增加4m(底面直径不变).
(1)分别计算按这两个方案所建仓库的体积;
(2)分别计算按这两个方案所建仓库的表面积;
(3)哪一个方案更经济些?

课本第10题：用长、宽分别是3π与π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,试求圆柱底面半径.
课本第18题：设P,A,B,C是球O表面上的四个点,PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=1,求球的体积与表面积.
（3）推理证明：
课本第12题：如图，在三棱锥A-BCD中，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.
(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;
(2)若AC=BD,求证:四边形EFGH为菱形;
(3)当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是正方形?（探索性问题）
A
B
C
D
E
F
G
H

课本第14题：如图，三棱锥A-BCD中，E,G分别是BC,AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF:FC=DH:HA=2:3.试判定EF,GH,BD的位置关系.（如何书写过程）
A
B
C
D
G
E
F
H

A
A
B
C
D
B
C
D
（4）翻折问题：如图,把长、宽各为5,4的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,求顶点B和D之间的距离.

（5）展开图问题：有一根长为5cm,底面半径为1cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕4圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为多少厘米?(精确到0.1cm)
A
D
B
C

（6）实际操作题：
D1
A1
C1
B1
A
B
C
D
P ．
课本例2：一个长方体木块如图所示,要经过平面A1C1内一点P和棱BC将木块锯开,应该怎样画线?

课本习题10：如图，一块正方体木料的上底面上有一点E,要经过点E在上底面上画一条直线和CE连线垂直,应怎样画?
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E

课本习题11：如图,有一块长方体的木料,经过木料表面A1B1C1D1内的一点P,在这个面内画线段,使其与木料表面ABCD内的线段EF平行,应该怎样画线?
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
P ．

六： 资料典型题目
真假命题：数学之友A本第1题，第3题 第6题
数学之友B本能力强化第1题、基础训练第1题
计算问题：(1)异面直线所成的角:数学之友A本课前预习第2、3题，
例题精析第6题
（2）直线与平面所成的角：数学之友A本第7题
（3）体积计算：数学之友A本第4题
数学之友B本 能力强化第6题
数学之友B本 能力强化第6题
（4）表面积计算： 数学之友B本第3题
（5）线段长度计算：数学之友B本第4题
与垂直有关的探索性问题：数学之友A本第5题（第二问）
与平行有关的探索性问题：数学之友B本第6题（第二问）
七：（1）重视课本作用。立体几何课本中的例题、习题除了具有紧扣教材、难度适中、方法典型等特点外，还有不少定理是以例题或习题形式出现的，所以要使用好课本，熟悉课本。归纳常用方法，如证明若干点共线的基本方法是证明这些点是某两个面的公共点，又如求异面直线所成角，总是先平移成交角，而平移往往用三角形中位线或平行四边形的性质。
（2）多积累，化抽象为直观。注意平面几何和立体几何概念的区别与联系，如：空间的垂直未必相交；正三棱锥不仅要底面是正三角形，还要顶点在底面上的射影是底面三角形的中心；三棱锥顶点在底面上的射影是底面三角形的外心、内心、垂心的条件各是什么等问题。记住一些特殊图形的线面关系和有关量。如：正方体中对角线与侧面对角线异面时，它们互相垂直；正四面体相对棱相互垂直；直角四面体的三个侧面面积的平方和等于底面面积的平方等等；若能记住它，将提高解题速度，并且使考生对问题的理解更加快捷。学生制造模具，手脑并用，实物演示等化抽象为直观。
（3）在平时的复习当中证明书写要规范化。推出符号书写时一定要条件具备。

9